二次型的分类

定理
若A是n阶实对称矩阵, 则下列命题等价:
(i) XTAX是正定二次型(或A是正定矩阵);
(ii) A的正惯性指数为n, 即AI;
(iii) 存在可逆阵P, 使得A=PTP; (iv) A的n个特征值l1,l2,...,ln全大于零. 证 (i)(ii) 对于A, 存在可逆阵C使得 CTAC=diag(d1,d2,...,dn). 令X=CY就有
XTAX=YT(CTAC)Y=d1y12+d2y22+...+dnyn2
如有一个di0, 则上式必不恒大于零, 与命题(i) 矛盾, 故A的正惯性指数为n, 从而AI.
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(ii)(iii) 由CTAC=I(C可逆), 得 A=(CT)1C1=(C1)TC1, 取P=C1, 则有A=PTP. (ii)(iii) 设AX=lX, 即(PTP)X=lX, 于是便有 XTPTPX=lXTX, 即 (PX,PX)=l(X,X). 由于特征向量X0, 从而PX0, 故A的特征值
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定义
（aij） 设n阶方阵 A nn 我们把n个行列式
A2 a11 a12
a11 An an1 ann a1n
A1 a11
a21 a22
都叫做矩阵的顺序主子式。 定理
二次型f ( X ) X T AX 为正定的充分必要条件是： 对称矩阵 A 的所有顺序主子式为正。
时,等式两端的二次型有相同的正定性. 这是
(0) ( 0) T 因为: 对于任意的Y0 0,即( y1( 0) , y2 , , yn ) 0,
由于X CY (Cຫໍສະໝຸດ Baidu逆), 所以与Y0相对应的X 0 0, 若
T X T AX正定, 则X 0 AX 0 0.即对于任意的 Y0 0, T Y0T (C T AC)Y0 X 0 AX 0 0为正定二次型 .
6.4 二次型的分类
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定义
如果对于任意的非零向量X=(x1,x2,...,xn)T, 恒有
T a x x X AX 0 ij i j i 1 j 1 n n
就称XTAX为正定二次型, 称A为正定矩阵. 例如 f x 2 4 y 2 16z 2 为正定二次型
2 4 5 1 2 , 解 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4 2 5 它的顺序主子式 2 4 5 5 2 1 2 1 0, 5 0, 1 0, 2 2 1 4 2 5 故上述二次型是正定的.
A 80 0, 根据定理13知f为负定.
2 2 例6、判断f 2x12 2x1x2 2x1x3 2x2 2x2 x3 2x3 的类型
2 1 1 f 对应的矩阵是 A 1 2 1 1 1 2 方法一
A的三个顺序主子式为
A1 2 0,
推论
二次型f ( X ) X T AX 为负定的充分必要条件是：
对称矩阵 A 的所有奇数阶顺序主子式为负，所有 偶数阶顺序主子式为正。
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定义 如果方阵A的某一子式的主对角线完全位于A
的主对角线上，就称该子式为的主子式。
定理
对称矩阵A为半正定的充分必要条件是： A 的所有主子式非负。
A2
2 1 1 2
3 0,
A3 A 4 0
所以A是正定矩阵，f 是正定二次型。 方法二 A的特征方程为
2l A lE 1 1 1 2l 1 1 1 2l
(1 l )2 (4 l ) 0
特征值 l1 l2 1 0, l3 4 0
例
判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3
是否正定.
解 用特征值判别法.
2 二次型的矩阵为 A 0 2 令 lI A 0 l1 1, l2
0 2 4 0 , 0 5 4, l3 6.
2 2 f x1 3 x2
为负定二次型
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根据定义可得结论:
2 2 (i) 二次型f ( y1, y2 ,, yn ) d1 y12 d2 y2 dn yn
正定的充分必要条件是di>0 (i=1,2,...,n).
设可逆变换 x Cy使 f x f Cy d y . (1)充分性：
（2）称二次型f ( X ) X T AX 是半正定二次型， 如果对于任意 X有f X 0.此时称对称矩阵A为半正定矩阵。
（3）称二次型f ( X ) X T AX 是负定二次型， 如果对于任意 X 0有f X 0.此时称对称矩阵A为负定矩阵。
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推论
二次型f ( X ) X T AX 为负定的充分必要条件是： 它的标准形的n个系数全为负，即f 的负惯性指标 为n 。
二次型f ( X ) X T AX 为负定的充分必要条件是： 对称矩阵A的特征值全都小于零。
二次型f ( X ) X T AX 为半正定的充分必要条件是： 对称矩阵A的全部特征值非负。
故A是正定矩阵，f 是正定二次型。
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例7 判别二次型 f 5x2 6 y 2 4z 2 4xy 的正定性。
解
5 2 2 A 2 6 0 f 的矩阵为 2 0 4
A的三个顺序主子式为
A1 5 0,
5 2 26 0, A2 2 6
A3 A 80 0
所以 f 为负定二次型。
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( PX , PX ) l 0. (X , X )
(iv)(i) 对于n阶实对称矩阵A, 存在正交阵Q, 使得 QTAQ=diag(l1,l2,...,ln), 作正交变换X=QY, 得 XTAX=l1y12+l2y22+...+lnyn2. 已知特征值l1,l2,...,ln都大于零, 故XTAX正定
即知 A是正定矩阵，故此二次型为正定二次型.
例
判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
2 5 2 解 f的矩阵为 A 2 6 0 , 2 0 4 a11 a12 5 2 26 0, a11 5 0, 2 6 a 21 a 22
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由上述两个结论可见: 一个二次型XTAX(或实对称矩阵A), 通过非退化线 性变换X=CY, 将其化成标准型(或规范形)
n
Y T (C T AC )Y di yi2
i 1
(或将A合同于对角阵, 即CTAC=L), 就容易判别其
正定性.
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（1）称二次型f ( X ) X T AX 是正定二次型， 如果对于任意 X 0有f X 0.此时称对称矩阵A为正定矩阵。
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正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
n 2 i 1 i i
(2)必要性（反证法）, 设di0,
取yi=1, yj=0(ji), 代入二次型, 得
f(0,...,0,1,0,...,0)=di0,
与二次型f(y1,y2,...,yn)正定矛盾
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(ii) 一个二次型XTAX, 经过非退化线性变换X=CY, 化为YT(CTAC)Y, 其正定性保持不变, 即当 XTAX=YT(CTAC)Y (C可逆)