现代控制理论 线性定常连续系统状态方程的解

x ( t ) , 0 xt [0 , ) ,yt [0 , ) 0 1 1 0 , u [ t , ) xt [0 , ) ,yt [0 , ) 0 2 2
• 则 x ( tu ) , [ t ,) x ( t ) , 00 , u [ t ,) 0 0 0 0
系为可加性。 若 2 0 则称式(1)的关系为齐次性。
(3) 式(1)中,若设 1 2 1 ,及假定
1 1 2 2 x ( t )( x tu ) , ( 0 ) ,( x t ) 0 ,[ u t , )[ u t , ) 0 0 0 0 0
x ( t ) 0 , 0 u [ t ,) x [ t ,) ,[ y t ,) 则 0 0 t 0 t 0
1 2 1 2 ( 1 ) x ( t ) x ( t ) , u [ t , ) u [ t , ) 10 2 010 2 0
1 10 2 20 1 10 2 20
和任何实数 1 和 2 所构成的输入---状态--输出对.

x [ t , ) x [ t , ) , y [ t , ) y [ t , )
x [ t ,) x [ t ,) ,[ y t ,) y [ t ,) 1 0 2 0 1 0 2 0
xt [ , ) ,yt [ , ) t 0 t 0
• 传函法描述是零状态响应
3.对于线性定常连续系统动态方程来讲
A x , x ( t ) 0: • 零输入响应为 x 0
的状态解. • 物理上,零状态响应 x o x ( t ) 代表系统状态由
输入u所激励的强迫运动
准备知识A2
• 不加证明地给出以下定理和定义.
(1)定理1. x A () tx () t 的全体解的集合,形成在实 数域上的n维向量空间.
(2)定义1. mn 矩阵函数 中,当且仅当n个列分 别是 x A A () tx () t x 的n个线性无关解时,称 为 x
态-输入对所激励
• 称由xt0 ,0 激励的响应为零输入响应,只是 由 x ( t 0 ) 产生。 • 称由0,u[t0,) 激励的响应为零状态响应,只 是由 u [ t 0 , ) 产生。
• 这样对于线性系统来讲,可以独立地考虑其
零输入响应和零状态响应,而系统的全部响 应,则是它们的和. • 根据线性系统的性质:若
--------齐次方程
• 零状态响应为 xA : xB u ,() x t 0 0 --------非齐次方程.
• 线性系统的响应可以分解为.
• 定义: [零输入响应]:
线性系统的零输入响应 x o u ( t ) 定义为只有初 始状态作用即 x 0 0 ,而无输入作用即 u(t ) 0
0 , 0 0 [, t ) , 0 [, t ) 0 0
• 从而,如果系统是线性系统的话,则必有
当
x ( t ) 0 , u [ t , ) 0 0 0
时
系统响应亦为零—这也是线性系统的一个 必要条件.
(2) 式(1)中, 若 1 2 1 称式(1)的关
自动控制原理Ⅱ
第二章 线性定常连续系统 状态方程的解
线性定常连续系统状态方程的解
• 准备知识A1 • 准备知识A2 • 一.线性定常连续系统齐次方程的解(零 输入响应) • 二.状态转移矩阵 • 三.线性定常系统非齐次方程的解
• 准备知识A1
1.利用状态和状态方程来定义系统的线性性 质. u [ t , ) , x ( t ) x [ t , ) , y [ t , ) • 用符号 0 0 0 0 • 表示状态 x ( t 0 ) 和输入 u [ t 0 , ) 激励出输出 y ( t ) t t0 ,并称其为输入-状态-输出对. 和状态 x(t)，
或 x ( t ) , u [ t , ) x ( t ) , 0 0 , u [ t , ) x [ t , ) , y [ t , ) 0Hale Waihona Puke Baidu0 0 0 t 0 t 0
x [ t , ) ,y [ t , ) • 所以系统的响应对 是由两个状 0 0
• 定义:一个系统,当且仅当对于任何两个容许 对 1 1 1 1
x ( t) , ut [, ) xt [, ) ,yt [ , ) x( t) , u [ t, ) x[ t , ) ,y[ t , )
0 0 0 0 2 2 2 2 0 0 0 0
• 定义: [零状态响应]:
线性系统的零状态响应 x o x ( t ) 定义为只有输
入作用,即 u(t ) 0 而无初始状态作用,即 x 0 0
时,系统的响应.
• 注意: 数学上,零状态响应 x o x ( t ) 即为零初始
状态下的强迫方程
x A x B u , x ( t ) 0 , t [ t ,) 0 0
也是容许的,则称该系统是线性的,否则
该系统是非线性的.简而言之,满足迭加
原理的系统为线性系统.
2.对定义的讨论 (1)若设 1 2 1 并有
x ( t ) x ( t ) , u [ t ,) u [ t ,)
1 0 2 1 0 0 2 0
• 则如果是线性系统的话,按定义, ( t ) 0 , u [ t , ) 0. • 则 x 0 0
时的系统响应.
• 注意: 数学上,零输入响应 x o u ( t ) 就是无输入自治 状态方程(齐次方程)的状态解.
x A x ,( x t ) x , t [ t ,) 0 0 0
• 物理上,零输入响应代表系统状态的自由运动，特
点是响应形态只由系统矩阵所决定，不受外部输
入的影响.