自适应控制(5)

(5.2)
e 为了计算 Kc
，先求由参数输入R(s)到输出偏差
E(s)传递函数 We ( s) ：
E ( s) N ( s) We ( s) ( Km Kc K p ) R( s) D( s)
将上述拉普格斯变换式转化为微分方程的时域 算子形式，令：
d p dt
p2 d2 dt 2
ym Km R 1 exp(t / T )
所以自适应调节律为：
K e K R 1 exp(t / T ) K c m
对闭环系统的微分方程求导数使得误差的动态 方程为： R e K K Te
p c
或
e K p Km KR 2 e 1 exp(t / T ) 0 Te
5.2 李雅普诺夫稳定性理论设计法
• 一、引言
李雅普诺夫稳定性理论：研究线性或非线性、定常或时 变系统的重要基础，也是自适应控制系统设计的重要理 论基础 李雅普诺夫稳定性分析方法：分为第一方法和第二方 法。李雅普诺夫第一方法是通过求解系统微分方程来分 析系统的稳定性；李雅普诺夫第二方法则不需要求解系 统微分方程，而是通过分析虚构的李雅普诺夫函数来判 定或设计系统的稳定性。因此，李雅普诺夫第二方法被 广泛应用于自适应控制系统设计中
假定在 t 0 0 时，由参考输入加上一个幅值为A 的阶跃信号，即r(t) = A，来研究偏差e的稳定性。
对上式偏差微分方程的两端求导，并整理得：
a2 d 3e dt
3
a1
d 2e dt 2
dK c de K p A K p Key m A dt dt
假设ym(t)的动态响应比e(t)自适应调整过程快 得多。即在研究e(t)的调节过程时，认为ym(t) 已达到了它的稳定值KmA，那么e(t)的微分方 程就可简化为下式：
-
可以综合出闭环自适应控制系统的数学模型为：
D( p) e ( K m K c K p ) N ( p) r ( t ) D( p) y m K m N ( p) r ( t ) K e y K c m
【例5.1】考虑一个一阶系统，其传递函数特性为：
N ( s) Kp 设被控对象的传递函数为：Wp ( s) D( s)
其中,D(s)和N(s)为已知的常系数多项式，Kp为 对象的增益 当系统受到干扰时，被控系统的增益Kp可能发 生变化,使动态特性发生偏离，Kp的变化是不可 测量的。为了克服由Kp的漂移所造成的影响， 在控制系统中设置了一个可调增益Kc，来补偿 由Kp的变化所造成的影响
可见，当 t 时，上式右端第三项e中的系数 趋近于 K p Km KR 2 ，即有：
e K p Km KR 2 e 0 Te
此系统方程是渐近稳定的，即 t 时，有： e = 0 ，即 Kc Km / K p
从以上分析可以看出： ①对于一阶系统，按照MIT规则设计的闭环自适 应系统是稳定的 ②跟踪速度或自适应速度是按指数规律进行的， 从理论上说，只有当 t 时，误差才趋于零， 所以，自适应速度的是比较相当慢的
其中，ym为理想模型的输出，y为被控系统的输 出，e表示输入信号为r(t)时，理想系统的响应与 实际系统响应之间的偏离
设计目标：确定可调增益Kc(t)的自适应调节律， 使得下列性能指标J达到最小：
1 t 2 J ( Kc , t ) t 0 e ( , Kc )d 2
(5.1)
下面采用梯度法来寻求Kc(t)的最优调节律 首先求出J对的偏导数：
比较图 5.1 和图 5.2 ，可以看到线性模型跟踪控 制系统与线性观测器之间存在着相似性，尽管 它们目的不同，但它们结构却相似：在两种情 况中，都含有两个子系统；一个真实的对象和 一个人为构造的模型。两种情况都要求两个状 态矢量具有相似的动态性能。为了达到这一目 的，状态矢量或输出矢量之差被用来作为主要 的信息来源
具有可调增益的MIT方案
系统控制结构图
