泊松方程

泊松方程是数学中一个常见于静电学、机械工程和理论物理的偏微分方程。是因法国数学家、几何学家及物理学家泊松而得名的。

泊松首先在无引力源的情况下得到泊松方程，△Φ=0（即拉普拉斯方程）；当考虑引力场时，有△Φ=f（f为引力场的质量分布）。后推广至电场磁场，以及热场分布。该方程通常用格林函数法求解，也可以分离变量法，特征线法求解。

方程的叙述

泊松方程为在这里代表的是拉普拉斯算子，而f和可以是在流形上的实数或复数值的方程。当流形属于欧几里得空间，而拉普拉斯算子通常表示为，因此泊松方程通常写成在三维

直角坐标系，可以写成如果有恒等于0，这个方程就会变成一个齐次方程，这个方程称作“拉普拉斯方程”。

泊松方程可以用格林函数来求解；如何利用格林函数来解泊松方程可以参考屏蔽泊松方程。有很多种数值解。像是松弛法，不断回圈的代数法，就是一个例子。

泊松方程数学表达

通常泊松方程表示为

这里代表拉普拉斯算子，f为已知函数，而为未知函数。当f=0时，这个方程被称为拉普拉斯方程。

为了解泊松方程我们需要更多的信息，比如狄利克雷边界条件: 其中为有界开集。

这种情况下利用基础函数构建泊松方程的解，拉普拉斯方程的

基础函数为: 其中为n维欧几里得空间中单位球面的体积，此时可通过卷积得到的解。

为了使方程满足上述边界条件，我们使用格林函数

为一个校正函数，它满足通常情况下是依赖于。

通过可以给出上述边界条件的解

其中表示上的曲面测度。

此方程的解也可通过变分法得到。

泊松方程应用

在静电学很容易遇到泊松方程。对于给定的f找出φ是一个很实际的问题，因为我们经常遇到给定电荷密度然后找出电场的问题。在国际单位制（SI）中：此代表电势（单位为伏

特），是电荷体密度（单位为库仑/立方米），而是真空电容率（单位为法拉/米）。

如果空间中有某区域没有带电粒子，则此方程就变成拉普拉斯方程：

高斯电荷分布的电场

如果有一个三维球对称的高斯分布电荷密度：

此处，Q代表总电荷此泊松方程：的解Φ(r)则为

erf(x)代表的是误差函数。

注意：如果r远大于σ，erf(x)趋近于1，而电场Φ(r)趋近点电荷电场；正如我们所预期的。