初中数学重点梳理：比例线段

比例线段
知识定位
比例线段这部分内容较多，例如平行线分线段成比例定理、三角形一边的平行线的性质定理、判定定理，圆中的比例关系等，极为精彩。

在数学竞赛中，它容易与相似三角形、三角形重心的性质、切割线定理等相结合，内容杂，难度也比较大，经常会涉及证明及计算，需要引起足够重视。

知识梳理
知识梳理1：比例线段相关定理
平行线分线段成比例定理：
如下图，如果1l ∥2l ∥3l ，则
BC EF AC DF =，AB DE AC DF =，AB AC
DE DF
=
． l 3
l 2l 1F
E D C
B A
平行线分线段成比例定理的推论：
如图，在三角形中，如果DE BC ∥，则
AD AE DE
AB AC BC
==
平行的判定定理：
如上图，如果有AD AE
AB AC
=
，那么DE BC ∥． 两个常见模型：
如图，已知直线EF BC ∥，直线EF 分别与直线AB 、AC 、AD 相交于E 、F 、G 点，
E
D C
B
A
B D
A
E C
则BD EG
DC FG
=
．
知识梳理2：圆中的比例线段
角在圆中能灵活转化，为寻找构造相似三角形，得到比例线段提供了可能；而圆幂定理实质上反映两条相交直线与圆的位置关系的性质定理，其本质是与比例线段相关。

相交弦定理、切割线定理、割线定理统称为圆幂定理。

1、相交弦定理
如图①，若圆内两条弦AB 、CD 交于点P ，则PD PC PB PA •=•。

2、切割线定理
如图②，若从圆外一点P 引圆的切线TP ，和割线PAB ，则PB PA PT •=2。

3、割线定理
如图③，若从圆外一点P 引圆的两条割线PAB 、PCD ，则PD PC PB PA •=•。

例题精讲
【试题来源】
【题目】如图，在梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AC 与BD 交于O ，MON ∥AB ，且MON 交AD 、BC 分别于M 、N 。

若MN=1，求
11
AB CD
+
的值。

G F
E D
C
B
A
A
D
A
E
G
F
C
P
O
C A
B
A
O
P
B
T
A
O
P
B
C
D
【答案】2
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】随堂课后练习【难度系数】2
【试题来源】
【题目】如图，△ABC中，AC=BC，F为底边AB上的一点，BF
AF
m
n
=(m，n>0)，取CF的中
点D，连结AD并延长交BC于E，⑴求BE
EC
的值；⑵如果BE=2EC，那么CF所在直线与边
AB有怎样的位置关系？证明你的结论；⑶E点能否为BC中点？如果能，求出相应的BF
AF
m
n
=
的值；如果不能，证明你的结论。

【答案】
（1）m n n
【解析】
【知识点】比例线段【适用场合】当堂例题【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知∠ABC中，E、F为BC的三等分点，M为AC中点，BM与AE、AF分别交于G、H，求BG : GH : HM的值。

【答案】5:3:2
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，AD是∠ABC的中线，过CD上任意一点F作EG∥AB，与AC和AD的延长线分别交于G和E，FH∥AC交AB于点H，求证：HG=BE。

【答案】
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知梯形ABCD中，下底AB=12，上底CD=9，过对角线交点O作EF∥AB交AD和BC于E、F，则EF=_________。

【答案】72 7
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＜CD，一直线交BA的延长线于E，交DC的延长线于J，交AD于F，交BD于G，交AC于H，交BC于I。

已知EF=FG=GH=HI=IJ，则DC
_________。

AB
【答案】2
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，O为△ABC内一点，直线AO、BO、CO分别交对边BC、AC、AB于D、E、F，
则OD OE OF
AD BE CF
++=_________。

【答案】1 【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】过线段AB的两端作AC⊥AB于A，BD⊥AB于B，连AD、BC交于O。

已知AC=a，BD=b(b＞a)，那么点O到线段AB的距离为_________。

【答案】
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，P为∠ABC内一点，过P点作线段DE、FG、HI分别平行于AB、BC和CA，且DE=FG=HI=d，AB=510，BC=450，CA=425，求d。

