动力学普遍定理与拉氏方程
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(17－6)
n ri d ri n d ri mi r mi vi mi vi i qk i 1 dt qk i 1 dt qk i 1
dvi ri d ri d ri mi vi mi mi vi dt qk dt qk dt qk ri d ri mi r mi vi i qk dt qk
n
d k dt q
n
1 2 mi vi qk i 1 2
n
1 2 mi vi i 1 2
n
ri d T T 所以 mi vi q dt q i 1 k k qk
拉格朗日方程概述续
拉格朗日方程是着眼于整个系统，避开约束反
力，用分析方法给出了系统动力学问题的统一表述， 为处理受约束的复杂的系统动力学问题开辟了新的捷 径。由于拉格朗日方程是用广义坐标且从能量的观点 研究系统的动力学问题，而能量是自然界各种不同物 理形态的物质运动的统一度量， 因此，拉格朗日方 程的应用就具有较大的普遍性，它不仅适用于机械系 统，也适用于电学系统和机电系统的动力学问题。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
ri= ri(q1，q2，…qN，t)
(17－3)
对上式求变分得
N ri ri ri ri ri δ ri δ q1 δ q2 δ q N δ t δ qk q1 q2 q N t i 1 qk
根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相 同的一组独立平衡方程。这种用分析方法建立的平 衡条件，避开了未知的约束反力，使非自由质点系 的平衡问题的求解变得简单。
同理，对受完整约束的多自由度质点系的动力
学问题，可以根据能量原理，采用广义坐标，推导 出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。这种 用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格朗日 第二类方程，或简称拉格朗日方程。
(k 1,2,, N )
(17－14)
拉格朗日方程的形式
d T T Qk , (k 1,2, , N ) k qk d t q
在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为
d L L 0 k qk d t q (k 1,2,, N )
n
N
N
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
F δ r Q δ q
i 1 i i k 1 k
n n
n
N
k
n ri δ qk 0 Fi δ ri mi ai δ ri i Qk mi r qk k 1 i 1 i 1 i 1 广义力 广义虚位移 N
qk
d T T V , (k 1,2,, N ) k qk d t q qk
(17－12)
对保守系统，拉格朗日方程可写成
d T T V , (k 1,2,, N ) k qk dt q qk
i 1 n n ri d ri n d ri mi vi mi r mi vi i dt qk i 1 qk i 1 dt qk
将下列两个恒等式（有关证明请参阅理论力学（II）P41） 代入 i ri r
n dT P Fi v i dt i 1
( 2)
又系统的动能T为
N ri N ri 1 1 n 2 k l T mi vi mi q q 2 i 1 k 1 qk l 1 ql i 1 2
(17－10)
将式（17-10）代入式（17-5）得
d T T Qk , (k 1,2, , N ) k qk d t q
(17－11)
这就是第二类拉格朗日方程， 是一个方程组，该方程组 的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方 程。揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。 若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）， 则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式 Q V k 于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成
因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广标的 变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有
ri Qk mi r 0 i qk i 1
n
(k =1，2，……，N)
(17－5)
广义力 广义惯性力
以广义坐标表示的达朗贝尔原理
对式 Qk mi r i
i 1
n
n
ri 0 中广义惯性力进行变换： qk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi， M 主动力Fi 加速度为ai 受力 约束反力FNi FNi 虚加上其惯性力 FIi=－miai ai Fi 则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与FIi 应组成形式上的平衡力系，即
