居高临下看本质 小试“牛刀”妙解题——对一道竞赛题的再探究

２ １ 年第 ８ ０２ 期
数 学款 学
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对课 本 一道 习题 答 案 的研 究
２ ８ ２ 安徽省 无为县 白茆 中心学校 倪 受兰 ３３１
人 民教育 出版社 《 数学》（ 九年级） 教科书
习 题 ２ ．第 １ 题 ：“ 图 １ ４２ ７ 如 ，已 知 ｏ（１ 二 、ｏ（２ ） 二， ）
总 步 数 为
总 步 数 为 Ｉ一２ ＋ Ｉ ｌ Ｘ一４ ＋ Ｉ Ｉ Ｘ一６ ＋ Ｉ Ｙ Ｉ Ｉ一７＋ｌ 一４＋ Ｙ Ｉ Ｙ一８ Ｉ ．
ｌ Ｘ一１ ＋ Ｉ一２ ＋ ｊ 一４ ＋ ｌ一３ ＋ Ｉ Ｉ Ｉ Ｙ Ｉ Ｉ Ｙ一５＋ ｌ Ｉ Ｙ一７． Ｉ
由绝 对 值 的几 何 意义 ， 得
最少需要移动 … … … … … … … … … （ ） （ ） 步；Ｂ ８ （） 步；Ｄ ０ Ａ ７ （ ） 步；Ｃ ９ （ ）１ 步．
Ｉ
ｌ
这是组 成的一种三 角形， 图 ２ 如 中的虚 线
三角形．
， ，
图１
这 道题 的答案， 可谓五花 八 门． 网查 阅 上
得 知， 办方 当年给 出的答 案是 选 （ ） 近几 主 Ｃ； 年 ， 多资料 上给 出的答案 是选 （ ） 经过 自主 很 Ｂ； 探 索， 作交 流， 合 同学们给 出的答 案是选 （ ． Ａ）
形为 ＡＰ Ｒ 且 Ｐ（， ， Ｑ ， ｘ ）则 ｐ（ ｘ＋１Ｙ一２、Ｒ（ ， ） ｘ一２ Ｙ一３． ， ）
线 段 ＡＢ、 Ｄ、 平 移 到 Ｊ Ｒ 船 Ｃ Ｆ ） Ｑ、 Ｑ、 的位 置 所 需 的步 数 分 别 为 ：
图３
由绝对值的几何意义， 得
当ｘ ４ ｌ一２＋Ｉ ＝ 时， ｌ Ｘ一４ ＋Ｉ Ｉ Ｘ一６取得 Ｉ 最小值 ４ 当ｙ 时， 一４ ｙ １ ｙ一８取 ； ＝７ Ｉ １ 一７ Ｙ ＋ｌ ＋ｌ Ｉ
相切 包括 内切和 外切， “ 二 与 ￣Ｏ 外 在 ④（ ） １ ２ 离， ｒ 且 】＞ ？” ＿ 的条件下 ， 已知两 圆都相切 ２ 与 的圆， 以下几种情况 ： 有 １ 与 已知两 圆一 圆外切， 圆内切 ． 一 ＧＯ与 ￣Ｏ１ 、￣Ｏ２ 圆 外 切 ，一 圆 内 切 ， 一 这 样 的 圆可 以作无 数个， 圆心 轨迹 是 “ 定 其 到 点 （ｌ 二 的距离 之差 等于 定长 ｒ ＋ｒ” ＝ 、（ ｝ ） ２ １ ２的双
④
图１
图２ ⑧，ＧＯ与 Ｇ 、ＧＯ 都 内切 ；如 图２ ， Ｏ１ ２ ④ ｏ ＝ ｏ ＝ 、ｏ二 都 外切． 圆心 轨迹分别 是 （ 与 （】 《２ ） ） ） 其
双 曲线的一支 ．
Ｉ Ｘ一２＋ｌ一７、 一４＋ｌ Ｊｌ １ ｙ ＩＩ １ ｙ一５、ｚ一１ １ ＋ ｌ Ｙ一３， ｌ
ＢＡ＝（ ， ） Ｃ 一１ ２， Ｄ＝（， ） Байду номын сангаас １，
赢 ：（２ 一 ） 一 ， ３． 显然， 、商 、蔚 都不平行， 荫 且 ＋
Ｄ＋Ｅｐ＝ ０， 以三条 线段 能 组成三 角形 ， 所
点 与点 重合 （ 为简便， 记作 Ａ ＝ Ｃ， 同） 下 ，
Ｂ ＝ Ｆ． ＝ Ｅ． Ｄ
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数 学教学
２１ 年第８ ０２ 期
居 高 临下看本 质
一
小试 “ 刀＂ 牛 妙解 题
对 一道 竞 赛题 的再 探 究
４ ５ ０ 湖北省 恩施 市舞阳 中学 曾 山 ４００