Km N(s) D(s) Kc N(s) Kp D(s) Ym + E(s) Y
R(s)
-
自适应机构
设理想模型的传递函数为：
Wm ( s) N ( s) Km D( s)
其中，增益Km是根据期望的动态响应来确定的 定义广义输出误差e为： e y m y
G( s) Kp 1 Ts
根据MIT规则设计的闭环的自适应控制系统应为：
e ( K m K c K p )r Te Ty m y m K m r K e y K c m
下面我们通过解方程的解，看一下系统的稳定性 假定在 t t 0 时，y和 y m 均为零，且 K c K p K m 当输入一个幅度为R的阶跃信号时，考虑 t t 0 后，参考模型的出为：
t
lim ( x m x p ) 0
图5.2 含有参考模型的自适应控制系统
um 前馈控制 参考模型 +e + + u x -
-
被控过程 反馈控制
自适应机构
在模型参考跟踪系统中，参考模型是控制系统 的一部分。所要求的系统期望特性由参考模型 状态的动态响应所确定，所定义的误差矢量 e x m x 在每一时刻直接测量参考模型特性 与被控对象实际特性之间的差，并对自适应机 构的参数进行修正，产生一个辅助的控制信号 以保证可调系统达到参考模型规定的性能
D( p) y m (t ) K m N ( p)r (t )
wk.baidu.com(5.4)
令(5.3)式与(5.4)式相除，整理后得：
Kp e(t ) ym K c Km
将此式代入(5.2)式，得：
k e y K c m Kp Km
令
则有：
K k
Kp Km
K e y K c m
MIT方案的主要优点：它设计出的自适应律所需 要的信号都容易获得，利用的输出偏差e和期望输 出均可直接获得
MIT方案的缺点：不能保证设计的自适应控制系 统总是稳定的 对于一个理想的自适应控制系统，在任何参考输 入的情况下，总是希望当 t 时，有 e 0, x 0 但这种系统可能是不稳定的。下面举例说明。
参考模型与可调系统两者性能之间的一致性，由自 适应机构保证 ，性能一致性程度由状态广义误差 e x x m x 或输出广义误差 e y y m y ce x 式中xm和ym分别为参考模型和可调系统的状态和输 出，只要误差向量不为零，自适应机构就按减少 偏差方向修正或更新控制器的参数，以使系统实 际性能指标达到或接近希望的性能指标。具体实 施时，可更新前置和反馈控制器的参数，也可直 接改变加到对象输入端的信号，前者称为参数自 适应方案，后者称为信号综合自适应方案
一、模型参考自适应系统的结构类型
1）并联模型参考自适应系统
yr 参考模型 +e 可调系统 自适应机构
-
2）串并联模型参考自适应系统
yr 参考模型(并联) +e 参考模型(串联) 可调系统 自适应机构
-
yr
参考模型
可调系统(串联) +e
可调系统(并联) 自适应机构
-
3）串联模型参考自适应系统
自适应机构
【例5.2】考虑被控对象为：
W p ( s) Kp a 2 s 2 a1 s 1
理想系统模型为：
Wm ( s) Km a 2 s 2 a1 s 1
根据前面推导出的结果，闭环自适应控制系统 由以下微分方程组所决定：
d 2e de e ( K m K p K c )r a 2 2 a1 dt 2 dt dy m dy m a1 ym Kmr a2 2 dt dt dK c K e ym dt
yr
参考模型
可调系统 +e
-
二、模型参考自适应系统的构成
1）参考模型 2）可调系统 3）自适应机构 其中，可调系统包括被控对象，前置控制器和反 馈控制器
• 按照参考模型、可调系统以及自适应机 构的实现方式，模型参考自适应系统也 可以分为连续型、离散型和混合型 • 从参考模型的种类上，可分为理想模型 参考自适应控制和可调模型参考自适应 控制
a2 d 3e dt
3
