SXSY_04a-线性代数实验
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1.3 矩阵的幂与特征值、特征向量 3 1.4 Leslie模型及其应用 6
1.4.1 案例1. 简单迁移模型 6 1.5 线性变换 8
实验基础：线性代数知识
解线性方程组
解线性方程组： Matlab命令：A\b 示例： A=rand(3,3); truesol=rand(3,1) b=A*truesol mysol=A\b 比较数值结果与真解.
矩阵特征值
A是n阶方阵,求非零向量和数 称为特征向量, 称为特征值. lamda=eig(A) —— 计算A的特征值,这里lamda是A的全部特征值构成的 列向量。 [P,D]=eig(A) ——计算出A的全部特征值和对应的特征向量. 其中, D是
对角矩阵,保存矩阵A的全部特征值; P是满阵, P的列向量构成对应于D 的特征向量组。
[newpage]
I=imread('cameraman.tif'); [U,S,V]=svd(double(I)); s=diag(S); n1=5; Snew=diag([s(1:n1);zeros(size(s,1)-n1,1)]); figure,imshow(U*Snew*V',[]) n2=20; Snew=diag([s(1:n2);zeros(size(s,1)-n2,1)]); figure, imshow(U*Snew*V',[])
化．
如果矩阵可以相似对角化，在存在可逆矩阵，满足 其中，。 由得，
可知，为矩阵的特征值，其中为对应于特征值的特征向量。 则，如果是正交矩阵，则（正交矩阵）。 进而得到
.
这样就大大简化了计算矩阵的幂的复杂度. 需要计算矩阵的特征值、特征向量。 以对称矩阵为例说明： 利用[V,D]=eig(A)得： V=
科学家LesliePH.于1945年引进一种数学方法,利用某一初始时刻种 群的年龄结构现状,动态地预测种群年龄结构及数量随时间的演变过 程。
案例1. 简单迁移模型
每年A镇的人口10%迁往B镇;B镇的人口15%迁往A镇. 假设某年A、 B两镇人口各有120人和80人. 问两年后两镇人口数量分布如何?
设两镇总人口不变, 人口流动只限于两镇之间. 引入变量: 表示 A 镇第 年人口数量; 表示 B 镇第 年人口数量.
////根标题=数学实验 ////主标题=线性代数实验 ////作者= ////地址1=电子科技大学~~数学科学学院 ////地址2= ////地址3= ////标题缩减级别=1
1.1 实验基础：线性代数知识 1 1.1.1 解线性方程组 1 1.1.2 矩阵特征值 2
1.2 线性方程组求解 2 1.2.1 应用问题：在减肥食谱中的应用 2
则称是的相似矩阵，并称矩阵与相似． 对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵． 易证矩阵的相似关系满足： ①自反性：对于任意阶方阵，有与相似； ②对称性：若与相似，则与相似； ③传递性：若与相似，与相似，则与相似． 定理 若阶矩阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而与有相同
的特征值． 相似矩阵的一个重要性质： 若阶矩阵与对角阵相似，则即为的个特征值． 定义 若阶矩阵与对角阵相似，则称可以相似对角化，简称可对角
. 即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶27.72克， 大豆面粉39.19克，乳清23.32克。
求解上述线性方程组的程序： >> A=[36 51 13; 52 34 74; 0 7 1.1]; b=[33;45;3]; x=A\b
x= 0.2772 0.3919 0.2332
Leslie模型及其应用
1.0e-11 * -0.0227 -0.0227 -0.0909 -0.0455 -0.0227 -0.0455 -0.1364 -0.0455 -0.0909 -0.1364 -0.1819 -0.1819 -0.0227 -0.0455 -0.1364 0 说明二者相差很小。
特征值的应用
[newpage]
线性变换
[newpage]
X = house dot2dot(X)
线性方程组求解
1. 线性方程组的理论应用已经渗透到数学发展的许多分支 很多实际问题的处理最后往往归结为比较容易处理的线性方程组的 问题 2. 线性方程组在工程技术上、空间几何和国民经济的许多领域都
有着广泛的应用
