关于警力分布问题(改)

关于警力分布问题

数学科学学院谭志裕

信息与计算科学学院自动化系陈毅

信息与计算科学学院电子工程系洪诗龙

摘要

本文运用图论和线性规划的知识，建立整数规划模型解决了19个学校以及周边各个路段的警力分布问题。给出了在确保安全保卫工作正常进行、保证学校遇到险情报警后有警员按要求及时赶到的条件下，所需的最少警员数量及执勤点的选择方案。为了求得所需警员的最少数量，确定执勤点的选择方案，建立了以下模型：

针对问题一，根据图论知识，运用MatLab软件借用Floyd 算法，求得任意两点间（包括执勤点和学校）的最短距离。在此基础上，借用0—1整数规划的思想，根据限定条件，建立整数规划模型并运用Lingo软件求得所需的最少警员人数为21人，执勤点为20个。

针对问题二，在问题一的基础上，求得的距各类学校小于200米的标志点，

针对问题三，由于可以在道路上任意一点设执勤点，首先根据已有数据求得学校间的最短距离矩阵，由距离矩阵筛选出三类路径：（1）两学校间最短距离不小于400米的路径（2）第一类学校与第二类学校间最短距离小于600米的路径（3）两个第二类学校间最短距离小于800米的路径。通过限制条件筛选求解，得到最优人数为20，执勤点的位置相对灵活而且数量不固定，最少需要17个，最多21个。

最后，对模型优缺点进行评价，对得出的结果一一检验，符合实际情况，对警员的安排较合理，最大程度上利用了有限的人力资源。其次对假设进行改进，假设两个学校同时发生事故，依照模型一的思路建立模型，求解得出，最少需要24名警员，20个执勤点。最后给出了求解问题一、问题二中所需最少警员的数量和执勤点的选着方案的另一种算法。

关键字：警力分布 Floyd算法整数规划优化决策

一、问题重述

今年3月23日早晨，福建省南平市实验小学多名无辜学生在校门口被犯罪分子砍杀。该起重大恶性伤害事件引起了某市市委、市政府领导的高度重视，立即召集市公安局、教育局、行政执法局等有关部门和单位，召开加强校园周边特殊时段安全防范工作紧急会议，研究确定了加强校园周边安全防护工作的若干意见。

根据要求，公安部门要将学校安保工作纳入综合控制体系，加强社会嫌疑人员监控与防范。继续做好和落实公安部推出的维护校园及周边治安秩序“八条措施”。要在上下学高峰时段统筹派遣警力值勤护卫，加强校园周边巡逻与保卫工作。在学生、幼儿上下学的重点时段，各所中小学、幼儿园附近道路上安排警员执勤点。要做好应急处置工作，对学校险情进行快速反应，及时处置。

现有某区域内学校分布如图，设各标志点之间的道路为直线段。假设警员的执勤点布置在标志点，在接警后能以200米/分的速度赶往现场，根据学校人数的规模分类，各类学校要求尽可能在1分钟之内到达，第2类学校要求尽可能在2分钟之内能有第二名警员到达。

1．至少需要多少警员？

2．选择合理的执勤点位置，给出方案的评价。

3．若执勤点布置不限定在标志点，而是限定在道路上，重新讨论上述问题。

（点的坐标见附件）

二、问题分析

（一）问题一的分析

问题一是一种已知目的和所占有资源的条件下，求为实现目的所需资源最少的优化问题。

为了求解问题一，需要对已知数据进行分析，求得任意两点之间的最短距离。

对于人员的选取，不仅要考虑标志点、学校的位置，又要考虑各学校的具体要求。

基于以上原因，我们首先运用图论的思想，借助Floyd 算法求得任意两点之间的最短距离。再借用0-1规划的思想引入变量，结合要求建立线性规划模型，最后运用Lingo 软件对其求解。 （二） 问题二的分析

在问题一的基础上，可以直接得出执勤点的选择方案，并结合实际情况对其进行评价。 （三） 问题三的分析

在问题一、问题二的基础上，结合各类学校的特点先将学校按（1）两学校间最短距离不小于400米的路径（2）第一类学校与第二类学校间最短距离小于600米的路径（3）两个第二类学校间最短距离小于800米的路径，分为三类，然后根据各类的特点逐步分析得出最优的方案。

三、 模型假设

1、材料中所给的数据真实可靠，学校分类等信息真实合理。

2、图中任意两相邻标志点之间的道路为直线段。

3、警察接到报警后，立即以200米/分的速度匀速赶往。

4、警察在规定时间内到达学校的标志点就认为满足要求。

5、警察按最短的道路选择赶往学校。

6、不考虑交通阻塞等因素。

7、没有两所或两所以上的学校同时发生险情。

四、 定义与符号说明

A 标志点之间的距离构成的矩阵 ij a 标志点i 和j 之间的直线距离

B 标志点的邻接矩阵 ij b 邻接矩阵的元素

C 相邻标志点的距离矩阵

ij c 相邻标志点之间的距离

D 任意两点之间最短距离矩阵 ij d 标志点,i j 之间的最短距离

ij p 判断标志点i j 与学校之间距离是否小于200米的权

im q 判断标志点i 与第二类学校m 之间距离是否小于400米的权 i x 标志点i 处的警员人数

五、模型的建立与求解

问题一的模型

（一）模型的建立

Step1：首先，先将所给个各个标志点进行数学,数值化，便于后面用计算机处理数据。

1;2;3

25;B C D Z →→→→

1111126;27;28;2951;A B C D Z →→→→→；；

3333378;79;80;8195;A B C D R →→→→→；

；

Step2：将学校分类，分类情况见下表：

点之间的距离公式：,1,2,3

95)ij a i j =∈，用MatLab 软件

计算求出任意两点坐标点间的直线距离，并得到关于ij a 的矩阵A 。

11

11

(9595)

n n nn a a A a a ⨯⎛⎫ ⎪

=

⎪

⎪⎝⎭ Step4：根据题中所给的分布图，我们可以人工得到各标志点的邻接情况，并采

用0-1表示法，将两坐标点间的邻接情况进行数值化，得到邻接矩阵B ，便于后面的计算及求解。其中两坐标点之间邻接则用1表示，反之则用0来表示。

1111

(9595)

n n nn b b B b b ⨯⎛⎫ ⎪

=

⎪

⎪⎝⎭ Step5：由于需要求出各标志点任意两两之间的实际路程距离，所以先算出各邻

接点间距离，再通过一些临接点间的距离和来求得任意两点间的实际路程。该过程可以由A 点乘B 来计算得到：

1111

(9595)

n n nn c c C A B c c ⨯⎛⎫

⎪

=•=

⎪

⎪⎝⎭ Step6：由于C 中未相邻两点间的值为0，这在后面的求最短距离时会使之一直