【答案】306
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知AB切⊙O于B，M为AB的中点，过M作⊙O的割线MD交⊙O于C、D两点，连AC并延长交⊙O于E，连AD交⊙O于F.求证：EF∥AB.
O
E
F
D A
B
C
M
【答案】∵AB是⊙O的切线，M是AB中点，∴MA2=MB2=MC·MD．
∴△MAC∽△MDA．
∴∠MAC=∠MDA，
∵∠CEF=∠CDF，
∴∠MAE=∠AEF．
∴EF∥AB．
【解析】∵AB是⊙O的切线，M是AB中点，
∴MA2=MB2=MC·MD．
∴△MAC∽△MDA．
∴∠MAC=∠MDA，
∵∠CEF=∠CDF，
∴∠MAE=∠AEF．
∴EF∥AB．
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂练习题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，⊙O内的两条弦AB、CD的延长线相交于圆外一点E，由E引AD的平行线与直线BC交于F，作切线FG，G为切点.求证：EF=FG.
G
F
E
B
A
C
D 【答案】
【解析】
【知识点】比例线段 【适用场合】随堂课后练习 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知如图，两圆相交于M 、N ，点C 为公共弦MN 上任意一点，过C 任意作直线与两圆的交点顺次为A 、B 、D 、E .求证：AB
BC =
ED
DC
.
C D B
N
M
A
E
【答案】
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知四边形ABCD内接于直径为3的⊙O，对角线AC是直径，AC、BD交于点P，AB=BD，且PC=0.6.求此四边形的周长．
A
B
C
D O
P
【答案】【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】已知,如图,AE⊥BC于点E,BD⊥AC于D,AE、BD相交于点F.
求证:AB2=AF·AE+BF·BD.
【答案】证明作△BEF的外接圆,设圆心为O,交AB于M.连结FM,
由切割线定理,得AF·AE=AM·AB. ∵∠BEF=90°,∴BF是⊙O的直径. ∴∠BMF=∠BDA,
∵∠FBM=∠ABD,
∴△BMF∽△BDA.
∴BF BM
AB BD
=,BF·BD=AB·BM.
∴AF·AE+BF·BD=AM·AB+AB·BM=AB2.
【解析】证明作△BEF的外接圆,设圆心为O,交AB于M.连结FM,由切割线定理,得AF·AE=AM·AB.
∵∠BEF=90°,∴BF是⊙O的直径.
∴∠BMF=∠BDA,
∵∠FBM=∠ABD,
∴△BMF∽△BDA.
∴BF BM
AB BD
=,BF·BD=AB·BM.
∴AF·AE+BF·BD=AM·AB+AB·BM=AB2.
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图,P是平行四边形ABCD的边AB的延长线上一点,DP与AC、BC分别交于点E、F,EG是过B、F、P三点的圆的切线,G为切点.求证:EG=DE.
【答案】证明∵AD∥BC,∴△AED∽△CEF.
∴DE:EF=AE:EC.
又∵AP∥DC,∴△AEP∽△CED.
∴AE:EC=EP:DE.
由①、②,得DE:EF=EP:DE,
即DE2=EF·EP.
而EG是过B、F、P三点的圆的切线.
EFP为此圆的割线. ∴EG2=EF·EP, DE2=EG2,故DE=EG.
【解析】证明∵AD∥BC,∴△AED∽△CEF.
∴DE:EF=AE:EC.
又∵AP∥DC,∴△AEP∽△CED.
∴AE:EC=EP:DE.
由①、②,得DE:EF=EP:DE,
即DE2=EF·EP.
而EG是过B、F、P三点的圆的切线.
EFP为此圆的割线. ∴EG2=EF·EP, DE2=EG2,故DE=EG.
【知识点】比例线段
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图,已知点P是⊙O外一点,PS,PT是⊙O的两条切线,过点P作⊙O的割线PAB,交
⊙O于A、B两点,与ST交于点C.求证:
1111
()
2
PC PA PB
=+.
【答案】 证明 连PO 交ST 于点D,则PD ⊥ST,连SO,作OE ⊥PB,垂足为E,则E 为AB 中点.于是,PE=
2
PA PB
+.
∵C 、E 、O 、D 四点共圆,
∴PC ·PE=PD ·PO.又∵Rt △SPD ∽Rt △OPS. ∴
PS OP PD PS
=
,即PS 2
=PD ·PO. 而由切割线定理知,PS 2
=PA ·PB,
则PC ·
2
PA PB
+=PA ·PB. 即1111
