2019届高三总复习数学理科试卷及答案

高三综合试卷（理科）
第Ⅰ卷
一、选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分．答案填在第Ⅱ卷对应部分） 1．设集合}1,0,1{-=M ，},{2
a a N =则使M ∩N ＝N 成立的a 的值是
A ．1
B ．0
C ．－1
D ．1或－1
2．阅读右面的程序框图，则输出的S =
A ．14
B ．30
C ．20
D ．55
3．投掷两颗骰子，其向上的点数分别为m 和n ，则复数2
)(ni m +为纯虚数的概率为
A ．13
B ．14
C ．16
D ．
112
4．设a 为实数，函数32
()(3)f x x ax a x =++-的导函数为()f x '，且()f x '是偶函数，则曲线()y f x =在原点处的切线方程为
A ．31y x =+
B ．3y x =-
C ．31y x =-+
D ．33y x =- 5、在34
31()x x
+
的展开式中，幂指数为整数的项共有 A ．3项 B ．4项 C ．5项 D ．6项
6.某出租车公司计划用450万元购买A 型和B 型两款汽车投入营运，购买总量不超过50辆，其中购买A 型汽车需13万元／辆，购买B 型汽车需8万元／辆．假设公司第一年A 型汽车的纯利润为2万元／辆，B 型汽车的纯利润为1.5万元／辆，为使该公司第一年纯利润最大，则需安排购买
A ．8辆A 型出租车，42辆
B 型出租车 B ．9辆A 型出租车，41辆B 型出租车
C ．11辆A 型出租车，39辆B 型出租车
D ．10辆A 型出租车，40辆B 型出租车 7. 若某几何体的三视图 (单位：cm) 如图所示，则此几何体的表面积是 A. 65
cm 2 B. 154 cm 2 C. 52 cm 2 D.158 cm 2
8
．已知两点(1,0),(1,A B O 为坐标原点，点C 在第二象限，且
120=∠AOC ，设
2,(),OC OA OB λλλ=-+∈R 则等于
A ．1-
B ．２
C ．1
D ．2-
9．过抛物线x y 42
=的焦点作一条直线与抛物线相交于B A ,两点,它们到直线2-=x 的距 离之和等于5,则这样的直线
A ．有且仅有一条
B ．有且仅有两条
C ．有无穷多条
D ．不存在
10．已知函数31,0()3,0
x x f x x
x x ⎧
+>⎪=⎨⎪+≤⎩，则关于x 的方程2
(2)f x x a +=（2a >）的根的个数 不可能为
A ．3
B ． 4
C ． 5
D ． 6
11．已知函数)2
,0)(sin()(π
ϕωϕω≤>+=x x f ，4
π
-
=x 为)(x f 的零点，4
π=
x 为
)(x f y =图像的对称轴，且)(x f 在)36
5,18(π
π单调，则ω的最大值为
（A ）11
（B ）9 （C ）7
（D ）5
12．若1>>b a ，10<<c ，则 （A ）c
c
b a <
（B ）c
c
ba ab <
（C ）c b c a a b log log < （D ）c c b a log log <
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分. 答案填写在第Ⅱ卷对应部分）
13.若3
sin 5
α=-
，且tan 0α>，则cos α= ． 14．已知等差数列{}n a 的前n 项和为2
(1)n S a n a =++，若某三角形的三边之比为
234::a a a ，则该三角形的最大内角是 .
15．设二次函数2
()4()f x ax x c x R =-+∈的值域为[0,)+∞，则
19
19
c a +
++的最大值为 .
16.非空集合G 关于运算⊕满足：（1）对任意a 、b G ∈，都有a b G ⊕∈；（2）存在c G ∈，使得对一切a G ∈，都有a c c a a ⊕=⊕=，则称G 关于运算⊕为“融洽集”. 现给出下列集合和运算：
①G ={非负整数}，⊕为整数的加法。