a1
d 2e dt 2
de K m K p KA 2 e 0 dt
利用劳斯（Routh）稳定性判断，很容易得到以 下不等式，即当
a1 K m K p KA a2
2
(5.8)
时，系统不稳定，即当满足条件式(5.8)时，输 出偏差e（yp情况也相同）将出现不稳定，这是 不容许的。因此在应用参数最优化方法进行设 计时，最后必须对整个系统的稳定性进行分析 和检验，而这一步工作往往是很麻烦的
• 在 MIT 律中，常用到误差的二次型目标 函数，在单变量情况下，大多采用误差 平方积分的目标函数，为使目标函数达 到最小的参数最优化的常用方法有：最 速 下 降 法 ， 牛 顿 - 拉 富 逊 （ NewtonRaphson）法，共轭梯度法和变尺度法等， 其中最速下降法比较简单
在应用局部参数最优化设计方法时，除了前面 的假设外，还要附加另外两条假设： 5）可调系统参数已位于参考模型参数的某 个邻域内； 6）可调参数的调节速度低，即自适应增益 假设5)是MIT律自身能力限制的。假设6)是为了 从广义误差测量中将参数调节作用与指令输入 信号的作用分离出来所必须的
按照年代先后出现的次序，理想模型参考 自适应系统的设计基本理论有以下三种： 1、局部参数最优化理论 2、李雅普诺夫函数 3、超稳定性与正性概念
为了减少设计和实现中的困难，做如下假设：
1）参考模型是时不变系统 2）参考模型和可调模型是线性的，有时为了分析方便， 还假设它们的阶次相同 3）广义误差可测 4）在自适应控制过程中，可调参数或辅助信号仅依赖 于自适应机构 假设4)意味着自适应速度应大于被控对象参数的变化速 度，否则就不可能实现渐近自适应
K c K c K c 0 J e k K c 0 k e d K c 0 K c K c
t0

t
式中， K c 0 为调整前的初值。将上式两边分别 对时间求导数后，得到 K c (t ) 的变化率与广义 误差e的关系为：
e Kc k e Kc
t J e e d K c t 0 K c
根据梯度法， K c (t ) 值应沿梯度下降的方向移动， 在一定的步距下， K c (t ) 的变化量 K c 将取如下 的数值：
t J e K c k k e d K c K c t0
其中k为正常数 则调整后的Kc为
第五章 模型参考自适应控制系统
图5.1 线性状态观测器
B u . ^ x Ap =A . x + A K ^ x C e yp + x C ym
=B Bp
+
在观测器技术中建造了一个对象的模型，模型 与对象由同一个输入量所激励。用真实对象的 输出与观测模型的输出之差经过适当的增益修 正之后，作为一个附加的修正输入加到观测模 型中以确保：
pn
dn dt n
则e满足下列微分方程：
D( p)e(t ) ( Km Kc K p ) N ( p)r (t )
其中，p为微分运算子 上式两端对Kc求导数，得：
e(t ) D( p) K p N ( p)r (t ) Kc
(5.3)
另一方面，考虑到参考模型的输出与输入之间 满足下列关系：
5.1 局部参数最优化的设计方法
• 局部参数最优化设计方法：通常称为MIT 律，设计原理是构造一个由广义误差和 可调参数组成的目标函数，并把它视为 位于可调参数空间的一个超曲面，再利 用参数最优化方法使这个目标函数逐渐 减少，直到目标函数达到最小或位于最 小值的某个邻域为止，从而满足可调系 统与参考模型之间的一致性要求
(5.5)
(5.5)式就是所要求的可调增益Kc的调节律，即 系统的自适应规律，有时被称为MIT规则。从 (5.5)式中可看出，这种自适应机构是由一个乘 法器和一个积分器组成，具体实现的结构图如 下图所示
MIT控制方案的实现图
R(s) K m N(s) D(s) Kc N(s) Kp D(s) K s Ym + Y