两角和与差的正弦、余弦和正切公式(含解析)

归纳与技巧：两角和与差的正弦、余弦和正切公式
基础知识归纳
1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)C (α－β)：cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β； (2)C (α＋β)：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β； (3)S (α＋β)：sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β； (4)S (α－β)：sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β； (5)T (α＋β)：tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β；
(6)T (α－β)：tan(α－β)＝tan α－tan β
1＋tan αtan β.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)S 2α：sin 2α＝2sin_αcos_α；
(2)C 2α：cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α； (3)T 2α：tan 2α＝2tan α
1－tan 2α.
3．常用的公式变形
(1)tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)； (2)cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2， 1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α±π
4.
基础题必做
1． 若tan α＝3，则sin 2α
cos 2α的值等于( )
A ．2
B ．3
C ．4
D ．6
解析：选D
sin 2αcos 2α＝2sin αcos α
cos 2α
＝2tan α＝2×3＝6. 2．sin 68°sin 67°－sin 23°cos 68°的值为( )
A ．－2
2
B.
22
C.
3
2
D ．1
解析：选B 原式＝sin 68°cos 23°－cos 68°sin 23°＝sin(68°－23°)＝sin 45°＝22
. 3．已知sin α＝2
3，则cos(π－2α)等于( )
A ．－5
3 B ．－19
C.19
D.53
解析：选B cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝2sin 2α－1＝2×49－1＝－1
9.
4．(教材习题改编)若cos α＝－4
5，α是第三象限角，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________ 解析：由已知条件sin α＝－
1－cos 2α＝－3
5
，
sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝22sin α＋22cos α＝－7210. 答案：－7210
5．若tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝2
5，则tan α＝________. 解析：tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋11－tan α＝25， 即5tan α＋5＝2－2tan α. 则7tan α＝－3，故tan α＝－3
7.
答案：－3
7
解题方法归纳
1.两角和与差的三角函数公式的理解：
(1)正弦公式概括为“正余，余正符号同”．“符号同”指的是前面是两角和，则
后面中间为“＋”号；前面是两角差，则后面中间为“－”号．
(2)余弦公式概括为“余余，正正符号异”．
(3)二倍角公式实际就是由两角和公式中令β＝α所得．特别地，对于余弦：cos 2α
＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α，这三个公式各有用处，同等重要，特别是逆用即为“降幂公式”，在考题中常有体现．
2．重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对
角的分拆要尽可能化成已知角、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等．在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求(或所证明)问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形．
三角函数公式的应用 典题导入
[例1] 已知函数f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
13x －π6，x ∈R . (1)求f ⎝⎛⎭⎫5π4的值；
(2)设α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5，求cos(α＋β)的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫
13x －π6， ∴f ⎝⎛⎭⎫5π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫5π12－π6＝2sin π4
＝ 2. (2)∵α，β∈⎣⎡⎦⎤0，π2，f ⎝⎛⎭⎫3α＋π2＝1013，f (3β＋2π)＝6
5， ∴2sin α＝10
13，2sin ⎝⎛⎭⎫β＋π2＝65. 即sin α＝513，cos β＝3
5.
∴cos α＝1213，sin β＝4
5
.
∴cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β ＝1213×35－513×45＝16
65.
解题方法归纳
两角和与差的三角函数公式可看作是诱导公式的推广，可用α、β的三角函数表示α±β
的三角函数，在使用两角和与差的三角函数公式时，特别要注意角与角之间的关系，完成统一角和角与角转换的目的．
以题试法
1．(1)已知sin α＝3
5
，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，则cos 2α
2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝________.
(2) 已知α为锐角，cos α＝
5
5
，则tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝( ) A ．－3 B ．－1
7
C ．－43
D ．－7 解析：(1)
cos 2α
2sin ⎝⎛⎭
⎫α＋π4＝
cos 2α－sin 2α
2⎝⎛⎭
⎫22sin α＋2
2cos α＝cos α－sin α，
∵sin α＝35，α∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴cos α＝－4
5. ∴原式＝－7
5
.
(2)依题意得，sin α＝255，故tan α＝2，tan 2α＝2×21－4
＝－4
3，所以tan ⎝⎛⎭⎫π4＋2α＝1－431＋43＝－17
. 答案：(1)－7
5 (2)B
三角函数公式的逆用与变形应用
典题导入
[例2] 已知函数f (x )＝2cos 2x
2－3sin x .