Fi + FNi +FIi= 0
i Ii
若质点系受理想约束作用， 应用虚位移原理，有
若
Fi X i i Yi j Z i k , ri xi i yi j zi k ,
i i i j i k , ai x y z
则D---L方程的坐标分解式为
X
i 1
n
i
i δ xi Yi mi i δ yi Z i mi mi x y zi δ zi 0
这里从能量原理中的功率方程出发，采用
广义坐标，推导拉格朗日方程。
用功率方程推导拉格朗日方程
设质点系由n个质点组成，系统受s个定常的完整的理想 约束， 因此有N =3n-s个自由度。 用k个广义坐标q1、q2、……qn表示质点的位置。
设质点系中第i个质点的质量为mi，位置矢径为ri， 由于约束是定常的，所以矢径ri 仅是广义坐标的函数
n
(F F
i 1
n
) δ ri 0
或
(F m a ) δ r 0
i 1 i i i i
(17－1)
(F m a ) δ r 0
i 1 i i i i
n
动力学普遍方程或 达朗贝尔--拉格朗日方程 （D--L方程）
在理想约束条件下，质点系的各个质点在任意瞬 即 时所受的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上 所做虚功之和等于零。
n
N N 1 N N n ri ri 1 k q l mkl q q k q l 2 k 1 l 1 i 1 qk ql 2 k 1 l 1
§17-2 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用独立的广 义坐标表示，即可推导出
第二类拉格朗日方程。
拉格朗日
拉格朗日 （Lagrange 1736 — 1813）法 籍意大利人，数学 家、力学家、天文 学家，十九岁成为 数学教授，与欧拉 共同创立变分法， 是十八世纪继欧拉 后伟大的数学家。
具有s个完整理想约束， 设质点系由n个质点组成， 则有N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用函数L表示系统的动能T与势能V之差，即
L = T－V
L称为拉格朗日函数或动势。
(17－13)
∵势能V仅仅是广义坐标qk的函数，而与广义速度无关， ∴有
V 0, k q
d L L 0 k qk d t q
于是，在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的 形式为
拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题
的普遍方程，是分析力学中重要的方程。
拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本变量，
是用广义坐标表示的质点系运动微分方程。
拉格朗日方程形式简洁，应用时只需计算系统的动能和
广义力；对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。
拉格朗日方程概述
对受完整约束的多自由度质点系的平衡问题，
D---L方程可写成 上式中
n
F δ r m a
i 1 i i i 1
n
n
i i
δ ri 0
(17－4)
n ri ri r δ qk mi ai δ ri mi r δ qk mi i i qk k 1 i 1 i 1 i 1 k 1 qk
引言
K •摆长不定，如何确定 其摆动规律？
φ1 φ2 •多杆摆问题
•混沌摆问题
如何研究较复杂的非自由质点系的动力学问题？
引言
Leabharlann Baidu
达朗贝尔（1717-1785 ）通过引入惯性力的概念，
建立了著名的达朗贝尔原理（用静力学建立平 衡方程的方法处理动力学问题）；
约翰· 伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了
qk k q
(17－7)
i d ri r dt qk qk
(17－8)
得
i 1
n
vi ri n d vi n mi vi mi vi mi vi k i 1 qk i 1 dt q q k vi d n mi vi k qk dt i 1 q 1 m v v i i i i 1 2
ri ri (q1 , q2 , , qN )
j q
(i 1,2, , n)
ri k q k 1 qk
N
i 各质点系的速度则为 vi r
ri 其中 是广义坐标的函数， q k
(1)
k 的齐次线性函数。 所以vi是广义速度 q
现令系统的动能为T，功率为P，则功率方程为
虚位移原理（建立虚位移、虚功的概念，用动 力学的方法研究静力学中的平衡问题）；
拉格朗日应用达朗贝尔原理，把虚位移原理推广
到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力 学普遍方程，进一步导出了拉格朗日方程。
§17-1 动力学普遍方程
动力学普遍方程是虚位移原理与达朗贝尔原理 简单 结合的产物。
FI gi i
(17－2)
