湖南省长沙市一中2019届高三第一次月考数学(理)试题及答案

湖南省长沙市一中2019届高三第一次月考数学（理）试题及答案

一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．

1．命题：00R,21x

x ∃∈≥的否定是

A ．00R,21x x ∃∈<

B ．00R,21x

x ∃∉≥ C ．R,21x x ∀∈≥ D ．R,21x x ∀∈< 答案：D

2．下列函数中，在区间(0，2)上为增函数的是

A ．y ＝－x ＋1

B ．12

y x = C ．y ＝x 2

－4x ＋5 D ．1y x

=

答案：B

3．设全集U ＝R ，集合A ＝{x | x(x ＋3)＜0}，B ＝{x | x ＜－1}，则右图中阴影部分表示的集合为

A ．{x |－3＜x ＜－1}

B ．{x |－1≤x ＜0}

C ．{x |－3＜x ＜0}

D ．{x |－1＜x ＜0} 答案： B

4．方程log 3x ＋x －3＝0的实数解所在的区间是

A ．(0，1)

B ．A ．(1，2)

C ．(2，3)

D ．(3，4)

答案：C

5．设函数f(x)是定义在R 上的以3为周期的奇函数，若f(1)＞1且23

(2)1

a f a -=+，则 A ．23a < B ．213a a <≠-且 C ．213a a ><-或 D ．2

13

a -<<

答案：D

6．在一次数学实验中，运用计算器采集到如下一组数据：

则y 关于x 的函数关系与下列最接近的函数(其中a 、b 、c 为待定系数)是 A ．y ＝a ＋bx B ．y ＝a ＋b x

C ．y ＝ax 2

＋b D ．b y a x

=+

答案：B

7．已知函数f(x)＝(x －a)(x －b)(其中a ＞b)，若f(x)的图象如右图所示，则函数g(x)＝a x

＋b 的图象大致为

A B C D

答案：A

8．已知函数13()ln 144f x x x x

=-

+-，g(x)＝x 2－2bx ＋4，若对任意x 1∈(0，2)，存在x 2∈[1，2]，使f(x 1)≥g(x 2)，则实数b 的取值范围是 A ．17(2,

]8 B ．[1，＋∞] C ．17

[,)8

+∞ D ．[2，＋∞] 答案：C 解析：2

(1)(3)

()4x x f x x

---'=

，令f ′(x)＝0得x 1＝1，x 2＝3∉(0，2)． 当x ∈(0，1)时，f ′(x)＜0，函数f(x)单调递减；当x ∈(1，2)时，f ′(x)＞0，函数f(x)单调递增，所以f(x)在(0，2)上的最小值为1(1)2

f =-

． 由于“对任意x 1∈(0， 2)，存在x 2∈[1，2]，使f(x 1)≥g(x 2)”等价于“g(x)在[1，2]上的最小值不大于f(x)在(0，2)上的最小值1

2

-

”． （*） 又g(x)＝(x －b)2

＋4－b 2

，x ∈[1，2]，所以

①当b ＜1时，因为[g(x)]min ＝g(1)＝5－2b ＞0，此时与（*）矛盾；

②当b ∈[1，2]时，因为[g(x)]min ＝4－b 2

≥0，此时与（*）矛盾； ③当b ∈(2，＋∞)时，因为[g(x)]min ＝g(2)＝8－4b ．

解不等式1

842

b -≤-

，可得178b ≥．

综上，b 的取值范围是17

[,)8

+∞．

二、填空题：本大题共7小题，每小题5分，共35分．

9．幂函数f(x)＝x α

(α为常数)的图象经过(3,3)，则f(x)的解析式是 ． 答案：12

()f x x =

10．已知f(x)是偶函数，它在[0，＋∞)上是 增函数，若f(lgx)＜f(1)，则x 的取值范围是 ． 答案：1

(

,10)10

11．如图所示的程序框图运行后，输出的S 的值是 ．

答案：31

12．若函数()(4)2(1)2

x a f x a

x x ⎧⎪

=⎨-+≤⎪⎩是R 上的单调递增函数，则实数a 的取值范围是 ． 答案：[4，8) 13．先作与函数1

ln

3y x

=-的图象关于原点对称的图象，再将所得图象向右平移3个单位得到图象C 1．又y ＝f(x)的图象C 2与C 1关于y ＝x 对称，则y ＝f(x)的解析式是 ．

答案：y ＝e x

14．已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：

f(x)的导函数y ＝f ′(x)的图象如图所示：

则f(x)的单调递增区间是 ；f(x)的最大值是 ． 答案：[－1，0]和[2，4] 2

15．定义min{p ，q}表示p 、q 中的较小者，若函数214

()min{log ,3log }f x x x =+，则满足f(x)＜2的x 的取

值范围是 ．

答案：(0，4)∪(4，＋∞)

三、解答题：本大题共6小题，共75分． 16．(本小题满分12分)

已知a ＞0且a ≠1，设命题p ：函数y ＝a x ＋1在R 上单调递减，命题q ：曲线y ＝x 2

＋(2a －3)x ＋1与x 轴交于不同的两点，如果“p ∨q ”为真，且“p ∧q ”为假，求a 的取值范围． 解析：若命题p 为真，则0＜a ＜1． …………2分 若命题q 为真，则(2a －3)2

－4＞0，即15

22

a a <

>或． …………5分 ∵“p ∨q ”为真，“p ∧q ”为假，∴p 与q 有且只有一个为真． …………7分

（1）若p 真q 假，则01

151122

a a a <<⎧⎪

⎨≤<<≤⎪⎩或，∴112a ≤<．…………9分

（2）若p 假q 真，则1

15

22

a a a ≥⎧⎪

⎨<>⎪⎩或，∴52a >．…………11分 综上所述，a 的取值范围是15

[,1)(,)22

+∞．…………12分

17．(本小题满分12分)

设函数21()x x f x x

--=的值域是集合A ，函数g(x)＝lg[x 2－(a ＋1)2x ＋a(a 2

＋a ＋1)]的定义域是集合B ，其中

a 是实数．

（1）分别求出集合A 、B ；

（2）若A ∪B ＝B ，求实数a 的取值范围．