3.4基本不等式(1)

解二：设AB=x ，BC=24－2x ，
矩形花园的面积为x(24－2x) m2
x(24 2 x) 1 2 ≤ 1 2 ( 2 x 24 2 x 2 ) 72
2
2 x(24 2 x)
当且仅当2x=24－2x,即x=6时，等号成立 因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
2
只要证
只要证
(1)
显然, (1)是成立的.当且仅当a=b时, ③中的等号成立.
a b 2 ≥ ab
思考：证明不等式：
证明二：
ab 2 ( a
a b 2
≥
ab
(a 0, b 0)
ab b)
2
a b 2 ab 2 0
2 ab 2 ab
基本不等式
2 2
即： a b≥ 2 a b 即：
ab 2 ≥ ab
(a>0, b>0)
思考：证明不等式：
证明一：要证 只要证
ab 2
a b 2
≥
ab
(a 0, b 0)
≥ ab
2 ab a b≥ _______ 2 ab a b _____ ≥0
(___ ___) ≥0 a b
当且仅当
即 xy ≤ 72
时，等号成立
x 2 y 24 x 12 ，即 x 2y y6
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
例3. 如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠 墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
解：如图，设BC=x ，CD=y ，
B 则 2(x + y)= 36 , x + y =18 若x、y皆为正数， 矩形菜园的面积为xy m2 则当x+y的值是常数S时， x y 18 xy ≤ 9 当且仅当x=y时， 得 xy ≤ 81
S xy有最大值_______； y 9 时， 当且仅当 即x 4 x y.
求最值时注意把握 “一正，二定，三相等”
作 业
课本P100 习题3.4 A组 第2、3题
2
y
x
C

2
2 x y 1 81 ,
等号成立
xy ≤ xy≤ S 因此，这个矩形的长、宽都为9m时， 4 2 2 菜园面积最大，最大面积是81m2
2
x y
S
1
已知 x, y 都是正数, P, S 是常数.
(1) xy=P x+y≥ 2
P
(当且仅当 x=y 时, 取“=”号).
等号成立
x y 2 P y 10 x+y有最小值_______.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时， x y≥2 xy 2 P 所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
例2：如图,用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园， 问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大， 最大面积是多少？ A D
2 2
当x=6时，函数y取得最小值为72
因此，这个矩形的长为12m、宽为6m时， 花园面积最大，最大面积是72m2
练习： 4.已知 x>0,y>0,且 xy=1,求 x+2y 的最小值。
解：x 2y 2 2 xy 2 2, y 2, 2 2 (当 且 仅 当

x2 y, xy 1 .
2
2.把 36 写成两个正数的积，当这两个正数取什么值时，它们的和最小？ 解:设这两个正数为x、y，则xy=36. ∴x+y 2 xy =12, (当且仅当 xy y3. 6 , 即 x y 6 x 时，“=”成立. ∴这两个数的积的最大值为12。
1
3.已知 a2+b2=1,则 ab 的最大值为
a b 2ab
当且仅当a=b时，等号成立。
思考：你能给出不等式 a b ≥2ab
2 2
2 2
的证明吗？
2
证明：（作差法） a b 2 ab ( a b )
当 a b时
当 a b时
2
(a b)
(a b)
2
0
0
2
(a b) ≥0
a b ≥ 2 ab .
例3. 如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边靠 墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
解三：设AB=x ，BC=24－2x ，
矩形花园的面积为x(24－2x) m2
令y x(24 2 x)
则y 24 x 2 x 2( x 6) 72 (0 x 12)
b
G F C H E
a b 面积S=＿＿＿＿＿
2
2
２、四个直角三角形的
2 ab 面积和S’ = ＿＿
A
a
３、S与S’有什么
B
样的不等关系？ S > S’
问：那么它们有相等的情况吗？
D
a b
2 2
D
b G A H
F
E
a a C A E(FGH) b C
B
B
重要不等式： 一般地，对于任意实数a、b，我们有 2 2
2
。
例3. 如图，用一段长为24m 的篱笆围一个一边 靠墙的矩形花园，问这个矩形的长、宽各为多少时， 花园的面积最大，最大面积是多少？
解一：如图，设BC=x ，CD=y ，
则篱笆的长为 x +2y= 24 矩形花园的面积为xy
x 2y 2 ≥
A
D
y
m2
≥ 2 xy 2
B
x
C
2xy