(1)求函数f (x )的最小正周期和值域；
(2)若α为第二象限角，且f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，求cos 2α1＋cos 2α－sin 2α
的值． [自主解答] (1)∵f (x )＝2cos 2x
2
－3sin x ＝1＋cos x －3sin x ＝1＋2cos ⎝⎛⎭⎫x ＋π3，
∴周期T ＝2π，f (x )的值域为[－1,3]．
(2)∵f ⎝⎛⎭⎫α－π3＝13，∴1＋2cos α＝13，即cos α＝－13. ∵α为第二象限角，∴sin α＝
22
3
. ∴cos 2α
1＋cos 2α－sin 2α＝cos 2α－sin 2α2cos 2α－2sin αcos α ＝cos α＋sin α2cos α＝－13＋223
－23＝1－222
.
解题方法归纳
运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟练、准确，而且要熟悉公式的逆用及变形，如tan α＋tan β＝tan(α＋β)·(1－tan αtan β)和二倍角的余弦公式的多种变形等．
以题试法
2．(1) 已知sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＋cos α＝435，则sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3的值为( ) A.4
5 B.35 C.3
2
D.35
(2)若α＋β＝3π
4，则(1－tan α)(1－tan β)的值是________．
解析：(1)由条件得
32sin α＋32cos α＝435
， 即12sin α＋32cos α＝4
5. ∴sin ⎝⎛⎭⎫α＋π3＝45
. (2)－1＝tan 3π
4＝tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β，
∴tan αtan β－1＝tan α＋tan β. ∴1－tan α－tan β＋tan αtan β＝2，
即(1－tan α)(1－tan β)＝2. 答案：(1)A (2)2
角 的 变 换 典题导入
[例3] (1) 若sin α＋cos α
sin α－cos α＝3，tan(α－β)＝2，则tan(β－2α)＝________.
(2) 设α为锐角，若cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45，则sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π
12的值为________． [自主解答] (1)由条件知sin α＋cos αsin α－cos α＝tan α＋1
tan α－1＝3，
则tan α＝2.
故tan(β－2α)＝tan [(β－α)－α] ＝
tan (β－α)－tan α
1＋tan (β－α)tan α＝－2－2
1＋(－2)×2＝4
3.
(2)因为α为锐角，cos ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝45， 所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π6＝35，sin 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝24
25， cos 2⎝⎛⎭⎫α＋π6＝725
， 所以sin ⎝
⎛⎭⎫2α＋π
12＝sin ⎣⎡⎦
⎤2⎝⎛⎭⎫α＋π6－π4 ＝2425×22－725×22＝172
50. [答案] (1)43 (2)17250
解题方法归纳
1．当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式； 2．当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．
3．常见的配角技巧： α＝2·α
2；α＝(α＋β)－β；
α＝β－(β－α)； α＝1
2[(α＋β)＋(α－β)]；
β＝1
2
[(α＋β)－(α－β)]； π4＋α＝π2－⎝⎛⎭⎫π4－α；α＝π4－⎝⎛⎭⎫π
4－α.
以题试法
3．设tan ()α＋β＝2
5，tan ⎝⎛⎭⎫β－π4＝14，则tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝( ) A.13
18 B.1322 C.3
22
D.16
解析：选C tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan ⎣⎡⎦⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝
tan (α＋β)－tan ⎝⎛⎭
⎫β－π41＋tan (α＋β)tan ⎝⎛⎭
⎫β－π4＝3
22.
1． 设tan α，tan β是方程x 2－3x ＋2＝0的两根，则tan (α＋β)的值为( ) A ．－3 B ．－1 C ．1
D ．3
解析：选A 由题意可知tan α＋tan β＝3，tan α·tan β＝2， tan(α＋β)＝tan α＋tan β
1－tan αtan β
＝－3.
2． 已知cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－3
3，则cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3的值是( ) A ．－23
3
B ．±233
C ．－1
D ．±1
解析：选C cos x ＋cos ⎝⎛⎭⎫x －π3＝cos x ＋12cos x ＋32sin x ＝32cos x ＋3
2
sin x ＝3⎝⎛⎭
⎫32cos x ＋12sin x ＝3cos ⎝⎛⎭⎫x －π6＝－1. 3． 已知α满足sin α＝1
2，那么sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α的值为( ) A.1
4 B ．－14
C.12
D ．－12
解析：选A 依题意得，sin ⎝⎛⎭⎫π4＋αsin ⎝⎛⎭⎫π4－α＝sin ⎝⎛⎭⎫π4＋α·cos ⎝⎛⎭⎫π4＋α＝12sin ⎝⎛⎭⎫π2＋2α＝12cos 2α＝12(1－2sin 2α)＝1
4
.
4．已知函数f (x )＝x 3＋bx 的图象在点A (1，f (1))处的切线的斜率为4，则函数g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x 的最大值和最小正周期为( )
A ．1，π
B ．2，π C.2，2π
D.3，2π
解析：选B 由题意得f ′(x )＝3x 2＋b ， f ′(1)＝3＋b ＝4，b ＝1. 所以g (x )＝3sin 2x ＋b cos 2x ＝3sin 2x ＋cos 2x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x ＋π
6， 故函数的最大值为2，最小正周期为π. 5． 设α、β都是锐角，且cos α＝55，sin ()α＋β＝3
5，则cos β＝( ) A.25
25
B.255
C.2525或255
D.55或525 解析：选A 依题意得sin α＝1－cos 2α＝25
5
， cos(α＋β)＝±1－sin 2(α＋β)＝±45.
