函数的连续性及极限的

第四节函数的连续性及极限的应用

1•函数在一点连续的定义：如果函数f(x)在点x=X o 处有定义，lim f(x)

X X o

存在，且X ini f(x)=f(x o )，那么函数f(x)在点x=x o 处连续. 2.•函数f(x)在点x=x o 处连续必须满足下面三个条件.

(1) 函数f(x)在点x=x o 处有定义； (2) lin x f(x)存在；

X

x

o

(3) lim f(x)=f(x o ),即函数f(x)在点x o 处的极限值等于这一点的函

x x o

数值.

如果上述三个条件中有一个条件不满足， 就说函数f(x)在点x o 处 不连续•那根据这三个条件，我们就可以给出函数在一点连续的定义. 3函数连续性的运算：

① 若 f(x) , g(x)都在点 X o 处连续，则 f(x) 士 g(x) , f(x) ?g(x), 丄凶9(x)半0)也在点x o 处连续。

g(x)

② 若u(x)都在点X o 处连续，且f(u)在u o =u(x o )处连续，则复合函数 f[u(x)]在点X o 处连续。

4•函数f(x)在(a , b)内连续的定义：

如果函数f(x)在某一开区间(a , b)内每一点处连续，就说函数f(x) 在开区间(a , b)内连续，或f(x)是开区间(a , b)内的连续函数.

f(x)在开区间(a , b)内的每一点以及在a 、b 两点都连续，现在函 数f(x)的定义域是]a , b ],若在a 点连续，则f(x)在a 点的极限存在 并且等

于f(a),即在a点的左、右极限都存在，且都等于f(a), f(x) 在(a, b)内的每一点处连续，在a点处右极限存在等于f(a)，在b点处左极限存在等于f(b).

5•函数f(x)在［a, b］上连续的定义：

如果f(x)在开区间(a, b)内连续，在左端点x=a处有lim f(x)=f(a)，

x a

在右端点x=b处有|im f(x)=f(b),就说函数f(x)在闭区间］a, b］上连

x b

续，或f(x)是闭区间］a, b］上的连续函数.

6. 最大值最小值定理

如果f(x)是闭区间［a, b］上的连续函数，那么f(x)在闭区间［a, b］上有最大值和最小值•

7. 特别注意：函数f(x)在x=x°处连续与函数f(x)在x=x°处有极限的联系与区别。“连续必有极限，有极限未必连续。”

二、问题讨论

•点击双基

1. _________________________________________________ f (x)在x=x o处连续是f (x)在x=X o处有定义的____________________ 条件.

A. 充分不必要

B.必要不充分

C.充要

D.既不充分又

不必要

解析：f (x)在x=x o处有定义不一定连续.

答案：A

n cos —

2. f (x ) =―x 的不连续点为

n

cos —

x

A.x=0

B. x= — (k=0,士 1,士 2,…)

2k 1

C. x=0 和 x=2k n( k=0, 士 1, 士 2,…)

D. x=0 和 x=—(k=0, 士 1, 士 2,…)

2k 1

解析：由 cos n =0,得上二k n + 上(k € Z )，二 x=^^(k Z).

x

x

2

2k 1

又x=0也不是连续点，故选D 答案：D

3•下列图象表示的函数在x=x o 处连续的是

D.③④

答案：A

4.四个函数：①f (x )=-;②g (x )二sinx;③f

x

=ax 3+bx 2+cx+d.其中在x=0处连续的函数是 ______ 正确的代号都填上)

A.①

O x>

②

y

O x o x O x0

③B.②③

④

C.①④

(x ) =|x|;④f (x )

.(把你认为

答案：②③④

例1:讨论下列函数在给定点或区间上的连续性

1

e x 1 (1)f(x)

— (x °)，点 x=0; e x 1

1 (x 0) f(x)在x=0处极限不存在，因此f(x)在

x=0处不连续。

(2) V lim f (x) lim (x 2

2) 3, lim f (x) lim (x 4)

3, f ( 1)

3,

x 1

x 1

x 1

x 1

「•lim f(x) 3 f( 1)，因此函数f(x)在x= — 1处连续。

x 1

【思维点拨】函数在某点连续当且仅当函数在该点左、右连续(闭区 间的端点例外)。

例2.(优化P208例1)

1 (x>0)

(1讨论函数f(x)=

0 (x=0),在点x 0处的连续性 -1 (x<0)

(2)讨论函数f(x)= △在区问0,3上的连续性 x-3

剖析：(1)需判断 lim f (x ) = lim f (x ) =f (0).

x 0

x 0

(2)需判断f (乂)在(0,3)上的连续性及在x=0处右连续，在

x=3处左连续.

(2)f(x)

x 2 2 x 4

:：11)，点 x =-1

解：(1)当X T °-

时，丄

x

1

丄 J 1 ,lim e x °，因此 lim = — 1,

x 0

x 0

-

e x 1

而lim

x 0

-1 ---------

= lim (1

x 0

e x

1

— )=1,

lim f (x)

lim f (x), e x 1