正确使用均值定理

正确使用均值定理

均值不等式在中学数学中应用非常广泛,尤其是在证明不等式、求函数最值时经常用到,但一定要注意每个均值不等式使用的前提条件及等号成立的条件,否则容易出现错误。通过举例,对学生在应用定理解题时常见的几种错解进行分类、分析,探求错误思维的原因,同时给出正确解法加以比较,进一步明确应用的前提条件及等号成立条件在检验定理是否运用得当的重要性和必要性。

本文针对学生在应用均值定理解题时常出现的错误思路进行剖析,并阐述思维定势对解题思路的正负迁移影响。以帮助学生克服思维定势的消极影响,正确理解、运用数学定理解题。笔者在教学中做过一点简单尝试,有意识地设置一些形同质异的问题,让学生去分析、对比、鉴别、归纳。

例(1)求函数y=的最小值。

分析:观察函数结构,化为y=+,由均值定理知,当且仅当y==,即x=0时,函数取得最小值ymin=2。

例(2)求函数y=的最小值。

分析:观察函数结构形式与例(1)相同,化为y=+,由均值定理知,函数取得最小值ymin=2。

例(2)解答看似正确,其实是错解。在运用均值定理≥时,应特别注意要同时满足“正、等、定”三个条件:①正:a,b均为正实数;

②等:当且仅当a=b,取等号;③定:a·b=定值,a+b取得最小值2;a+b=定值,a·b取得最大值(a+b)2。例(2)之所以错解,是因为只符合

“正”、“定”两个条件,而不符合“等”的条件。要取等号,当且仅当=,即x2=-1,但此式不成立。而学生往往误认为:只要结构形式相同,解题方法也必定相同,却忽视了定理应用的条件。这正是学生思维定势的一种反应,也是解题时误识的通病所在。

对于例(2),如何求解?可考虑换个思维角度。譬如利用函数的单调性:函数y=x+在(0,1)上是单调递减函数,在(1,+∞)上是单调递增函数。

正解:函数化为y=+,因函数关系确定,则函数值域可由自变量取值范围确定。令t=y=,则y=t+(t≥),利用y在[,+∞上的单调递增性,知:当t=,即x=0时,函数取得最小值ymin=+=。

例(3)求函数y=+(x

分析:基于对上述两例解题思路的对比分析,学生应该不会再出现类似例(2)的错解:由y=+≥2=2,得ymin=2。因当=时,sin 2x=4时,这与正弦函数的有界性|sin x|≤1是相矛盾的。

正解:令,函数化为y=t+,由0

如果学生在利用单调性求解时,对换元后的自变量t的区间判断感到困难,还可以采取对函数式“裂项”的方法,使之符合均值定理的使用条件,结合考虑函数的单调性,运用均值定理求解。

或解:将函数式裂项,化为:

y=+=++=(+)+≥2+=1+由0

由此可见,思维定势的作用是可以产生连续解决一系列同类型问题的定型化思路。适当选择同类型问题进行集中训练,概括一般原理方法,是帮助学生形成思维适切定势的有效途径。而要克服思维错觉定势的消极影响,可以精选一些形同质异的问题,让学生在分析对比的过程中,从本质上加深对问题的理解,从而增强思维的批判性,提高识别判断力,提高学生分析问题和解决问题的能力。