数学物理方法 作业答案

1+ a
a2 + b2
cos(θ / 2) =
a2 + b2
cosθ = 1− 2sin2 (θ / 2) = a
，因此可得
2
θ ∈[0,2π ]
a2 + b2
1− a
sin(θ / 2) =
a2 + b2
2
( ) ( ) 原式=
2⎡ 2 ⎢⎣
a2 + b2 1/2 + a + i
a2
+
b2
1/ 2
( ) ( ) 解： (x1 + x2 )2 + (y1 + y2 )2 + (x1 − x2 )2 + (y1 − y2 )2 = 2 x12 + y12 + 2 x22 + y22
可见，该公式任意时刻均成立。 2、 把下列复数用代数式、三角式和指数式几种形式表示出来。
（1） i = cos(π / 2) + i sin(π / 2) = eiπ /2
2
2
代入方程，得 e y + e− y = 4 ，即 y = ln(2 ± 3)
得 z =π / 2 + 2kπ + i ln(2 ± 3)
§1.3 导数
试推导极坐标系中的柯西黎曼方程 证明：当ϕ为定值，而Δz = eiϕ Δρ → 0时
u(ρ + Δρ,ϕ) + iv(ρ + Δρ,ϕ) − u(ρ,ϕ) − iv(ρ,ϕ)
因为 0 < arg z − i < π z+i 4
x2
− 2x + ( y + 1) 2
>
0
x2 + y2 − 1 所以 x 2 + ( y + 1) 2
>
0
，即 x < 0, x2 + y2 −1 + 2x > 0
− 2x
0<
x 2 + ( y + 1) 2 x2 + y2 − 1
<1
x 2 + ( y + 1) 2
u(ρ,ϕ + Δϕ) + iv(ρ,ϕ + Δϕ) − u(ρ,ϕ) − iv(ρ,ϕ)
lim
iρeiϕ Δϕ →0
iρeiϕ Δϕ
= lim u(ρ,ϕ + Δϕ) − u(ρ,ϕ) (−i 1 e−iϕ ) + i v(ρ,ϕ + Δϕ) − v(ρ,ϕ) (−i 1 e−iϕ )
Δϕ →0
Δϕ
则 f (z) = ex sin y − iex cos y + iC = −iez + iC
(cos π
−α
+ i sin π
−α
)
α = 2sin
π −α i
e2
22
2
2
2
2
2
（5） z3 = (x + iy)3 = x3 − 3xy2 + (3x2 y − y3)i = ρ 3(cos 3ϕ + i sin 3ϕ )= ρ 3ei3ϕ
（6） e1+i = eei = e(cos1+ i sin1)
−
1
+
i
sin
ϕ
+
sin nϕ − sin(n 2(1− cosϕ )
+
1)ϕ
sin(n +1/ 2)ϕ − sin ϕ cos ϕ − cos(n +1/ 2)ϕ
=
2sin ϕ
2 +i
2 2sin ϕ
2Fra Baidu bibliotek
2
sin(n +1/ 2)ϕ − sin ϕ
cos ϕ − cos(n +1/ 2)ϕ
因此，（7）=
化简可得 x ≥ 0
（8） Re(1/ z) =2
解： Re(1/ z)
=
Re⎜⎜⎝⎛ x
1 +
iy
⎟⎟⎠⎞
=
Re⎢⎣⎡
x x2
− +
iy y2
⎤ ⎥⎦
=
x2
x +
y2
=
2
即 (x −1/ 4)2 + y2 = 1/16
(9) Re Z 2 = a2
解： Re Z 2 = x2 − y2 = a2
(10) z1 + z2 2 + z1 − z2 2 = 2 z1 2 + 2 z2 2
2
2
−ay
−b e− y cos x+ b ey cos x
2
2
−b e− y*i sin x 2
b ey (−i sin x) 2
= e e −ay
−b e− y cos x+ b e y cos x
2
2
3、求解方程 sin z = 2
解： sin z = 1 (eiz − e−iz ) = 1 (e−y+ix − e y−ix ) = 1 (e−yeix − e ye−ix ) =2
={1 (ez + e−z ) + 1 (ez − e−z )}{1 (ez + e−z ) − 1 (ez − e−z )}= e z e − z =1
2
2
2
2