又α、β均为锐角，因此0<α<α＋β<π， cos α>cos(α＋β)，注意到45>55>－4
5，
所以cos(α＋β)＝－4
5
.
cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×55＋35×255＝25
25.
6．已知α为第二象限角，sin α＋cos α＝3
3
，则cos 2α＝( ) A ．－5
3
B ．－5
9
C.
5
9
D.53
解析：选A 将sin α＋cos α＝
33两边平方，可得1＋sin 2α＝13，sin 2α＝－2
3，所以(－sin α＋cos α)2＝1－sin 2α＝5
3.因为α是第二象限角，所以sin α＞0，cos α＜0，所以－sin α＋
cos α＝－
153，所以cos 2α＝(－sin α＋cos α)·(cos α＋sin α)＝－53
. 7． 满足sin π5sin x ＋cos 4π5cos x ＝1
2的锐角x ＝________.
解析：由已知可得 cos 4π5cos x ＋sin 4π5sin x ＝1
2，
即cos ⎝⎛⎭⎫4π5－x ＝12，
又x 是锐角，所以4π5－x ＝π3，即x ＝7π15.
答案：7π
15
8．化简2tan (45°－α)1－tan 2
(45°－α)·sin αcos α
cos 2α－sin 2α＝________. 解析：原式＝tan(90°－2α)·1
2
sin 2αcos 2α
＝sin (90°－2α)cos (90°－2α)·1
2sin 2αcos 2α ＝
cos 2αsin 2α·12sin 2αcos 2α＝1
2
. 答案：12
9． 已知角α，β的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，α，β∈(0，π)，角β的终边与单位圆交点的横坐标是－13，角α＋β的终边与单位圆交点的纵坐标是4
5
，则cos α
＝________.
解析：依题设及三角函数的定义得： cos β＝－13，sin(α＋β)＝4
5
.
又∵0<β<π，∴π2<β<π，π2<α＋β<π，sin β＝223，cos(α＋β)＝－3
5.
∴cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β ＝－3
5×⎝⎛⎭⎫－13＋45×223 ＝3＋8215.
答案：3＋8215
10．已知α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，tan α＝1
2，求tan 2α和sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3的值． 解：∵tan α＝12，∴tan 2α＝2tan α
1－tan 2α＝2×1
21－14＝43
，
且
sin αcos α＝1
2
，即cos α＝2sin α， 又sin 2α＋cos 2α＝1， ∴5sin 2α＝1，而α∈⎝⎛⎭⎫0，π2， ∴sin α＝
55，cos α＝25
5
. ∴sin 2α＝2sin αcos α＝2×
55×255＝4
5
， cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝45－15＝3
5
，
∴sin ⎝⎛⎭⎫2α＋π3＝sin 2αcos π3＋cos 2αsin π3＝45×12＋35×32＝4＋3310. 11．已知：0<α<π
2<β<π，cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45. (1)求sin 2β的值； (2)求cos ⎝⎛⎭
⎫α＋π
4的值．
解：(1)法一：∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝cos π4cos β＋sin β＝22cos β＋22sin β＝13
， ∴cos β＋sin β＝23，∴1＋sin 2β＝29，∴sin 2β＝－79
. 法二：sin 2β＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－2β＝2cos 2⎝⎛⎭⎫β－π4－1＝－79
. (2)∵0<α<π2
<β<π， ∴π4<β<－π4<34π，π2<α＋β<3π2
， ∴sin ⎝⎛⎭
⎫β－π4>0，cos (α＋β)<0. ∵cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝13，sin (α＋β)＝45
， ∴sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝223，
cos (α＋β)＝－35
. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝cos ⎣⎡⎦
⎤(α＋β)－⎝⎛⎭⎫β－π4 ＝cos (α＋β)cos ⎝⎛⎭
⎫β－π4 ＝－35×13＋45×223＝82－315
. 12． 函数f(x)＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭
⎫π－x 2，x ∈R . (1)求f (x )的最小正周期；
(2)若f (α)＝2105
，α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，求tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4的值． 解：(1)f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎫－x 2＋sin ⎝⎛⎭⎫π－x 2＝sin x 2＋cos x 2＝2sin ⎝⎛⎭⎫x 2＋π4， 故f (x )的最小正周期T ＝2π1
2
＝4π. (2)由f (α)＝2105，得sin α2＋cos α2＝2105
， 则⎝⎛⎭⎫sin α2
＋cos α22＝⎝⎛⎭⎫21052， 即1＋sin α＝85，解得sin α＝35
，
又α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，则cos α＝1－sin 2α＝ 1－925＝45
， 故tan α＝sin αcos α＝34， 所以tan ⎝⎛⎭⎫α＋π4＝tan α＋tan π41－tan αtan π4＝34＋11－34
＝7.