②G ={偶数}，⊕为整数的乘法。

③G ={平面向量}，⊕为平面向量的加法。

④G ={二次三项式}，⊕为多项式的加法。

⑤G ={虚数}，⊕为复数的乘法。

其中G 关于运算⊕为“融洽集”的是 （写出所有“融洽集”的序号）
高三综合试卷（理科）
班级： 姓名： 总分：
第Ⅱ卷
1 2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13.____________. 14._____________. 15. _____________.
16.____________.
三、解答题（本大题共6个小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 17．（本题满分12分）在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，
q =（a 2，1），p =（c b -2， C cos ）且p ∥q ．求：
（I ）求sin A 的值；（II ）求三角函数式1tan 12cos 2++-C
C
的取值范围．
18．（本小题满分12分） 如图，在四棱柱ABCD -PGFE 中，底面ABCD 是直角梯形，侧棱垂直于底面，AB //DC ，
∠ABC ＝45o ，DC ＝1，AB ＝2，P A ＝1． （Ⅰ）求PD 与BC 所成角的大小； （Ⅱ）求证：BC ⊥平面P AC ； （Ⅲ）求二面角A -PC -D 的大小． 19．（本小题满分12分）
英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词；每周五对一周内所学单词随 机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）
（Ⅰ）英语老师随机抽了4个单词进行检测，求至少有3个是后两天学习过的单词的概率；
（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为4
5
，对前两天所学过的单词每个
能默写对的概率为3
5
．若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对
的单词的个数ξ的分布列和期望．
20．（本题满分12分）
已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为1
2
，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半
径的圆与直线60x y -=相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴的直线l 与椭圆C 相交
于A 、B 两点。

（1）求椭圆C 的方程； （2）求OB OA ⋅的取值范围；
（3）若B 点在于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点.
21.（本小题满分12分） 已知函数2
)1()2()(-+-=x a e x x f x
有两个零点． （Ⅰ）求a 的取值范围；
（Ⅱ）设21,x x 是)(x f 的两个零点，证明：221<+x x ．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号.
22. （本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，曲线1C 的参数方程为⎩
⎨⎧+==,sin 1,
cos t a y t a x t (为参数，)0>a ．在以坐标
原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线θρcos 4:2=C ． （Ⅰ）说明1C 是哪一种曲线，并将1C 的方程化为极坐标方程；
（Ⅱ）直线3C 的极坐标方程为0αθ=，其中0α满足2tan 0=α，若曲线1C 与2C 的公
共点都在3C 上，求a ．
23. （本小题满分10）选修4-5：不等式选讲 已知函数321)(--+=x x x f ． （Ⅰ）在答题卡第（24）题图中画出)(x f y =的图像； （Ⅱ）求不等式1)(>x f 的解集．
参考答案
一、选择题 CBCBD DACDA BC 11题提示：【解析】：由题意知：
12
π
+π 4
ππ+π+
42
k k ωϕωϕ⎧-=⎪⎪⎨
⎪=⎪⎩则21k ω=+，其中k ∈Z ，()f x 在π5π,1836⎛⎫
⎪⎝⎭
单调，
5π,123618122
T
ππω∴
-=≤≤ 接下来用排除法：若π11,4ωϕ==-，此时π()sin 114f x x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，()f x 在π3π,1844⎛⎫
⎪⎝⎭
递增，
在3π5π,4436⎛⎫ ⎪⎝⎭递减，不满足()f x 在π5π,1836⎛⎫
⎪⎝⎭
单调；若π9,4ωϕ==，此时
π()sin 94f x x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，满足()f x 在π5π,1836⎛⎫
⎪⎝⎭
单调递减。