（5） cos ix = (e−x + ex ) / 2 = chx
（6） sin ix = (e−x − ex ) /(2i) = ishx
=
eiϕ 1 − einϕ 1− eiϕ
[ ] eiϕ 1 − einϕ (1 − e−iϕ ) eiϕ + einϕ − ei(n+1)ϕ −1
( ) = (1− eiϕ )(1 − e−iϕ ) =
2 − eiϕ − e−iϕ
=
cosϕ
+
cos nϕ
2(1 −
− cos(n cosϕ )
+
1)ϕ
第一章 复变函数
§1.1 复数与复数运算
1、下列式子在复数平面上个具有怎样的意义？ （1） z ≤ 2
解：以原点为心，2 为半径的圆内，包括圆周。 （2） z − a = z − b ，（a、b 为复常数）
解：点 z 到定点 a 和 b 的距离相等的各点集合，即 a 和 b 点连线的垂直平分线。 （3） Re z ＞1/2 解：直线 x = 1/ 2 右半部分，不包括该直线。 （4） z + Re z ≤ 1
2
2
2
= 1 [e−b (cos a + i sin a) − eb (cos a − i sin a)] = (e−b − eb ) cos a + i (eb + e−b ) sin a
2
2
2
（3） ln(−1) = ln ei(π +2kπ ) = i(2k + 1)π
（4） ch2 z − sh2 z = (ch2 z + sh2 z)(ch2 z − sh2 z)
ϕ
2 ，（8）= 2
ϕ
2 sin
2 sin
2
2
§1.2 复变函数
2、计算下列数值（a、b 为实常数，x 为实变数）
(1) sin(a + ib) = 1 [ei(a+ib) − e−i(a+ib) ] = 1 (eia−b − e−ia+b ) = 1 (e−beia − ebe−ia )
2i
2i
（9） e = e e = e e = e e iaz−ibsin z
iaz −ibsin z
iaz −ibsin z
ia( x+iy)
−ib 1 [ei ( x+iy ) −e−i ( x+iy ) ] 2i
= e e e = e e e e −ay iax
−b e− y (cos x+i sin x)+ b ey (cos x−i sin x)
−
a
⎤ ⎥⎦
（2） 3 i = (ei(π / 2+2kπ )1/3 = ei(π / 6+2kπ /3)
（3） ii = (ei(π / 2+2kπ )i = e−(π / 2+2kπ )
（4） i
i
=
i
(e
(
π 2
+
2 kπ
)
)1/
i
=
eπ / 2+2kπ
（5） cos 5ϕ ，（6） sin 5ϕ
（7） (1− i)/(1+ i) = − i = cos(3π / 2) + i sin(3π / 2) = ei3π /2
3、计算下列数值。（a、b、φ为实常数） （1） a + ib
解：由公式 1.1.19 知，原式等于 a2 + b2 (cosθ / 2 + i sinθ / 2)
sinθ = 2sin(θ / 2)cos(θ / 2) = b
ρ
Δϕ
ρ
= −i 1 e−iϕ ∂u + 1 e−iϕ ∂v ρ ∂ϕ ρ ∂ϕ
要使两式相等，则有
− i 1 e−iϕ ∂u = ie−iϕ ∂v
ρ ∂ϕ
∂ρ
e−iϕ ∂u = 1 e−iϕ ∂v ∂ρ ρ ∂ϕ
⇒ ∂u = 1 ∂v ∂ρ ρ ∂ϕ ∂v = − 1 ∂u ∂ρ ρ ∂ϕ
§1.4 解析函数
2、已知解析函数 f ( z) 的实部或虚部，求该解析函数。
（1） u = ex sin y
解：由 C-R 条件， ∂u = ∂v = ex sin y ， ∂u = − ∂v = ex cos y
∂x ∂y
∂y ∂x
利用凑全微分显式方法，即上式中
∫ ∫ v = − excosydx + exsinydy = − cosydex + exd (−cosy) = −excosy + C
2i
2i
2i
= − i [e−y (cos x + i sin x) − e y (cos x − i sin x)] = 1 (e y + e−y ) sin x + i (e y − e−y ) cos x =2
2
2