例17-1 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r， 对轮心的转动惯量为 J；中心用质量为 m2 的 连杆连接，在倾角为 的斜面上纯滚动。求 连杆的加速度。
• 见后续
例17-1续已知轮m1，r，J，纯滚；杆m2，求杆a。
MI
FI1
解：研究整个系统，进行受力分析；
a
MI 虚加各刚体的惯性力。 FI2 m1g 设杆的加速度为a，则 F I1 a FI1= m1a， M I J J , F2 m2g r FI2= m2a， m1g N2 F1 给连杆以平行于斜面向下 s 的虚位移s， 则相应地两轮 N1 有转角虚位移，且 s r 根据动力学普遍方程，得 (2m1 m2 ) g sin δ s (2 F I1 F I 2) δ s 2 M I 0 于是 (2m1 m2 ) g sin δ s (2m1 m 2 )a δ s 2 J a δs 0 r r 2 ( 2m1 m2 ) r sin a g 解得 2 解毕。 ( 2m1 m2 ) r 2 J
n ri d ri n d ri mi r mi vi mi vi i qk i 1 dt qk i 1 dt qk i 1
dvi ri d ri d ri mi vi mi mi vi dt qk dt qk dt qk ri d ri mi r mi vi i qk dt qk
n
d k dt q
n
1 2 mi vi qk i 1 2
n
1 2 mi vi i 1 2
n
ri d T T 所以 mi vi q dt q i 1 k k qk
拉格朗日方程概述续
拉格朗日方程是着眼于整个系统，避开约束反
力，用分析方法给出了系统动力学问题的统一表述， 为处理受约束的复杂的系统动力学问题开辟了新的捷 径。由于拉格朗日方程是用广义坐标且从能量的观点 研究系统的动力学问题，而能量是自然界各种不同物 理形态的物质运动的统一度量， 因此，拉格朗日方 程的应用就具有较大的普遍性，它不仅适用于机械系 统，也适用于电学系统和机电系统的动力学问题。
用q1，q2，…qN表示系统的广义坐标，第i个质点质量为mi， 矢径为ri。则
ri= ri(q1，q2，…qN，t)
(17－3)
对上式求变分得
N ri ri ri ri ri δ ri δ q1 δ q2 δ q N δ t δ qk q1 q2 q N t i 1 qk
根据虚位移原理，采用广义坐标，得到与自由度相 同的一组独立平衡方程。这种用分析方法建立的平 衡条件，避开了未知的约束反力，使非自由质点系 的平衡问题的求解变得简单。
同理，对受完整约束的多自由度质点系的动力
学问题，可以根据能量原理，采用广义坐标，推导 出与自由度相同的一组独立的运动微分方程。这种 用广义坐标表示的动力学普遍方程，称为拉格朗日 第二类方程，或简称拉格朗日方程。
(k 1,2,, N )
(17－14)
拉格朗日方程的形式
d T T Qk , (k 1,2, , N ) k qk d t q
在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的形式为
d L L 0 k qk d t q (k 1,2,, N )
n
N
N
根据虚位移原理中广义力与广义虚位移的表示形式，有
F δ r Q δ q
i 1 i i k 1 k
n n
n
N
k
n ri δ qk 0 Fi δ ri mi ai δ ri i Qk mi r qk k 1 i 1 i 1 i 1 广义力 广义虚位移 N
qk
d T T V , (k 1,2,, N ) k qk d t q qk
(17－12)
对保守系统，拉格朗日方程可写成
d T T V , (k 1,2,, N ) k qk dt q qk
i 1 n n ri d ri n d ri mi vi mi r mi vi i dt qk i 1 qk i 1 dt qk
将下列两个恒等式（有关证明请参阅理论力学（II）P41） 代入 i ri r
n dT P Fi v i dt i 1
( 2)
又系统的动能T为
N ri N ri 1 1 n 2 k l T mi vi mi q q 2 i 1 k 1 qk l 1 ql i 1 2
(17－10)
将式（17-10）代入式（17-5）得
d T T Qk , (k 1,2, , N ) k qk d t q
(17－11)
这就是第二类拉格朗日方程， 是一个方程组，该方程组 的数目等于质点系的自由度数，各方程均为二阶常微分方 程。揭示了系统动能的变化与广义力之间的关系。 若作用于质点系的主动力均为有势力（保守力）， 则广义力Qk可写成质点系势能表达的形式 Q V k 于是，对保守系统，拉格朗日方程可写成
因为系统为完整约束，广义坐标相互独立，所以广标的 变分qk是任意的，为使上式恒成立，须有
ri Qk mi r 0 i qk i 1
n
(k =1，2，……，N)
(17－5)
广义力 广义惯性力
以广义坐标表示的达朗贝尔原理
对式 Qk mi r i
i 1
n
n
ri 0 中广义惯性力进行变换： qk
设质点系由n个质点组成，第i个质点质量为mi， M 主动力Fi 加速度为ai 受力 约束反力FNi FNi 虚加上其惯性力 FIi=－miai ai Fi 则根据达朗伯原理， Fi 、FNi 与FIi 应组成形式上的平衡力系，即
