第五章 矩阵分析

2若
，则
。
若
，
，则
。
3若
，则
。
4若
且
存在，则
。
5若
，且所用矩阵范数与向量范
数相容，则
证明 1、2 是线性运算关于范数连续的体现。3 是矩阵乘法运算
对范数连续的结果（矩阵范数相容性）。4
。5 矩阵范数与向量范数相容的结果。
命题 1 设矩阵范数 是与向量范数 相容,则
.
证明
定理 1 对任意 ,存在算子范数 ,使得
一般形式 由
（6） ，所以（6）的通解为
（7）
求初值问题
（8）
的解。在（7）中适当选取 使得（7）满足（8）的初始条件得
例 1 求解初值问题
（9）
解 先将问题改写成矩阵形式，令
由（9）知初值问题的解为
下面计算
令
，由方程组
解得
。 从而
所以
Exe 求解 Cauchy 问题
例2设
，求
解 由例 1 知道
,
例3 设
,计算
解由
解得特征值 的最小多项式为Biblioteka Baidu
.直接计算知道
,从而
(1) 设
,由线性方程组
可解得 所以
(2) 设 可解得 从而
,由线性方程组
例4 设
,求
解
易见
,所以 的最小多项式为
.
设
,由线性方程组
5.5 常用方阵函数的一些性质
性质 1 证明
性质 2 若
满足
,则
或更一般的有
(绝对)收敛,则方阵级数
(绝对)收敛,且
4 方阵级数
(绝对)收敛,则
(绝对)收敛,且
.
方阵幂级数
,
称方阵 的幂级数.
定理 1 设幂级数
(i) 当
时,
(ii) 当
时,
证 明 (i) 取
,从而
的收敛半径为 ,
,则
绝对收敛.
发散.
使得
,取范数
,所以
使得
绝对收敛.
(ii) 由谱半径的定义,存在
,若
收
敛,则
不可逆;若
不可逆.
.
5.6 方阵函数在微分方程组中的应用
一阶线性常系数齐次常微分方程组
一般形式
(1)
引入矩阵表示
则（1）可改写为
由
得
，从而（2）的通解为
现求初值问题
（2） （3）
（4）
的解。在通解（3）中适当选取 使得（4）的初始条件得到满足，及
取 满足
，所以初值问题（4）的解为
(5)
一阶线性常系数非齐次常微分方程组
5.4 方正函数
若函数 在 处可展开为幂级数
敛半径为
,则对
,当
，则定义
常用的方阵函数
1 矩阵指数函数 2 矩阵正弦函数
3 矩阵余弦函数
的特征值
，其收 满足 。
方阵函数的计算
定理 1 若 特别的，若 若
，则 ，则 ，则
定理 2 设
。令
，
的最小多项式为
，其中
，
使得
即
则 例1 设 解
，求
令
,则
,
所以
,
例1
,则
性质: 1
2
3
4
是纯量函数,
5
注:
例1 求 解
的导数.
.
5.3 方阵的幂级数
方阵级数
定义 1
,
称方阵级数,所
,则
称方阵级数
收敛,称 为该方正级数之和,记为
.
若正项级数
收敛,则称方阵级数
绝对收敛.
性质:
1 方阵级数
绝对收敛等价于其元素级数绝对收敛.
2 方阵级数
绝对收敛,则方阵级数
收敛.
3 方阵级数
.
证明 取可逆阵 将 化成若当标准型
令
,则
对任意
,定义
一个方阵范数.对此方阵范数,有
,则可直接验证 是
定理 2 设
,则以下三条等价
(1)
; (2)
; (3) 存在范数 ,使得
.
证明 (1) (2)
,所以
(2) (3) 由定理 1 立得.(3) (1)
.
5.2 函数矩阵的微分和积分
定义 1 函数矩阵的微分和积分按其元素进行.
也收敛, 这与
的收敛半径为 矛盾.
也收敛性的证明: 取 的相应于 的单位特征向量 ,即
.注意到
,所以
收敛.
推论 1 设幂级数
的收敛半径为 ,
,则
(i) 若 的特征值 满足
，则矩阵幂级
数
绝对收敛。
（ ii ） 若 有 一 个 特 征 值 满 足
，矩阵幂级数
发散。
推论 2 若幂级数
在 上收敛, 则
,
绝对收敛
第五章 矩阵分析
重点：矩阵函数，矩阵在微分方程中的应用
5.1 向量和矩阵的极限
定义 1 设
，若
，则称向量列
按范数 收敛到 ，记为
，或者
。
设
，若
，则称矩阵列 按
范数 收敛到 ，记为
，或者
。
注：上述收敛性与范数的选取无关，且等价于按分量（元素）收
敛。
性质：
1若
，则对任何向量范数 ， 有界。
若
，则对任何矩阵范数 ， 有界。
.
证明 利用矩阵乘法的线性性和逐次交换次序即可.
性质 3 若
满足
证明 由性质 2,只需证明
则
,则 即可.令
. ,
阵.特别地,由
里的结果.
,所以 是常值矩
推论 对
,
性质 4 对
,有
证明
.
性质 5 若
满足
,则
证明
性质 6 对 证明
性质 7 证明
. ,有
.
.
性质 8 若
有特征值属于
有特征值属于
,则
证明
,则