2
则， 1 (e y + e−y ) sin x =2， 1 (e y − e−y ) cos x =0，所以，必有 cos x =0，即 x =π / 2 + 2kπ ，
lim
eiϕ Δϕ →0
eiϕ * Δρ
= lim[e−iϕ u(ρ + Δρ,ϕ) − u(ρ,ϕ) + ie−iϕ v(ρ + Δρ,ϕ) − v(ρ,ϕ) ]
Δρ →0
Δρ
Δρ
= lim (e−iϕ ∂u + ie−iϕ ∂v )
Δρ →0
∂ρ
∂ρ
当ρ为定值，而Δz = ρΔ(eiϕ ) = iρeiϕ Δϕ时
解：即 x2 + y2 + x ≤ 1，则 x ≤ 1， y2 ≤ 1− 2x ，即抛物线 y2 = 1− 2x 及其内部。
（5）α ＜ arg z ＜ β ， a ＜ Re z ＜ b ，（α 、 β 、 a 、 b 为实常数）
解： （6） 0 < arg z − i < π
z+i 4
解： z − i = x2 + y2 −1 − i2x z + i x2 + ( y + 1)2
解： (cosϕ + cos 2ϕ + L + cos nϕ) + i(sinϕ + sin 2ϕ + L + sin nϕ)
= (cosϕ + i sinϕ) + (cos 2ϕ + i sin 2ϕ) +L+ (cos nϕ + i sin nϕ)
[ ] = eiϕ
+ ei2ϕ
+ L + einϕ
2i
= 1 [e−b (cos a + i sin a) − eb (cos a − i sin a)] = (eb + e−b ) sin a + i (eb − e−b ) cos a
2i
2
2
（2） cos(a + ib) = 1 [ei(a+ib) + e−i(a+ib) ] = 1 (eia−b + e−ia+b ) = 1 (e−beia − ebe−ia )
综上所述，可知 z 为左半平面 x<0，但除去圆 x2 + y2 −1 + 2x = 0 及其内部
（7） z -1 ≤ 1, z +1
[ ] 解：
z -1 z +1
=
x −1+iy x +1+iy
=
⎡ x2 + y2 −1 ⎤2
⎢⎣(x
+1)2
+
y2
⎥ ⎦
+
4y2
(x +1)2 +
y2
2
( ) [ ] 所以 x2 + y2 −1 2 + 4 y2 ≤ (x + 1)2 + y2 2
（2）-1= cosπ + i sin π = eiπ
（3）1+ i 3 = 2eiπ /3 = 2 cos π + i sin π
3
3
（4）1− cosα + i sinα （α 是实常数）= 2sin2 α + i2sin α cos α
2
22
= 2sin α
(sin α
+ i cos α ) = 2sin α
解： cos 5ϕ + i sin 5ϕ = (cosϕ + i sinϕ)5
= cos 5ϕ + i5cos4 ϕ sin ϕ −10 cos3 ϕ sin2 ϕ − i10 cos2 ϕ sin3 ϕ + 5cosϕ sin4 ϕ + i sin5 ϕ
= (cos5ϕ −10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5cosϕ sin4 ϕ) + i(5cos4 ϕ sin ϕ −10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ)
因此，（5）= cos 5ϕ −10 cos3 ϕ sin2 ϕ + 5 cosϕ sin4 ϕ ，
（6）= 5cos4 ϕ sin ϕ −10 cos2 ϕ sin3 ϕ + sin5 ϕ
（7） cosϕ + cos 2ϕ + cos 3ϕ + ... + cos nϕ ，（8） sinϕ + sin 2ϕ + sin 3ϕ + ... + sin nϕ
（7） chix = (eix + e−ix ) / 2 = (cos x + i sin x + cos x − i sin x) / 2 = cos x
（8） shix = (eix − e−ix ) / 2 = (cos x + i sin x − cos x + i sin x) / 2 = sin x