初中数学重点梳理：比例线段

比例线段

知识定位

比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。

知识梳理

知识梳理1：比例线段相关定理

平行线分线段成比例定理：

如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则

BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC

DE DF

=

． l 3

l 2l 1F

E D C

B A

平行线分线段成比例定理的推论：

如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则

AD AE DE

AB AC BC

==

平行的判定定理：

如上图，如果有AD AE

AB AC

=

，那么DE BC ∥． 两个常见模型：

如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，

E

D C

B

A

B D

A

E C

则BD EG

DC FG

=

．

知识梳理2：圆中的比例线段

角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。

相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。 1、相交弦定理

如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。 2、切割线定理

如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2

。 3、割线定理

如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。

例题精讲

【试题来源】

【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。若MN=1，求

11

AB CD

+

的值。 G F

E D

C

B

A

A

D

A

E

G

F

C

P

O

C A

B

A

O

P

B

T

A

O

P

B

C

D

【答案】2

【解析】

【知识点】比例线段

【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2

【试题来源】

【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BF

AF

m

n

=(m，n>0)，取CF的中

点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BE

EC

的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边

AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BF

AF

m

n

=

的值；如果不能，证明你的结论。

【答案】

（1）m n n

【解析】

【知识点】比例线段【适用场合】当堂例题【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，已知∠ABC中，E、F为BC的三等分点，M为AC中点，BM与AE、AF分别交于G、H，求BG : GH : HM的值。

【答案】5:3:2

【解析】

【知识点】比例线段

【适用场合】当堂练习题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，AD是∠ABC的中线，过CD上任意一点F作EG∥AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH∥AC交AB于点H，求证：HG=BE。

【答案】

【解析】

【知识点】比例线段

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，已知梯形ABCD中，下底AB=12，上底CD=9，过对角线交点O作EF∥AB交AD和BC于E、F，则EF=_________。

【答案】72 7

【解析】

【知识点】比例线段

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，一直线交BA的延长线于E，交DC的延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I。已知EF=FG=GH=HI=IJ，则DC

_________。

AB

【答案】2

【解析】

【知识点】比例线段

【适用场合】当堂例题

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】如图，O为△ABC内一点，直线AO、BO、CO分别交对边BC、AC、AB于D、E、F，

则OD OE OF

AD BE CF

++=_________。

【答案】1 【解析】

【知识点】比例线段

【适用场合】随堂课后练习

【难度系数】3

【试题来源】

【题目】过线段AB的两端作AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，连AD、BC交于O。已知AC=a，BD=b(b＞a)，那么点O到线段AB的距离为_________。

【答案】

【解析】