Fi + FNi +FIi= 0
i Ii
若质点系受理想约束作用， 应用虚位移原理，有
若
Fi X i i Yi j Z i k , ri xi i yi j zi k ,
i i i j i k , ai x y z
则D---L方程的坐标分解式为
X
i 1
n
i
i δ xi Yi mi i δ yi Z i mi mi x y zi δ zi 0
这里从能量原理中的功率方程出发，采用
广义坐标，推导拉格朗日方程。
用功率方程推导拉格朗日方程
设质点系由n个质点组成，系统受s个定常的完整的理想 约束， 因此有N =3n-s个自由度。 用k个广义坐标q1、q2、……qn表示质点的位置。
设质点系中第i个质点的质量为mi，位置矢径为ri， 由于约束是定常的，所以矢径ri 仅是广义坐标的函数
n
(F F
i 1
n
) δ ri 0
或
(F m a ) δ r 0
i 1 i i i i
(17－1)
(F m a ) δ r 0
i 1 i i i i
n
动力学普遍方程或 达朗贝尔--拉格朗日方程 （D--L方程）
在理想约束条件下，质点系的各个质点在任意瞬 即 时所受的主动力和虚加的惯性力在任一虚位移上 所做虚功之和等于零。
n
N N 1 N N n ri ri 1 k q l mkl q q k q l 2 k 1 l 1 i 1 qk ql 2 k 1 l 1
§17-2 拉格朗日方程
将动力学普遍方程用独立的广 义坐标表示，即可推导出
第二类拉格朗日方程。
拉格朗日
拉格朗日 （Lagrange 1736 — 1813）法 籍意大利人，数学 家、力学家、天文 学家，十九岁成为 数学教授，与欧拉 共同创立变分法， 是十八世纪继欧拉 后伟大的数学家。
具有s个完整理想约束， 设质点系由n个质点组成， 则有N=3n-s个自由度（广义坐标）。
用函数L表示系统的动能T与势能V之差，即
L = T－V
L称为拉格朗日函数或动势。
(17－13)
∵势能V仅仅是广义坐标qk的函数，而与广义速度无关， ∴有
V 0, k q
d L L 0 k qk d t q
于是，在保守系统中，用动势表示的拉格朗日方程的 形式为
拉格朗日方程是解决具有完整约束的质点系动力学问题
的普遍方程，是分析力学中重要的方程。
拉格朗日方程是标量方程，以动能为方程的基本变量，
是用广义坐标表示的质点系运动微分方程。
拉格朗日方程形式简洁，应用时只需计算系统的动能和
广义力；对于保守系统，只需计算系统的动能和势能。
拉格朗日方程概述
对受完整约束的多自由度质点系的平衡问题，
D---L方程可写成 上式中
n
F δ r m a
i 1 i i i 1
n
n
i i
δ ri 0
(17－4)
n ri ri r δ qk mi ai δ ri mi r δ qk mi i i qk k 1 i 1 i 1 i 1 k 1 qk
引言
K •摆长不定，如何确定 其摆动规律？
φ1 φ2 •多杆摆问题
•混沌摆问题
如何研究较复杂的非自由质点系的动力学问题？
引言
Leabharlann Baidu
达朗贝尔（1717-1785 ）通过引入惯性力的概念，
建立了著名的达朗贝尔原理（用静力学建立平 衡方程的方法处理动力学问题）；
约翰· 伯努利（1667-1748）于1717年精确表述了
qk k q
(17－7)
i d ri r dt qk qk
(17－8)
得
i 1
n
vi ri n d vi n mi vi mi vi mi vi k i 1 qk i 1 dt q q k vi d n mi vi k qk dt i 1 q 1 m v v i i i i 1 2
ri ri (q1 , q2 , , qN )
j q
(i 1,2, , n)
ri k q k 1 qk
N
i 各质点系的速度则为 vi r
ri 其中 是广义坐标的函数， q k
(1)
k 的齐次线性函数。 所以vi是广义速度 q
现令系统的动能为T，功率为P，则功率方程为
虚位移原理（建立虚位移、虚功的概念，用动 力学的方法研究静力学中的平衡问题）；
拉格朗日应用达朗贝尔原理，把虚位移原理推广
到非自由质点系的动力学问题中，建立了动力 学普遍方程，进一步导出了拉格朗日方程。
§17-1 动力学普遍方程
动力学普遍方程是虚位移原理与达朗贝尔原理 简单 结合的产物。
FI gi i
(17－2)
例17-1 两均质轮质量皆为m1，半径皆为r， 对轮心的转动惯量为 J；中心用质量为 m2 的 连杆连接，在倾角为 的斜面上纯滚动。求 连杆的加速度。
• 见后续
例17-1续已知轮m1，r，J，纯滚；杆m2，求杆a。
MI
FI1
解：研究整个系统，进行受力分析；
a
MI 虚加各刚体的惯性力。 FI2 m1g 设杆的加速度为a，则 F I1 a FI1= m1a， M I J J , F2 m2g r FI2= m2a， m1g N2 F1 给连杆以平行于斜面向下 s 的虚位移s， 则相应地两轮 N1 有转角虚位移，且 s r 根据动力学普遍方程，得 (2m1 m2 ) g sin δ s (2 F I1 F I 2) δ s 2 M I 0 于是 (2m1 m2 ) g sin δ s (2m1 m 2 )a δ s 2 J a δs 0 r r 2 ( 2m1 m2 ) r sin a g 解得 2 解毕。 ( 2m1 m2 ) r 2 J