组合数学复习总结

第五章

1、任意一个由数字1，2，3组成的30位数，从中任意截取相邻的三位，证明在各种不同位置的截取中，至少有两个三位数是相同的。数的位数30还可以再减少吗，为什么？

（证）设该数字为3021a a a a =，其任意的截法可有28种可能，即

a 1a 2a 3，a 2a 3a 4，a 3a 4a 5，…，a 28a 29a 30

但是，由1，2，3组成的3位数最多只有27个（即3个相异元素取3个的所有重复排列），故由抽屉原理，至少由两段是相同的。

由上面的证明过程可以看出，位数30不能再少，否则，不能保证有两段相同。

若改为截取相邻的5位，首先可知元素1、2、3的5－可重排列共有24335=个。其次，由问题的性质可知至少要能截取出不同的244段才能保证结论成立，从而知该数至少应该有248位。

问题的一般描述是：任意一个由数字1，2，…，m 组成的n ＝k m k +位数，从中任意截取相邻的k 位，则在各种不同位置的截取中，至少有两个k 位数是相同的。若希望至少有r 个k 位数是相同的，则应有n ＝()k m r k +-1。 第六章

1. 一张卡片分成4×2个方格，每格用红蓝两色涂染，可有多少种方法？

（解）如图6.2.1，给每个方格标上号：1,2,…,8，相应的置换为（设卡片只能旋转，不能翻转）

1 2 3 4 5

6

7

8

图6.2.1 卡片染色 ()()()8211 =p ，

()()()()4536271812345678876543212=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=p

由P ólya 定理知，不同的染色方法数为

1L ＝

()

136222

148

=+ 若卡片还能翻转，但同一个格子对应的正反面要求同色，则除了上述两个置换外，还有沿着横、竖两个对称轴翻转的置换

()()()()

46352817p 3=，

()()()()78563412p 4=

从而可知不同的染色方法数为

2L ＝()

3224

1

48⨯+＝76

若同一个格子对应的正反面不要求同色，且卡片既能旋转，又能翻转，则相应的置换为

()()()()()()H B A p 8211=，()()()()()()()()DE CF BG AH p 453627182=，

()()()()()()()()B A D C F E H G p 876543213=，

()()()()()()()()

G H E F C D A B p 876543214=

其中A ，B ，…，H 是卡片的背面分别依序与1，2，…，8对应的格子。那么，此时的染色方法数为

3L ＝

()

3224

1816

⨯+＝16 576

2. 正五角星的五个顶点各镶

嵌一个宝石，若有m 种颜色的宝石可供选择，问可以有多少种方案？

（解）设正五角星的5个顶点

分别依次为1,2,…,5，因正五角

星是可以翻转的，故相应于正五角星的五个顶点的变换有两类，第一类是绕其几何中心的5个平面旋转变换i p （即旋转72×i 度），第二类是以某个顶点与其几何中心的连线为轴的翻转变换，对应的10个置换是

()()()()()

54321p 1=，

()12345p 2=，()13524p 3=，()14253p 4=，()54321p 5=

()()()

34251q 1=，

()()()452131=q ，()()()32415q 1=，()()()43512q 1=，()()()52314q 1=

由P ólya 定理，不同的镶嵌方案数为

L ＝

()

355410

1

m m m ++ 3. 有一个正方形木筐，用漆

刷4边。现有三种不同颜色的漆，

可有多少种不同的涂法？

（解）将正方形木筐的4条边

依次记为1，2，3，4（见图6.2.3），

由题意知木筐既可以旋转，又可以

翻转。对应的置换为

绕正方形中心逆时针旋转

90⨯i （3210,,,=i ）的置换

()()()()43211=q ，()12342=q ，()()24133=q ，()43214=q

以1-3、2-4两组对边的中心的连线为轴的翻转

()()()32415=q ，()()()42136=q

以A-C 、B-D 两组对角线为轴的翻转

()()23147=q ，()()34128=q

A 1 B

4 2

D 3 C

图6.2.3 木筐染色 由P ólya 定理知，不同涂法总数为

L ＝()

32333238

1

234⨯+⨯+⨯+＝

21

第四章

4.某人参加一种会议，会上有6位朋友，他和其中每一人在会上各相遇12次，每二人各相遇6次，每三人各相遇4次，每四人各相遇3次，每五人各相遇2次，与六人都相遇1次，一人也没遇见的有5次，问该人共参加几次会议？

（解）设S 为该人参加的所有

会议组成的集合。

i A 为他遇见第i 个朋友的所有会议构成的S 的子

集，则由题意知公共数

121==i A R ， 6

2==j i A A R ，

43==k j i A A A R ,

3

4==l k j i A A A A R

，

25==m l k j i A A A A A R ，

16543216==A A A A A A R ，

61≤<<<<≤m l k j i ，

6

54321A A A A A A +++++＝654321A A A A A A ⋅⋅⋅⋅⋅＝5。 由容斥原理

6

54321A A A A A A +++++ ＝

()()i i i R

i R R R ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=⎪⎪⎭⎫

⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=∑6166126161616521

＝1662563464366261216⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⨯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛

＝28

所以，该人参加的会议次数为

S

＝6

54321A A A A A A +++++＋

654321A A A A A A +++++

＝28＋5

＝33

5.n 位的四进制数中，数字1，2，3各自至少出现一次的数有多少个？

（解）设不含数字i 的四进制数组成的的集合为i A ()321,,=i ，则公共数

n

R 40=，n

i A R 31==，

n j i A A R 22==，

13213==A A A R

由逐步淘汰原理（4.1.2）知

所求的四进制数的个数为

[]0N ＝321A A A ⋅⋅＝

3210332313R R R R ⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-＝123341-⋅+-+n n n

6.某照相馆给n 个人分别照相后，

装入每人的纸袋里，问出现以下情况有多少种可能：

（1） 没有任何一个人得到自己的相片；

（2） 至少有一人得到自己的

相片；

（3） 至少有两人得到自己的相片。 （解）以任一装法为元素构成的集合记为S ，则!n S =。设i A 是

第i 个人的相片装对了纸袋的所

有装法组成的集合。则公共数

k R ＝k i i i A A A 21＝)!(k n - （1）设所求为 1L ，则由问题的性质知这是一个错排问题，故

1L ＝[]0N ＝n D ，即

1L ＝()⎪⎭⎫

⎝⎛-+-+-!!

!!n n n 1121111

（2）方法一 设所求为 2L ，由对称公式（4.1.1＇）知所求为

2

L ＝n

A A A +++ 21＝

()n n R n n R n R n ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-121121

＝

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-+--!!!!!n n n 113121111 方法二 问题（1）和（2）所对应的装法构成的集合是互为对立的，故

2L ＝1L S -＝

()⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-+--!!!!!n n n 113121111 （3）设所求为 3L ，由保位问题知恰有一人得到自己相片的不