故选B ．
12题提示：【解析】： 由于01c <<，∴函数c y x =在R 上单调递增，因此
1c c a b a b >>⇔>，A 错误；
由于110c -<-<，∴函数1c y x -=在
()
1,+∞上单调递减，∴
111c c c c a b a b ba ab -->>⇔<⇔<，B 错误；
要比较log b a c 和log a b c ，只需比较
ln ln a c b
和ln ln b c a ，只需比较ln ln c b b 和ln ln c
a a ，只需ln
b b 和ln a a ，
构造函数()()ln 1f x x x x =>，则()'ln 110f x x =+>>，()f x 在()1,+∞上单调递增，因此
()()11
0ln ln 0ln ln f a f b a a b b a a b b >>⇔>>⇔
<
，
又由01c <<得ln 0c <， ∴
ln ln log log ln ln a b c c
b c a c a a b b
<⇔<，C 正确； 要比较log a c 和log b c ，只需比较ln ln c a 和ln ln c
b ，
而函数ln y x =在()1,+∞上单调递增， 故
111ln ln 0ln ln a b a b a b
>>⇔>>⇔
<，
又由01c <<得ln 0c <，∴
ln ln log log ln ln a b c c
c c a b
>⇔>，D 错误； 故选C ．
二、填空题 13. 4
5
-
14. 6(2π++ 15. 120︒ 16.①③
17、解：（I ）∵q p //，∴c b C a -=2cos 2， 根据正弦定理，得C B C A sin sin 2cos sin 2-=， 又()sin sin sin cos cos sin B A C A C A C =+=+，
1sin cos sin 2C A C ∴=，0sin ≠C ，2
1cos =∴A ， 又0A π<<3
π
=∴A ；sin A =23 (6)
分
（II ）原式C C C C
C C C C
C cos sin 2cos 21cos sin 1)
sin (cos 211tan 12cos 2222+-=+
--=++-=，
)4
2sin(22cos 2sin π
-
=-=C C C ， ∵π3
20<<C ，∴πππ1213424<-<-C ，∴1)42sin(22≤-<-π
C ，
∴2)4
2sin(21≤-
<-π
C ，∴)(C f 的值域是]2,1(-． ……………………………
18．（Ⅰ）取的AB 中点H ，连接DH ，易证BH//CD ，且BD =CD …………………1分
所以四边形BHDC 为平行四边形，所以BC//DH
所以∠PDH 为PD 与BC 所成角………………………………………………2分 因为四边形，ABCD 为直角梯形，且∠ABC =45o ， 所以⊥DA ⊥AB
又因为AB =2DC =2，所以AD =1， 因为R t △PAD 、R t △DAH 、R t △PAH 都为等腰直
角三角形，所以PD =DH =PH 2，故∠PDH =60o ………………………4分
（Ⅰ）连接CH ，则四边形ADCH 为矩形， ∴AH =DC 又AB =2，∴BH =1
在R t △BHC 中，∠ABC =45o ， ∴CH =BH =1，CB 2 ∴AD =CH =1，AC 2 ∴AC 2+BC 2=AB 2 ∴BC ⊥AC ……6分 又PA 平面ABCD ∴PA ⊥BC ……7分
∵PA ∩AC =A ∴BC ⊥平面PAC ………………………………………8分
（Ⅲ）如图，分别以AD 、AB 、AP 为x 轴，y 轴，z 轴
建立空间直角坐标系，则由题设可知：
A (0，0，0)，P (0，0，1)，C (1，1，0)，D (1，0，0)，
∴AP =(0，0，1)，PC =(1，1，-1) ………………………………………… 9分
设m =(a ，b ，c )为平面PAC 的一个法向量， 则0
AP PC ⎧=⎪⎨=⎪⎩m m ，即00c a b c =⎧⎨+-=⎩
设1a =，则1b =-，∴m =(1，-1，0) ………………………………………10分
同理设n =(x ，y ，z ) 为平面PCD 的一个法向量，求得n =(1，1，1) ………11分 ∴111
cos ,222
⨯-=
==⨯m n m n m n 所以二面角A -PC -D 为60o ………………………………………………… 12分 19．（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有3个后两天学过的事件为A ，则由题意
可得314666
4
12C C +C 3()C 11
P A == …………………………………………………5分 （Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，则有P (ξ=0)21
22
()55125
=⨯
=
………6分 P (ξ=1)1224121319
C ()55555125=⨯
⨯⨯+⨯=
， P (ξ=2) 212
4241356
()+C 55555125=⨯⨯⨯⨯=，…………………………………9分 P (ξ=3) 24348
()55125
=⨯= …………………………………………………10分
所以ξ的分布列为：
…11分
ξ 0 1 2 3 P
2125 19
125 56125 48125
故E ξ=0×2125+1×19125+2×56125+3×48125=115
……………………………12分 20．(1)解：由题意知12c e a ==，∴222222
14c a b e a a -===，即2
243a b =
又6311
b =
=+，∴2243a b ==，
故椭圆的方程为22
143
y x +=
2分
(2)解：由题意知直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为(4)y k x =- 由2
2(4)
14
3y k x y x =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得：2222(43)3264120k x k x k +-+-= 4分
由2222(32)4(43)(6412)0k k k ∆=--+->得：21
4
k <
设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则22121222
326412
4343
k k x x x x k k -+==++， ① 6分
∴
222
12121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =--=-++
21解：【解析】：⑴
由已知得：()()()()()
'12112x x f x x e a x x e a =-+-=-+
① 若0a =，那么()()0202x f x x e x =⇔-=⇔=，()f x 只有唯一的零点2x =，不合题意；
② 若0a >，那么20x x e a e +>>，
所以当1x >时，()'0f x >，()f x 单调递增;当1x <时，()'0f x <，()f x 单调递减; 即：
x
(),1-∞
1
()1,+∞
()'f x -