24
得 144≥2xy
(1)a , b R,那么a b ≥2ab ,当且仅当a b时,等号成立
2 2
(2) ab≤
ab 2
(a >0,b>0)，当且仅当a b时，等号成立。
小结：
3. 利用基本不等式求最值 已知 x, y 都是正数, P, S 是常数. (1) xy=P x+y≥ 2 P (当且仅当 x=y 时, 取“=”号). (2) x+y=S xy≤ 1 S2(当且仅当 x=y 时, 取 4 “=”号).
特别地，若a>0，b>0，则 通常我们把上式写作： ab≤
≥ a b _____ 2 ab
ab 2 (a 0, b 0)
当且仅当a=b时取等号，这个不等式就叫做基本不等式.
适用范围： a>0,b>0
ab 在数学中，我们把 叫做正数a，b的算术平均数， 2 ab 叫做正数a，b的几何平均数；
解：如图设BC=x ，CD=y ，
则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m. x 若x、y皆为正数， y
≥ xy 2
y
B
x
C

x y≥2 100 20,
则当xy的值是常数P时， 2( x y)≥40 当且仅当x=y时， 当且仅当 xy 100，即 x 10 时，
a b
18 3 3. 已知 x≠0，当 x=_____时，x2＋ 的值最小，最小值是________
81 x
2
4.若 x<0，则 x＋ 5.求 y x
1
1 x

-2 （填 < 或
或
或>）
x 1
( x 1) 的最小值。
解：„„„„„最小值为3
小结：
数形结合 的 1.两个不等式的几何解释体现 数学思想。 2. 两个不等式
这是2002年在北京召开的第24届国际数 学家大会会标．会标是根据中国古代数学家赵 爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去象一 个风车，代表中国人民热情好客。
观察：这个会标中含 有怎样的几何图形？ 寻找：你能否在这个 图案中找出一些相等 关系或不等关系？
D
探究１：
1、正方形ABCD的
a b
2
2
①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD?
ab OD=______ 2
D
A
a OC b B
E
ab CD=______
③OD与CD的大小关系怎样?
ab ≥ ab 2
≥ OD_____CD ＞
几何意义：半径不小于弦长的一半
例1：如图,用篱笆围成一个面积为100m2 的矩形菜 园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短， A D 最短的篱笆是多少？
即 x=
时 ,等 号 成 立 .）
x+2y的 最 小 值 为 2 2.
三、达标检测 1.已知 x 0，若 x＋ 的值最小，则 x 为（ B ）.
x 81
A． 81 B． 9 C． 3 D．16 2. 若实数 a，b，满足 a b 2 ，则 3 3 的最小值是（ B ）. A．18 B．6 C． 2 3 D． 3 2
D
A
a O_
所以 BC DC DC AC
Rt△ACD∽Rt△DCB，
所以DC BC AC ab
2
你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗? 探究2： 如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
(2) x+y=S xy≤ 1 S2 (当且仅当 x=y 时, 取“=”号). 4
利用基本不等式求最值时，要注意 ①各项皆为正数； ②和或积为定值； ③注意等号成立的条件.
一“正” 二“定” 三“相等”
练习： 1.用 20cm 长铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？ 解:设矩形的长为xcm,则宽为(10-x)cm，矩形的面 x 10 x ( ) =25,(当且仅当x=10-x 积S=x(10-x) 2 即x=5时，“=”成立. ∴矩形的长为5cm,宽为5cm，矩形的面积最大。
2 2
结论：一般地，对于任意实数a、b，总有
a b ≥2ab
2 2
当且仅当a=b时，等号成立 适用范围： a,b∈R 文字叙述为:
两数的平方和不小于它们积的2倍.
思考： 如果a 0, b 0, 用
2 2
a , b分别代替a, b,
则不等式a b 2ab可化为？
替换后得到： ( a ) ( b ) ≥ 2 a b
文字叙述为： 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.
探究2：你能用这个图得出基本不等式的几何解释吗?
如图, AB是圆的直径, O为圆心， 点C是AB上一点, AC=a, BC=b. 过点C作垂直于AB的弦DE,连接 AD、BD、OD.
①如何用a, b表示OD? ②如何用a, b表示CD?
ab OD=______ 2