江 苏省第 十九 届初 中数 学竞赛 初一 年 级 第 １ 第 ６ 是： 试 题 下 面 所 说 的 “ 移” 指 只 沿 方 格 的 格 平 是 线（ 即上 、下或左 、右） 运动， 图 １ 将 中的任 一 条 线 段 平 移 ｌ 称 为 “步” 格 １ ．要 通 过 平 移 ，使 图１ 的３ 中 条线 段 首 尾相 接 组 成一 个 三角 形，
这 是 组 成 的另 一 种 三 角 形 ， 图 ３中 的 虚 如 线三角形．
二 、 定位
的本质 ， 不得 不小试一 下“ 牛刀” 了．本文将 用
向量 的 知 识解 决相 关 的 问题 ．
一
、
定形
（）如 图 ２ 设 平 移 后取 得 最 少 步 数 的 三 角 １ ，
为 了讨 论的方便， 我们 建立如 图 ２ 示的 所 平面直角坐标系．
我 们 不 禁 要 问， 少 步 数 到 底 是几 ？ 最
图２
下 面 看 另 一种 情 形 ．
Ｂ＝（， ２， １－ ）ＤＣ＝（ ３ 一 ） 一 ， １，
・ －－－－－ －
其实 ， 决本题 的关键是两 个方面：定形 解 和 定位．所 谓 “ 定形” 就是判 断能否组成 三角 ， 形 以及 三 角 形 的 形 状 ； 谓 “ 所 定位 ” ，就 是 确 定
得最小值 ４ 故当 ｘ ４ ｙ ７ 最少步数为 ８ ， ＝ ， ＝ 时， ． 综上， 最少步数为 ７ ．
Ｉ Ｘ一２ ｙ一７、Ｘ一６＋ｌ一８、ｚ一４＋ １ ＋ｌ ＩＩ １ ｙ Ｉ １
Ｉ Ｙ一４， Ｉ
作 一 个 圆， 它 与这 两 个 圆都 相 切．你 能 作 使 出多 少 个这 样 的 圆 ？” 教 师 用 书 （ 教 版 ２ ０ 年 ３ 第 ２ 给 人 ０９ 月 版） 出的参考 答 案是：“ 这样 的 圆可 以作无 数个” ． 第 １５ ７ 页对于此 题 的答 案作 了注释 ， 出了更 给 为 具 体 的 答 案 ：这 样 的 圆 能 作 无 数 个 ， 圆 心 “ 其 实际上在一条双 ｆ线上． Ｈ ｊ ” 对 于这个 答案， 我认 为不够全面 ． 本题 就 条件而 言， 与两 圆都相切 的圆的圆心轨迹会 因 两 圆相 切情况 的不 同而 不同， 并不都在 同一条 双 曲线 上 ．
曲线 ． 图 ２ ， Ｏ与 ＧＯ 内切， ￣Ｏ 外切 ； 如 ① Ｇ ｌ 与 ２ 如 图２ ，三 ） ￣Ｏ 外切， ￣Ｏ 内切． 们 ② （二与 ） （ １ 与 ２ 它 的 圆心 轨 迹 分 别 是 双 曲线 的一 支 ． ２ ．与 已知 两 圆都 内切 ， 都 外 切 或
ｏ（ 与 ｏ（ 、ｏ二 都 内切 ， 都外切 的圆 ＝ ） 二 ） １ （ ） ２ 或 有 无 数 个， 圆心 轨 迹 是 “ 定 点 Ｏ１ ２ 其 到 、Ｏ 的 距 离 之 差 等 于 定 长ｒ １一 ｒ” 双 曲 线 ．如 ２的
当ｘ ２ ｌ ＝ 时，Ｘ一１＋Ｉ一２＋ｌ 一４取得 Ｉ Ｉ ｌ 最小值 ３ 当ｙ 时， ； ＝５ Ｉ Ｙ一３＋ｕ一５＋ｌ ｌ １ｌ １ ｙ一７取
得最小值 ４ 故 当ｘ ２ ｙ 时， ， ＝ ， ＝５ 最少步数为 ７ ． （）如 图 ３ 设 平 移 后 取 得 最 少 步 数 的三 角 ２ ，
形为 ＡＰ Ｒ 且 Ｐ（，）则 Ｑ， ｘ ， Ｑ（＋ｌｙ ２、Ｒ（＋ ， ＋１． ｘ ，－ ） ｘ ３ ）
线 段 Ａ Ｃ 平 移 到 Ｐ Ｐ ＲＱ Ｂ、 Ｄ、 Ｑ、 Ｒ、 的位 置 所 需 的步 数 分 别 为 ：
设 Ａ（，）Ｂ（，）Ｃ（，）Ｄ（，） Ｅ（， ２７、 ３５、 ４５、 ７６、 ４ ４、Ｆ（，）则 ） ２１，
平 移 后 三 角 形 的位 置 ． 俗 话 说 ：杀 鸡 焉 用 牛刀 ” 但 为 了弄 清 问题 “ ，
Ｆ ＝（，） ２ ３，
显然， 矗、Ｄ 、ＦＥ都不平行 ， 且 雪＋
Ｄ ＋Ｆ ＝ ０， 以三 条 线 段 能 组 成 三 角 形 ， 所
Ａ ＝ Ｅ， ＝ Ｄ ， ＝ Ｆ． Ｂ Ｃ