+
()f x
↓ 极小值
↑
()()()
由于()20f a =>，()10f e =-<，则()()210f f <， 根据零点存在性定理，()f x 在()1,2上有且仅有一个零点． 而当1x <时，x e e <，210x -<-<，
故()()()()()()()2
2
2
212111x f x x e a x e x a x a x e x e =-+->-+-=-+--
则()0f x =的两根11t =
，21t =+， 12t t <，因为0a >，故当1x t <或2x t >时，()()2
110a x e x e -+-->
因此，当1x <且1x t <时，()0f x >
又()10f e =-<，根据零点存在性定理，()f x 在(),1-∞有且只有一个零点． 此时，()f x 在R 上有且只有两个零点，满足题意．
③ 若02
e
a -<<，则()ln 2ln 1a e -<=，
当()ln 2x a <-时，()1ln 210x a -<--<，()
ln 2220a x e a e a -+<+=，
即()()()
'120x f x x e a =-+>，()f x 单调递增； 当
()ln 21
a x -<<时，10x -<，
()
ln 2220a x e a e
a -+>+=，即
()()()'120x f x x e a =-+<，()f x 单调递减；
当1x >时，10x ->，()
ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单调递增．
即：
()()()(){
}
2
2
ln 22ln 22ln 21ln 2210f a a a a a a a -=---+--=--+<⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦
故当1x ≤时，()f x 在()ln 2x a =-处取到最大值()ln 2f a -⎡⎤⎣⎦，那么()()ln 20f x f a -<⎡⎤⎣⎦≤恒成立，即()0f x =无解
而当1x >时，()f x 单调递增，至多一个零点 此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．
④ 若2
e
a =-，那么()ln 21a -=
当()1ln 2x a <=-时，10x -<，()
ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增
当()1ln 2x a >=-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+>+=，即()'0f x >，()f x 单
调递增
又()f x 在1x =处有意义，故()f x 在R 上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
⑤ 若2
e
a <-，则()ln 21a ->
当1x <时，10x -<，()
ln 212220a x e a e a e a -+<+<+=，即()'0f x >，()f x 单调递增
当()1ln 2x a <<-时，10x ->，()ln 2220a x e a e a -+<+=，即()'0f x <，()f x 单
调递减
当()ln 2x a >-时，()1ln 210x a ->-->，()
ln 2220a x e a e
a -+>+=，即()'0f x >，
()f x 单调递增 即：
0<恒成立，即()0f x =无解
当()ln 2x a >-时，()f x 单调递增，至多一个零点,此时()f x 在R 上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当0a >时符合题意，即a 的取值范围为()0,+∞． ⑵ 由已知得：()()120f x f x ==，不难发现11x ≠，21x ≠，
故可整理得：()()
()()
1
2
122
2
122211x x x e x e a x x ---==--,
()()()
2
21x
x e g x x -=-，则()()12g x g x = ()()()
2
3
21'1x x g x e x -+=-，当
1x <时，()'0g x <，()g x 单调递减；当1x >时，()'0g x >，()g x 单调递增．
设0m >，构造代数式：
()()111222*********m m m m m m m m g m g m e e e e m m m m +-----+-⎛⎫
+--=
-=+ ⎪+⎝⎭
设()2111m m h m e m -=++，0m >,则()()
2
22
2'01m m h m e m =>+，故()h m 单调递增，有()()00h m h >=．
因此，对于任意的0m >，()()11g m g m +>-．
由()()12g x g x =可知1x 、2x 不可能在()g x 的同一个单调区间上，不妨设12x x <，则必有121x x <<
令110m x =->，则有()()()()()1111211112g x g x g x g x g x +->--⇔->=⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦
而121x ->，21x >，()g x 在()1,+∞上单调递增，因此：()()121222g x g x x x ->⇔-> 整理得：122x x +<．
请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第一题计分，做答时请写清题号. （23）（本小题满分10分）选修4－4：坐标系与参数方程 【解析】：⑴ cos 1sin x a t y a t
=⎧⎨=+⎩ （t 均为参数）,∴()2221x y a +-= ①
∴1C 为以()01，
为圆心，a 为半径的圆．方程为222210x y y a +-+-= ∵222sin x y y ρρθ+==，,∴222sin 10a ρρθ-+-= 即为1C 的极坐标方程
⑵ 24cos C ρθ=：,两边同乘ρ得22224cos cos x y x ρρθ
ρρθ==+=，
224x y x ∴+=,即()2
224x y -+= ②,3C ：化为普通方程为2y x =
由题意：1C 和2C 的公共方程所在直线即为3C ,①—②得：24210x y a -+-=，即为
3C
∴210a -=,∴1a =
（24）（本小题满分10分）选修4－5：不等式选讲 【解析】：⑴ 如图所示：
⑵ ()4133212342x x f x x x x x ⎧
⎪--⎪
⎪
=--<<
⎨⎪
⎪
-⎪⎩，≤，，≥ ,
()1f x >, ①1x -≤，41x ->，解得5x >或3x <,1x -∴≤
11
②312x -<<，321x ->，解得1x >或13x <，113x -<<∴或312
x << ③32x ≥，41x ->，解得5x >或3x <，332
x <∴≤或5x > 综上，13
x <或13x <<或5x > ()1f x >∴，解集为()()11353⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭，，，。