找中点构造中位线解题

找中点构造中位线解题

山东沂源县徐家庄中学 左效平

邮政编码：256116

三角形的中位线定理，是一个非常有价值的定理。它是一个遇到中点，必须联想到的重要定理之一。但是，在解题时，往往只知道一个中点，而另一个中点就需要同学们，根据题目的特点，自己去寻找。本文就向同学们介绍三种在不同条件下寻找中点的方法，供同学们学习时参考。

一、知识回顾

1、三角形中位线定理：

三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

2、应用时注意的几个细节：

①定理的使用前提：三角形。

②定理使用时，满足的具体条件：

两条边的中点，且连接这两点，成一条线段。

③定理的结论：

位置上：与第三边是平行的；

大小上：等于第三边的一半。

在应用时，要灵活选择结论。

二、应用举例

1、直接找线段的中点，应用中位线定理

例1、如图1所示，在三角形ABC 中，∠B=2∠C ，AD 是三角形的高，点M 是边BC 的中点，求证：DM=2

1AB 。

分析：

看到结论的表达形式，我们就想到，三角形的中位线定理，有这样的特点，因此，我们就可以构造AB 上的中位线，再证明这条中位线与DM 是相等的。

证明：如图2所示，

取边AC 的中点E ，

连接ME ，

则ME ∥AB ，ME=2

1AB ， 因为，ME ∥AB ，

所以，∠B=∠EMC ，

因为，∠B=2∠C ，

所以，∠EMC=2∠C ，

∠EMC 是三角形DME 的一个外角，

所以，∠EMC=∠MDE+∠MED ，

所以，2∠C=∠MDE+∠MED ，

因为，AD 是三角形的高，

所以，∠ADC 是直角，

所以，DE 是直角三角形ADC 斜边上的中线，

所以，DE=EC ，

所以，∠MDE=∠C ，

所以，2∠C=∠C +∠MED ，

所以，∠MED=∠C ，

所以，∠MDE=∠MED ，

所以，DM=ME ，

所以，DM=2

1AB 。 2、利用等腰三角形的三线合一找中点，应用中位线定理

例2、如图3所示，在三角形ABC 中，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，BD ⊥AD ，点D 是垂足，点E 是边BC 的中点，如果AB=6,AC=14，则DE 的长为 。

分析：

因为，点E 是BC 的中点，如果点D 也是某一边的中点，我们就可以利用三角形的中位线定理，来求得DE 的长度。循着这条思路，我们不妨延长BD ，交AC 于点F ，只要证明点D 是BF 的中点就可以了。

解：

如图4所示，延长BD ，交AC 于点F ，

因为，BD ⊥AD ，点D 是垂足，

所以，∠ADB=∠ADE=90°,

因为，AD 是三角形ABC ∠BAC 的角平分线，

所以，BD=DF ，AB=AF ，

又因为，BE=EC ，

所以，DE 是三角形BFC 的中位线，

所以，DE=2

1FC, 因为，FC=AC-AF=AC-AB=14-6=8,

所以，DE =4.

3、利用平行四边形对角线的交点找中点，应用中位线定理

例3、如图5所示，AB ∥CD ，BC ∥AD ，DE ⊥BE ，DF=EF ，甲从B 出发，沿着BA 、AD 、DF 的方向运动，乙B 出发，沿着BC 、CE 、EF 的方向运动，如果两人的速度是相同的，且同时从B 出发，则谁先到达？

分析：要想知道谁先到达，因为，他们的速度相等，所以，谁走的路程短，就是谁先到达，

所以，关键是比较BA+AD+DF 与BC+CE+EF 的大小。

解:如图6所示，连接BD ，交AF 于点O,

因为，AB ∥CD ，BC ∥AD ，

所以，四边形ABCD是平行四边形，

所以，CD=AB，AD=BC，

所以，点O是BD的中点，

因为，DF=EF，

所以，OF是三角形DBE 的中位线，

所以，OF∥BE,

因为，DE⊥BE ，

所以，CF⊥DE，

因为，DF=EF，

所以，CD=CE，

所以，CE=BA，

所以，BA+AD+DF=BC+CE+EF，

即他们行驶的路程是相等的，因为，他们的速度是相等的，所以，所用的时间也相等的，因此，两个人是同时到达的。