两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式

基础知识归纳

1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β

1－tan αtan β；

(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β

1＋tan αtan β.

2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；

(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α

1－tan 2α.

3．常用的公式变形

(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；

(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π

4.

基础题必做

1． 若tan α＝3，则sin 2α

cos 2α的值等于( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

解析：选D

sin 2αcos 2α＝2sin αcos α

cos 2α

＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )

A ．－2

2

B.

22

C.

3

2

D ．1

解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22

. 3．已知sin α＝2

3，则cos(π－2α)等于( )

A ．－5

3 B ．－19

C.19

D.53

解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－1

9.

4．(教材习题改编)若cos α＝－4

5，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－

1－cos 2α＝－3

5

，

sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－7210

5．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2

5，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－3

7.

答案：－3

7

解题方法归纳

1.两角和与差的三角函数公式的理解：

(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则

后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．

(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．

(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α

＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．

2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对

角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．

三角函数公式的应用 典题导入

[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫

13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；

(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6

5，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫

13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4

＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6

5， ∴2sin α＝10

13，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝3

5.

∴cos α＝1213，sin β＝4

5

.

∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝16

65.

解题方法归纳

两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β

的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．

以题试法

1．(1)已知sin α＝3

5

，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α

2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.

(2) 已知α为锐角，cos α＝

5

5

，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－1

7

C ．－43

D ．－7 解析：(1)

cos 2α

2sin ⎝⎛⎭

⎫α＋π4＝

cos 2α－sin 2α

2⎝⎛⎭

⎫22sin α＋2

2cos α＝cos α－sin α，

∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－4

5. ∴原式＝－7

5

.

(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4

＝－4

3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17

. 答案：(1)－7

5 (2)B

三角函数公式的逆用与变形应用

典题导入

[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x

2－3sin x .

(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；

(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α

的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x

2

－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，