应用问题：在减肥食谱中的应用
下表是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养 素的数量。
在命令行输入V*V'得： V*V' ans =
1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0
0.0000 0.0000 0 1.0000 可知eig所计算得到特征向量矩阵V已经是正交矩阵，则 计算A的5次幂可用如下命令完成： V*D.^5*V' 输入A^5-V*D.^5*V'得： ans =
, 若，则 是特征值1的特征向量. 思考：在无限长时间后，两镇人数的变化规律与矩阵A有何关联？
矩阵的幂与特征值、特征向量
相关知识点： 相似对角化，特征值，特征向量，正交矩阵 在许多工程计算中，经常遇到计算矩阵的幂的问题，请问有没有快 速的计算方法？
概念： 定义 设都是阶方阵，若存在可逆矩阵，使 ，
营养
每100克食物所含营养（g）
减肥所要求的 每日营养量
脱脂牛奶 大豆面粉 乳清
蛋白质
36
51
13
33
碳水wk.baidu.com合物
52
34
74
45
脂肪
0
7
1.1
3
如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多 少才能全面准确地实现这个营养要求？
以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日 需食用的脱脂牛奶个单位，大豆面粉个单位，乳清个单位，则由所给 条件得 解上方程组得，解为
0.8658 0.1968 0.2961 0.3521
-0.4463 0.7064 0.2603 0.4837 0.0822 0.0201 -0.8573 0.5078 -0.2108 -0.6796 0.3311 0.6198
D=
1.6310 0 0 0 0 1.8540 0 0 0 0 2.7441 0 0 0 0 6.1709
由第 年到第 年两镇人口数量变化规律如下
, [newpage] ////codebegin %%%title1:线性代数实验 %%%title2:应用实验 %%%title:简单迁移模型 A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; X0=[120;80]; X2=A^2*X0 D=eig(A) ////codeend
1.4.1 案例1. 简单迁移模型 6 1.5 线性变换 8
实验基础：线性代数知识
解线性方程组
解线性方程组： Matlab命令：A\b 示例： A=rand(3,3); truesol=rand(3,1) b=A*truesol mysol=A\b 比较数值结果与真解.
矩阵特征值
A是n阶方阵,求非零向量和数 称为特征向量, 称为特征值. lamda=eig(A) —— 计算A的特征值,这里lamda是A的全部特征值构成的 列向量。 [P,D]=eig(A) ——计算出A的全部特征值和对应的特征向量. 其中, D是
对角矩阵,保存矩阵A的全部特征值; P是满阵, P的列向量构成对应于D 的特征向量组。
[newpage]
I=imread('cameraman.tif'); [U,S,V]=svd(double(I)); s=diag(S); n1=5; Snew=diag([s(1:n1);zeros(size(s,1)-n1,1)]); figure,imshow(U*Snew*V',[]) n2=20; Snew=diag([s(1:n2);zeros(size(s,1)-n2,1)]); figure, imshow(U*Snew*V',[])
化．
如果矩阵可以相似对角化，在存在可逆矩阵，满足 其中，。 由得，
可知，为矩阵的特征值，其中为对应于特征值的特征向量。 则，如果是正交矩阵，则（正交矩阵）。 进而得到
.
这样就大大简化了计算矩阵的幂的复杂度. 需要计算矩阵的特征值、特征向量。 以对称矩阵为例说明： 利用[V,D]=eig(A)得： V=
科学家LesliePH.于1945年引进一种数学方法,利用某一初始时刻种 群的年龄结构现状,动态地预测种群年龄结构及数量随时间的演变过 程。
案例1. 简单迁移模型
每年A镇的人口10%迁往B镇;B镇的人口15%迁往A镇. 假设某年A、 B两镇人口各有120人和80人. 问两年后两镇人口数量分布如何?
设两镇总人口不变, 人口流动只限于两镇之间. 引入变量: 表示 A 镇第 年人口数量; 表示 B 镇第 年人口数量.
