通信原理第6版第二章习题及答案
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第二章
2-1 试证明图P2-1中周期性信号可以展开为 （图略）
4
(1)()c o s (21)
21
n
n s t n t n ππ
∞
=-=
++∑
证明：因为
()()s t s t -= 所以
22()cos
cos
cos 2
k
k
k
k k k kt kt s t c
c
c
kt T πππ∞
∞
∞
====
=
=
∑∑∑
10
1
()00
s t d t c -=⇒
=⎰
11
11
2
2
111
1
2
2
4()cos ()cos cos sin
2
k k c s t k tdt k tdt k tdt k πππππ
----=
=-++
=
⎰⎰
⎰⎰
0,24(1)21(21)n
k n k n n π=⎧
⎪=⎨-=+⎪+⎩
所以
4
(1)
()cos(21)21
n
n s t n t n ππ
∞
=-=
++∑
2-2设一个信号()s t 可以表示成 ()2c o s (2)s t t t πθ
=+-∞<<∞
试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。 解：功率信号。
2
22
()cos(2)sin (1)sin (1)[]
2
(1)(1)j ft
j j s f t e
dt
f f e
e
f f τπττ
θ
θ
πθτπτ
πτ
πτ
πτ
--
-=
+-+=
+-+⎰ 2
1
()lim
P f s τ
ττ
→∞
=
2
2
2
2
2
222
22
sin (1)sin (1)sin (1)sin (1)lim
2
cos 24(1)(1)(1)(1)f f f f f f f f ττπτ
πτ
πτπτ
θπτ
πτ
πτ
→∞
-+-+=+
+-+-+
由公式
2
2
sin lim
()t xt
x tx
δπ→∞
= 和 s i n l i m
()t xt
x x
δπ→∞= 有
()[(1)][(1)]
44
1[(1)(1)]
4
P f f f f f π
π
δπδπδδ=
-+
+=
++-
或者
001()[()()]4
P f f f f f δδ=
-++
2-3 设有一信号如下： 2e x p ()
()0
t t x t t -≥⎧=⎨
<⎩
试问它是功率信号还是能量信号，并求出其功率谱密度或能量谱密度。
解：
2
20
()42t
x t dx e
dt ∞∞
--∞
==⎰
⎰
是能量信号。
2(12)0
()()22
12j ft
j f t
S f x t e
dt
e dt j f
πππ∞-∞
∞
--=
==
-⎰
⎰
2
2
2
24()1214G f j f
f
ππ=
=
-+
2-4 试问下列函数中哪一些满足功率谱密度的性质：
（1）2
()cos 2f f δπ+ （2）()a f a δ+- （3）exp()a f - 解：
功率谱密度()P f 满足条件：()P f df ∞-∞
⎰为有限值
（3）满足功率谱密度条件，（1）和（2）不满足。
2-5 试求出()cos s t A t ω=的自相关函数，并从其自相关函数求出其功率。 解：该信号是功率信号，自相关函数为
2
222
1()l i m c o s c o s ()
c o s 2
T T T R A t t T
A
τωωτωτ
-→∞=⋅+=⎰
2
1(0)2P R A ==
2-6 设信号()s t 的傅里叶变换为()sin S f f f ππ=，试求此信号的自相关函数()s R τ。 解：
22
222
()()sin 1,11
j f s j f R P f e
df f
e
df f
πτ
πτ
τππττ∞-∞
∞-∞
=
==--<<⎰
⎰
2-7 已知一信号()s t 的自相关函数为
()2k s k R e
τ
τ-=
， k 为常数
（1）试求其功率谱密度()s P f 和功率P ； （2）试画出()s R τ和()s P f 的曲线。 解：（1）
20(2)(2)0
22
2
2
()()2
2
4j f s s k j f k j f P f R e
d k
k
e d e
d k
k f
πτ
πτ
πτ
ττττπ∞--∞
∞
-+--∞
=
=+
=+⎰
⎰⎰
2
2
2
2
42
k
P d f
k f
k π∞-∞
=
+=
⎰
（2）略