二重积分的对称性

f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
64 . 15
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
解
x y e d , D : x y 1. D
1
y 1 x
e
D
x y
d
×
2 e
D1
x y
d
1
y x 1
o D1 1
1
x
y x 1
157 页 2（3）
y
y 1 x
( 3)
利用对称性化简二重积分计算
使用对称性时应注意： １、积分区域关于坐标轴的对称性；
２、被积函数在积分区域上的关于坐标轴的 奇偶性．
二重积分的对称性：
1、积分区域 D 关于 x 轴对称，D1 是 D 中对应于 y ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 y y 是偶函数 是偶函数，即
0 2 x 1 1 1
0
x 1
x y
1
x 1 x y e e dy x 1
e )dx 0 (e e 2 x 1 )dx
e e 1 .
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
二重积分的对称性的5种情形：
1、当积分区域关于X轴对称，被积函数关于Y为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于Y为奇函数，则为零。
解
x y e d , D : x y 1. D x y e d D
1
y 1 x
o 1 D2o D1 1
y x 1
x

D1
x y x y e d e d D2
1
y x 1
1 dx x 1 e e dy 0 dx 1 (e
D1
( 2) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 x 是奇函数，即 是奇函数
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
0.
157 页 2（2）
( 2)
2 2 2 xy d , D : x y 4 及 y 轴围成的右半闭区域 . D
2 2 xy d 2 xy d D D1
而
0 x 4 y 2 , D1 : 0 y 2.
4 y 2
因此，
xy d 2 xy d 20 dy 0
D D1
2
2
2
xy 2dx

2 2 y (4 0
y 2 )dy
解 设 f ( x , y ) xy . D 区域关于 x 轴对称，且
2
y
2
x2 y2 4
D1
f ( x , y ) f ( x , y ),
2 2 xy d 2 xy d D D1
o
2
x
而
0 x 4 y 2 , D1 : 0 y 2.
D
0.
2、积分区域 D 关于 y 轴对称，D1 是 D 中对应于 x ≥0 的部分，则：
(1) 若被积函数 f ( x , y ) 关于 x 是偶函数 是偶函数，即
f ( x , y ) f ( x , y ).
则
f ( x , y ) d
D
2 f ( x , y ) d .
2、当积分区域关于Y轴对称，被积函数关于x为偶函数， 则二倍关系。被积函数关于X为奇函数，则为零。 3、当积分区域关于X,Y轴都对称，被积函数关于X且Y均 为偶函数，则四倍关系。被积函数关于X或Y为奇函数， 则为零。 4、当积分区域关于原点对称，被积函数f(x.y)= f(-x.-y)，则为二倍关系。被积函数f(x.y)=-f(-x.-y). 则为零。 5、当积分区域关于y=x对称，则f(x.y)与f(y.x)的二重 积分相等