////根标题=数学实验 ////主标题=线性代数实验 ////作者= ////地址1=电子科技大学~~数学科学学院 ////地址2= ////地址3= ////标题缩减级别=1
1.1 实验基础：线性代数知识 1 1.1.1 解线性方程组 1 1.1.2 矩阵特征值 2
1.2 线性方程组求解 2 1.2.1 应用问题：在减肥食谱中的应用 2
则称是的相似矩阵，并称矩阵与相似． 对进行运算称为对进行相似变换，称可逆矩阵为相似变换矩阵． 易证矩阵的相似关系满足： ①自反性：对于任意阶方阵，有与相似； ②对称性：若与相似，则与相似； ③传递性：若与相似，与相似，则与相似． 定理 若阶矩阵与相似，则与有相同的特征多项式，从而与有相同
的特征值． 相似矩阵的一个重要性质： 若阶矩阵与对角阵相似，则即为的个特征值． 定义 若阶矩阵与对角阵相似，则称可以相似对角化，简称可对角
. 即为了保证减肥所要求的每日营养量，每日需食用脱脂牛奶27.72克， 大豆面粉39.19克，乳清23.32克。
求解上述线性方程组的程序： >> A=[36 51 13; 52 34 74; 0 7 1.1]; b=[33;45;3]; x=A\b
x= 0.2772 0.3919 0.2332
Leslie模型及其应用
1.0e-11 * -0.0227 -0.0227 -0.0909 -0.0455 -0.0227 -0.0455 -0.1364 -0.0455 -0.0909 -0.1364 -0.1819 -0.1819 -0.0227 -0.0455 -0.1364 0 说明二者相差很小。
特征值的应用
[newpage]
线性变换
[newpage]
X = house dot2dot(X)
线性方程组求解
1. 线性方程组的理论应用已经渗透到数学发展的许多分支 很多实际问题的处理最后往往归结为比较容易处理的线性方程组的 问题 2. 线性方程组在工程技术上、空间几何和国民经济的许多领域都
有着广泛的应用
应用问题：在减肥食谱中的应用
下表是该食谱中的3种食物以及100克每种食物成分含有某些营养 素的数量。
在命令行输入V*V'得： V*V' ans =
1.0000 -0.0000 0.0000 0.0000 -0.0000 1.0000 0.0000 0.0000 0.0000 0.0000 1.0000 0
0.0000 0.0000 0 1.0000 可知eig所计算得到特征向量矩阵V已经是正交矩阵，则 计算A的5次幂可用如下命令完成： V*D.^5*V' 输入A^5-V*D.^5*V'得： ans =
, 若，则 是特征值1的特征向量. 思考：在无限长时间后，两镇人数的变化规律与矩阵A有何关联？
矩阵的幂与特征值、特征向量
相关知识点： 相似对角化，特征值，特征向量，正交矩阵 在许多工程计算中，经常遇到计算矩阵的幂的问题，请问有没有快 速的计算方法？
概念： 定义 设都是阶方阵，若存在可逆矩阵，使 ，
营养
每100克食物所含营养（g）
减肥所要求的 每日营养量
脱脂牛奶 大豆面粉 乳清
蛋白质
36
51
13
33
碳水wk.baidu.com合物
52
34
74
45
脂肪
0
7
1.1
3
如果用这三种食物作为每天的主要食物，那么它们的用量应各取多 少才能全面准确地实现这个营养要求？
以100克为一个单位，为了保证减肥所要求的每日营养量，设每日 需食用的脱脂牛奶个单位，大豆面粉个单位，乳清个单位，则由所给 条件得 解上方程组得，解为
0.8658 0.1968 0.2961 0.3521
-0.4463 0.7064 0.2603 0.4837 0.0822 0.0201 -0.8573 0.5078 -0.2108 -0.6796 0.3311 0.6198
D=
1.6310 0 0 0 0 1.8540 0 0 0 0 2.7441 0 0 0 0 6.1709
由第 年到第 年两镇人口数量变化规律如下
, [newpage] ////codebegin %%%title1:线性代数实验 %%%title2:应用实验 %%%title:简单迁移模型 A=[0.9,0.15;0.1,0.85]; X0=[120;80]; X2=A^2*X0 D=eig(A) ////codeend