第八章第五节椭圆

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5．(教材习题改编)设P是椭圆2x52＋1y62 ＝1上的点，若F1，F2是椭圆 的两焦点，则△PF1F2的周长为________．
解析：l＝|PF1|＋|PF2|＋|F1F2| ＝2a＋2c＝10＋6＝16. 答案：16
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1．椭圆的定义中若|F1F2|＝2a时动点的轨迹是线段F1F2， |F1F2|>2a时动点的轨迹是不存在的．
椭圆的离心率是
.
解析：由题意有2a＋2c＝2(2b)，即a＋c＝2b，又c2＝a2－b2，
消去b整理得5c2＝3a2－2ac，即5e2＋2e－3＝0，∴e＝35或
e＝－1(舍去)．
答案：35
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3．已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，且长轴长为12，
离心率为13，则椭圆方程为
.
解析：2a＝12，ac＝13，∴a＝6，c＝2.
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条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
顶点 长轴顶点(±a,0)短轴顶点 长轴顶点 (0，±a) 短
(0，±b)
轴顶点 (±b,0)
焦点
(±c,0)
(0，±c)
焦距
| F1F2|＝ 2c (c2＝ a2－b2 )
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条件 2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
解析：∵π2<2<34π，∴sin2>0，cos2<0且|sin2|>|cos2|，∴sin2 ＋cos2>0，cos2－sin2<0且sin2－cos2>sin2＋Hale Waihona Puke Baiduos2，故表示焦 点在y轴上的椭圆． 答案：焦点在y轴上的椭圆
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2．(2012·南通模拟)椭圆对称轴在坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦 点构成一个正三角形，焦点到椭圆上的点的最短距离是 3，则这个 椭圆方程为________．
b2＝32，所以椭圆的方程为3x62＋3y22 ＝1.
答案：3x62＋3y22 ＝1
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4．(教材习题改编)已知椭圆x52＋my2＝1的离心率e＝ 510，则m的值 为________． 解析：当椭圆焦点在x轴上a2＝5，b2＝m，∴c2＝5－m. ∴ 5－5 m＝ 510.∴5－5 m＝1205. ∴m＝3. 焦点在y轴上时得mm－5＝1205. ∴m＝235.∴m的值为m＝3或m＝235. 答案：3或235
在y轴上，还是两个坐标轴都有可能．
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(2)设方程：根据上述判断设方程xa22＋by22＝1(a>b>0)或xb22＋ay22 ＝1(a>b>0)． (3)找关系：根据已知条件，建立关于 a、b、c 的方程组． (4)得方程：解方程组，将解代入所设方程，即为所求． 注意：当椭圆焦点位置不明确而无法确定标准方程时，可设 为xm2＋yn2＝1(m>0，n>0，m≠n)，也可设为 Ax2＋By2＝ 1(A>0，B>0 且 A≠B).
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2.椭圆中有一个十分重要的三角形OF1B2(如右图)， 它的三边长分别为a、b、c.易见c2＝a2－b2，且 若记∠OF1B2＝θ，则cosθ＝ac＝e.
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[精析考题] [例1] (2011·江西高考)若椭圆xa22＋by22＝1的焦点在x轴上，过点(1，12)作圆 x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和 上顶点，则椭圆方程是________．
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a－c＝ 3， 解析：由题意知ac＝12，
解得ca＝＝2
3， 3.
∴椭圆方程为1x22 ＋y92＝1
或1y22 ＋x92＝1.
答案：1x22＋y92＝1或1y22 ＋x92＝1
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[冲关锦囊] 1．一般地，解决与到焦点的距离有关的问题时，首
先应考虑用定义来解题． 2．用待定系数法求椭圆方程的一般步骤 (1)作判断：根据条件判断椭圆的焦点在x轴上，还是
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又直线PF1与圆相切，∴ 16|4＋＋44＋c| c2＝ 5. ∴c＝4.① 又∵a92＋b12＝1，② 由①②得a2＝18，b2＝2. ∴椭圆方程为1x82 ＋y22＝1.
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[巧练模拟]——————(课堂突破保分题，分分必保！)
1．(2012·宿迁模拟)方程sin2＋x2cos2－cos2－y2 sin2＝1 所表示的曲线 是________.
条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
图形
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条件
2a＞2c，a2＝b2＋c2，a＞0，b＞0，c＞0
标准方程 xa22＋by22＝1(a＞b＞0)
范围 对称性
|x|≤a；|y|≤b
曲线关于 x轴 y轴、原点 对称
ay22＋xb22＝1(a＞b＞0) |x|≤b；|y|≤a
曲线关于 x轴 y轴、原点 对称
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[自主解答] 由题可设斜率存在的切线的方程为 y－12＝ k(x－1)(k 为切线的斜率)，即 2kx－2y－2k＋1＝0， 由|－42kk2＋ ＋14|＝1，解得 k＝－34，所以圆 x2＋y2＝1 的一条 切线方程为 3x＋4y－5＝0，求得切点 A(35，45)，易知另一 切点 B(1,0)，则直线 AB 的方程为 y＝－2x＋2.令 y＝0 的右 焦点为(1,0)，令 x＝0 得上顶点为(0,2)．∴a2＝b2＋c2＝5， 故得所求椭圆方程为x52＋y42＝1.
[答案] x52＋y42＝1
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本例变为“若椭圆xa22＋by22＝1的焦点在x轴上，过点P(4,4)作PF1与圆 C(x－m)2＋y2＝5(m<3)相切，且圆C与椭圆的一个公共点为A(3,1)”， 问题不变．
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解：∵A点在圆上，∴(3－m)2＋1＝5. 又m<3，∴m＝1. 设F1(－c,0)，∵P(4,4)， ∴PF1：4x－(4＋c)y＋4c＝0.
离心率
e＝
c a
∈
(0,1)
，其中c＝
a2－b2
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1．(教材习题改编)椭圆10x－2 m＋my－2 2＝1 的焦距为 4， 则 m 等于________.
解析：由于焦点位置不确定，故10－m－(m－2)＝4 或m－2－(10－m)＝4.∴m＝4或8. 答案： 4或8
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2．若一个椭圆长轴的长度、短轴的长度和焦距成等差数列，则该
第
八 章
第
五
平
节
面
解 析
椭
几
圆
何
抓基础 明考向 提能力
教你一招 我来演练
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一、椭圆的定义 平面内到两个定点F1，F2的距离的 和 等于常数( 大于|F1F2|) 的点的集合叫作椭圆，这两个定点F1，F2叫作椭圆的 焦点 ， 两焦点F1，F2间的距离叫做椭圆的 焦距 ．
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二、椭圆的标准方程及其几何性质