()2PC PA PB
=+.
【解析】证明 连PO 交ST 于点D,则PD ⊥ST,连SO,作OE ⊥PB,垂足为E,则E 为
AB 中点.于是,PE=
2
PA PB
+.
∵C 、E 、O 、D 四点共圆,
∴PC ·PE=PD ·PO.又∵Rt △SPD ∽Rt △OPS. ∴
PS OP PD PS
=
,即PS 2
=PD ·PO. 而由切割线定理知,PS 2
=PA ·PB,
则PC ·2
PA PB
+=PA ·PB. 即1111
()2PC PA PB
=+.
【知识点】比例线段 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图,AB 为⊙O 的直径,C 为⊙O•上一点,延长BC 至点D,使CD=BC,CE ⊥AD,垂足为点E,BE 交⊙O 于点F,AF 交CE 于点P.求证:PE=PC.
【答案】 证明 延长DA 交⊙O 于点K,连结BK,OC.
∵AB是⊙O的直径,
∴BK⊥DA.又∵CE⊥AD,
∴CE∥BK,故∠1=∠2,
又∵A、K、B、F四点共圆,有∠2=∠3,
∴∠1=∠3.∴△PEF∽△PAE,
因此,有PE2=PA·PF.又∵为△ABD的中位线,
∴OC∥AD.则CE⊥OC.可知CE为⊙O的切线,故PC2=PF·PA,∴PE2=PC2,即PE=PC. 【解析】证明延长DA交⊙O于点K,连结BK,OC.
∵AB是⊙O的直径,
∴BK⊥DA.又∵CE⊥AD,
∴CE∥BK,故∠1=∠2,
又∵A、K、B、F四点共圆,有∠2=∠3,
∴∠1=∠3.∴△PEF∽△PAE,
因此,有PE2=PA·PF.又∵为△ABD的中位线,
∴OC∥AD.则CE⊥OC.可知CE为⊙O的切线,故PC2=PF·PA,∴PE2=PC2,即PE=PC. 【知识点】比例线段
【适用场合】课后两周练习
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，在梯形ABCD 中，AD BC ∥，396AD BC AB ===，，，4CD =，若EF BC ∥，
且梯形AEFD 与梯形EBCF 的周长相等，求EF 的长．
F E
D
C
B
A
【答案】 39
5
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】当堂例题
【难度系数】3
【试题来源】
【题目】在四边形ABCD中，AC、BD相交于O，直线l BD
∥，且与AB、DC、BC、AD 及AC的延长线分别相交于点M、N、R、S和P，求证：PM PN PR PS
⋅=⋅．
【答案】
S
R
C
O D B
A
l
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】随堂课后练习
【难度系数】3
【试题来源】
GH AB，分别交CB、AD 【题目】已知O是平行四边形ABCD内的任意一点，过点O作∥
EF BC，分别交AB、CD于E、F；连结CE交GH于P；连结于G、H，又过O作∥
AG交EF于Q．如果OP OQ
，求证：平行四边形ABCD是菱形．
【答案】
【解析】
【知识点】比例线段 【适用场合】当堂例题 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知AB 是o Θ的直径，弦CD 与AB 交于点E ，过点A 作圆的切线与CD 的延长线交于点F ，若CE DE 4
3
=
，58=AC ,D 点为EF 的中点，则=AB _______.
【答案】24 【解析】
【知识点】比例线段 【适用场合】当堂例题 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图，圆中的三条线1PP 、1QQ 、1RR 两两相交，交点分别为A 、B 、C ，已知
111,CQ BP AR CR BQ AP ====，求证：ABC ∆是等边三角形。

【答案】
【解析】
【知识点】比例线段 【适用场合】课后一个月练习 【难度系数】3
【试题来源】
【题目】如图，已知梯形ABCD 中，AD BC ∥（AD BC ＜），AC 和BD 相交于M ，EF AD ∥，
且过M ，EC 和FB 交于N ，GH AD ∥，且过N ．求证：
12
1
2
AD BC EF GH
+=+
．
【答案】
【解析】
N
H M
G F E C B D A
【知识点】比例线段 【适用场合】阶段测验 【难度系数】4
【试题来源】
【题目】如图， 在直线l 的同侧有三个相邻的等边三角形ABC △、ADE △、AFG △，且G 、
A 、
B 都在直线l 上，设这三个三角形边长分别为a 、b 、c ，连结GD 交AE 于N ，连BN
交AC 于L ，求AL 的长．
L
N
F
E D
C
l
B
G
A
31
【答案】
【解析】
【知识点】比例线段
【适用场合】阶段测验
【难度系数】4
31。