1．若tan α＝lg(10a )，tan β＝lg ⎝⎛⎭⎫1a ，且α＋β＝π4
，则实数a 的值为( ) A ．1
B.110 C ．1或110 D ．1或10
解析：选C tan(α＋β)＝1⇒
tan α＋tan β1－tan αtan β＝lg (10a )＋lg ⎝⎛⎭⎫1a 1－lg (10a )·lg ⎝⎛⎭⎫1a ＝1⇒lg 2a ＋lg a ＝0， 所以lg a ＝0或lg a ＝－1，即a ＝1或110
. 2．化简sin 2⎝⎛⎭⎫α－π6＋sin 2⎝⎛⎭
⎫α＋π6－sin 2α的结果是________． 解析：原式＝1－cos ⎝⎛⎭⎫2α－π32＋1－cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π32
－sin 2α ＝1－12⎣⎡⎦⎤cos ⎝
⎛⎭⎫2α－π3＋cos ⎝⎛⎭⎫2α＋π3－sin 2α ＝1－cos 2α·cos π3－sin 2α＝1－cos 2α2－1－cos 2α2＝12
. 答案：12
3．已知sin α＋cos α＝355
，α∈⎝⎛⎭⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35，β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2. (1)求sin 2α和tan 2α的值；
(2)求cos(α＋2β)的值．
解：(1)由题意得(sin α＋cos α)2＝95
， 即1＋sin 2α＝95，∴sin 2α＝45
.
又2α∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴cos 2α＝1－sin 22α＝35， ∴tan 2α＝sin 2αcos 2α＝43. (2)∵β∈⎝⎛⎭⎫π4，π2，β－π4∈⎝⎛⎭
⎫0，π4，sin ⎝⎛⎭⎫β－π4＝35， ∴cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝45
， 于是sin 2⎝⎛⎭⎫β－π4＝2sin ⎝⎛⎭⎫β－π4cos ⎝⎛⎭⎫β－π4＝2425
. 又sin 2⎝⎛⎭
⎫β－π4＝－cos 2β， ∴cos 2β＝－2425
， 又∵2β∈⎝⎛⎭⎫π2，π，∴sin 2β＝725
， 又∵cos 2α＝1＋cos 2α2＝45⎝
⎛⎭⎫α∈⎝⎛⎭⎫0，π4， ∴cos α＝255，sin α＝55
. ∴cos(α＋2β)＝cos αcos 2β－sin αsin 2β
＝255 ×⎝⎛⎭⎫－2425－55×725＝－11525
.
1． 已知函数f (x )＝3sin 2x ＋sin x cos x ，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π.
(1)求f (x )的零点；
(2)求f (x )的最大值和最小值．
解：(1)令f (x )＝0，得sin x ·(3sin x ＋cos x )＝0， 所以sin x ＝0或tan x ＝－33
. 由sin x ＝0，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝π；
由tan x ＝－33，x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，得x ＝5π6
. 综上，函数f (x )的零点为5π6
，π.
(2)f (x )＝32(1－cos 2x )＋12
sin 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3＋32. 因为x ∈⎣⎡⎦⎤π2，π，所以2x －π3∈⎣⎡⎦⎤2π3，5π3. 所以当2x －π3＝2π3，即x ＝π2
时，f (x )的最大值为3； 当2x －π3＝3π2，即x ＝11π12时，f (x )的最小值为－1＋32
. 2．已知0<β<π2<α<π，且cos ⎝⎛⎭⎫α－β2＝－19
，sin ⎝⎛⎭⎫α2－β＝23，求cos(α＋β)的值； 解：∵0<β<π2
<α<π， ∴－π4<α2－β<π2，π4<α－β2
<π. ∴cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＝
1－sin 2⎝⎛⎭⎫α2－β ＝ 1－⎝⎛⎭⎫232＝53，
sin ⎝⎛⎭
⎫α－β2＝ 1－cos 2⎝⎛⎭⎫α－β2 ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－192＝459
. ∴cos α＋β2
＝cos ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫α－β2－⎝⎛⎭⎫α2－β ＝cos ⎝⎛⎭⎫α－β2cos ⎝⎛⎭⎫α2－β＋sin ⎝⎛⎭⎫α－β2sin ⎝⎛⎭
⎫α2－β ＝－19×53＋459×23＝7527
. ∴cos(α＋β)＝2cos 2α＋β2－1＝2×49×5729－1＝－239729
.。