水力学第十章 有压管道中的非恒定流动

若再有A=A(s) ，则
Av = f (t )
二.运动方程
根据重力、压差力、摩擦力和惯性力的平衡，可直接写出处 于渐变流段中长度为ds的控制体微元的流体运动方程
p u u A ds 0 d s d s ++ + ( u )dA=0 s t s A
其中 0为流段湿周的平均切应 力。忽略被积量在断面上的不 均匀影响，则可近似写成：
A
L
时刻
t=L/c
全管速度 v=0
全管压强 水头 h0+h
水击波 到达
B点
液体状态
压缩
h= cv0/g
h0
时刻 t=L/c
B
v=0
A
L 由于B点压强水头保持为常数h00，水击波到达B点后无法再向上 游传播，压差h 转化为流向水库的流速vv 00而形成一个减速（速 度以水库流向阀门为正）减压的过程，由B 传向A ，水击波反 向，并由增压波变为减压波。在减压波传播过程中，管壁和液 体密度复原，提供流向水库的水量。
B L
A
h
c h0
全管原压 强水头h0
v = - v0
B
v0
v=0
A
p = cρv0 h = cv0/g
L
阶段 时段 速度 变化 v0→0 流速方向
压强变化 水击波 运动状态 液体状态 传播方向
阀门→水库 减速增压 压缩
(a)
0<t<L/c
水库→阀门 增高p
h= cv0/g
h0
B
v=0
Δp
一. 水击波的压强增值 在已知水击波速度传播 c 的条件下，分析压强增量 p 与流 速增量 v 的关系。
单位时间水击波通过 的流体域的动量增量为 cρAv ， 受 力 为 Ap ，这里，我们都略
去了高阶小量的影响。 根据动量定律，容易得 到 p = cρ v
c
v
p
s
ct
二. 水击波的传播速度 单位时间水击波通过的流体域中质量增量为 cAρ+cρA， 因流速增量造成的流出该区域的质量流量为ρAv，根据质量 p = 守恒原理，易知 v = -c(ρ/ρ+A/A) ， 即
第十章 有压管道中的非恒定流动
主要针对水击和调压系统液面振荡问题讨论 有压管道中的非恒定流动。非恒定流动增加了 时变因素，比恒定流动复杂得多，即使是一维 情况，基本方程也不再是常微分方程了。
第十章 有压管道中的非恒定流动
§10—1 一维非恒定流动的基本方程 §10—2 水击现象1
E为管壁材料的弹性系数，为管壁厚度
c0 DK 1+ E
(1 + D ) K E
=
K/
C0 = K /
1+
DK E
=
水电站 D/ ≌100，c ≌ 1000m/s 引水管
为声波速度 (水中约为1435 m/s). 可见若忽略管壁的弹 性，即认为 E = ， 则 c = c0
z 1 p 1 v v 0 + + ( +v )+ =0 s s s g t A
t+dt
t
s ds
三.能量方程
对运动方程 z 1 p
s
+
1 v v 0 + ( +v )+ =0 s s g t A
从断面s11至断面s22积分
惯性水头为正，水流加速 i E hw hi v2/2g p/ γ
测压管水头线
i E
z
惯性水头为负，水流减速 E i hw
v2/2g
-hi
E
i
p/ γ
测压管水头线
z
§10—2 水击现象
水击现象是一种典型的有压管道非恒定流问题，在水击现象 中，由于压强变化急剧，必须考虑流体的压缩性及管道的弹 性。
s2
s2 2 v1 p2 v p1 z1 + + = z 2+ + + +s1t d s + s+ A d s 2g 2g g 1
0 + A d s s
1
单位重量流体所受壁面摩擦力在断面s1 至断面s2间所作的功，记为 hw1-2
1 s 2 v hi = g+ t d s 非恒定流动新增的水头，称为惯性水头 s1
三.水击现象的分析
为了更清晰地说明水击波传播、反射、叠加的发展过程，考察 上游水库与阀门间的长度为L的直圆管（BA）中因阀门A突然完 全关闭发生的水击现象，认为弹性力与惯性力起主要作用，忽略 水头损失和流速水头。在理解了水击波在A处的正反射和B处的 负 反 射 之 后 ， 可 以 列 出 0<t<L/c ， L/c<t<2L/c ， 2L/c<t<3L/c ， 3L/c<t<4L/c 四个阶段水击现象的物理特性。
ρc2(ρ/ρ+A/A)，写成极限形式，则有
c
c= 1 1d 1dA ( + ) dp Adp
v p s
ct
c=
1 1d 1dA ( + ) dp Adp
式中
1 = dp K
1d
K为液体的体 积弹性系数 反映管壁的弹性
1dA D = E 对于直径为 A d p
1 dA Adp
水击现象的大致描述：
有压管道 流动的流 量突变
流速突变
由于流动的惯 性，造成压强 大幅波动
动在管道中以有限的速度传播
以阀门突然关闭为例，将有一个增压、增密度、增管道断面 以阀门突然关闭为例，将有一个增压、增密度、增管道断面 积、减流速的过程从阀门向上游传播，压强、流速、密度、管 积、减流速的过程从阀门向上游传播，压强、流速、密度、管 道断面积的间断面在管道中运动，这就是水击波。 道断面积的间断面在管道中运动，这就是水击波。
1 s 2 v hi = g+ tds s1
惯性水头是单位重量流体流经该流段时，当地时
变惯性力作的功，是蕴藏在水流中的惯性能量，由机 械能平衡，只有在非恒定流动时才表现出来，并参与 同机械能之间的相互转换。
非恒定总流的能量方程
2g
2g
+h
非恒定总流的水头线
由于多了一个惯性水头，所以水头线也多了一条。把原来的总 水头线叫做 E-E 线（机械能线），加上惯性水头后的水头线叫 做 i-i 线。由于惯性水头有正有负，i-i 线可能会低于 E-E 线。i-i 线必沿程下降，E-E 线有可能沿程上升。另外，如今水头线有瞬 时性。
§10—1 一维非恒定流动的基本方程
一.连续方程
在管道中取出一段长度 为 ds 的控制体微元，容
易写出密度 和断面面积 A 均可随时间变化的连续 方程
( Av) + ( A) = 0 s t A ( Av) + = 0 s t
t+dt t s
ds
特殊地，若 = const，则