等差数列的前n项和及其性质教案

5、等差数列的前n 项和
等差数列的前n 项和公式
(1)等差数列的前n 项和公式 已知量
首项、末项与项数 首项、公差与项数 求和公式 S n ＝n (a 1＋a n )2 S n ＝na 1＋n (n －1)2
d (2)等差数列的前n 将等差数列前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 整理成关于n 的函数可得S n ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n . [基础自测]
1．判断正误
(1)公差为零的等差数列不能应用等差数列前n 项和公式求和．( )
(2)数列{n 2}可以用等差数列的前n 项和公式求其前n 项和．( )
(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n ＋1，则数列{a n }一定不是等差数列．( )
[解析] (1)不正确，不管公差是不是零，都可应用公式求和；(2)不正确，因为数列{n 2}不是等差数列，故不能用等差数列的前n 项和公式求和；(3)正确．
[答案] (1)× (2)× (3)√
2．已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d ＝－2，则前n 项和S 10＝( )
A ．－20
B ．－40
C ．－60
D ．－80
D [由等差数列前n 项和公式，S 10＝10×1＋12
×10×9×(－2)＝－80.] 3．已知等差数列{a n }中，a 1＝2，a 17＝8，则S 17＝________.
[解析] S 17＝12
×17×(2＋8)＝85. [答案] 85
4．已知等差数列{a n }中，a 1＝1，S 8＝64，则d ＝________.
[解析] S 8＝8×1＋12
×8×7×d ＝64，解得d ＝2. [答案] 2
5．(2017·全国卷Ⅲ)等差数列{a n }的首项为1，公差不为0.若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{a n }前6项的和为( )
A ．－24
B ．－3
C ．3
D ．8
解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，
因为a 2，a 3，a 6成等比数列，所以a 2a 6＝a 23，
即(a 1＋d )(a 1＋5d )＝(a 1＋2d )2.
又a 1＝1，所以d 2＋2d ＝0.
又d ≠0，则d ＝－2，
所以{a n }前6项的和S 6＝6×1＋6×52
×(－2)＝－24. 6．在等差数列{a n }中，a n >0，a 7＝12
a 4＋4，S n 为数列{a n }的前n 项和，则S 19＝________. 解析：设等差数列{a n }的公差为d ，由a 7＝12a 4＋4，得a 1＋6d ＝12
(a 1＋3d )＋4，即a 1＋9d ＝8，所以a 10＝8，因此S 19＝19(a 1＋a 19)2
＝19×a 10＝19×8＝152. 答案：152
7．(2018·兰州诊断考试)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1＝2，a 8＋a 10＝28，则S 9＝( )
A ．36
B ．72
C ．144
D ．288
解析：选B 法一：∵a 8＋a 10＝2a 1＋16d ＝28，a 1＝2，
∴d ＝32，∴S 9＝9×2＋9×82×32
＝72. 法二：∵a 8＋a 10＝2a 9＝28，∴a 9＝14，
∴S 9＝9(a 1＋a 9)2
＝72. 8．(2018·安徽两校阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是( )
A ．20
B ．36
C ．24
D ．72
解析：选C 由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，
得⎩⎪⎨⎪⎧ 4a 1＋4d ＝4，6a 1＋12d ＝12，解得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝0，d ＝1， ∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.
9．(2016·北京高考)已知{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和．若a 1＝6，a 3＋a 5＝0，则S 6＝________.
解析：∵a 3＋a 5＝2a 4，∴a 4＝0.
∵a 1＝6，a 4＝a 1＋3d ，∴d ＝－2.
∴S 6＝6a 1＋6×(6－1)2
d ＝6×6－30＝6. 答案：6
题型一 与S n 有关的基本量的运算
例1 已知等差数列{a n }中，
(1)a 1＝32，d ＝－12
，S n ＝－15，求n 和a 12； (2)a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求公差d ；
(3)a 1＝6，a 3＋a 5＝0，求S 6.
[解] (1)因为S n ＝n ·32＋n (n －1)2
·⎝⎛⎭⎫－12＝－15， 整理得n 2－7n －60＝0.
解得n ＝12或n ＝－5(舍去)．
所以a 12＝32
＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1－512)2
＝－1 022， 解得n ＝4.
又由a n ＝a 1＋(n －1)d ，
即－512＝1＋(4－1)d ，解得d ＝－171.
(3)由a 3＋a 5＝2a 4＝0，得a 4＝0，a 4－a 1＝3d ＝－6，d ＝－2.
故S 6＝6a 1＋15d ＝6×6＋15×(－2)＝6.
[规律方法] 等差数列中基本量计算的两个技巧：
(1)利用基本量求值.等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题.解题时注意整体代换的思想.
(2)利用等差数列的性质解题.等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N ＋)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，
常与求和公式S n ＝
n a 1＋a n 2
结合使用. [跟踪训练]
1．等差数列中：
(1)a 1＝105，a n ＝994，d ＝7，求S n ；
(2)a n ＝8n ＋2，d ＝5，求S 20；
(3)d ＝13
，n ＝37，S n ＝629，求a 1及a n . [解] (1)由a n ＝a 1＋(n －1)d 且a 1＝105，d ＝7，
得994＝105＋(n －1)×7，解得n ＝128，
∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝128×(105＋994)2
＝70 336.
(2)∵a n ＝8n ＋2，∴a 1＝10，又d ＝5，
∴S 20＝20a 1＋20×(20－1)2
×5＝20×10＋10×19×5＝1 150. (3)将d ＝13
，n ＝37，S n ＝629代入a n ＝a 1＋(n －1)d ， S n ＝n (a 1＋a n )2，得⎩⎨⎧ a n ＝a 1＋12，37·(a 1＋a n )2
＝629，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝11，a n ＝23. 题型二 等差数列前n 项和的性质
例2 在等差数列{a n }中.
(1)a 4＝2，求S 7；
(2)S 5＝3，S 10＝7，求S 15；
(3)S 10＝100，S 100＝10，求S 110.
[思路探究] (1)利用a 1＋a 7＝2a 4；(2)根据S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列求S 15；(3)根据所给条件列出关于a 1和d 的方程组，求出a 1和d 可得S 110，也可利用S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 110－S 100成等差数列求解．
[解] (1)S 7＝12×7×(a 1＋a 7)＝12
×7×2a 4＝7a 4＝7×2＝14. (2)数列S 5，S 10－S 5，S 15－S 10成等差数列，即3,7－3，S 15－7成等差数列，所以2×(7－3)＝3＋S 15－7，解得S 15＝12.
(3)法一：设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则
S n ＝na 1＋n (n －1)2
d . 由已知得⎩⎨⎧ 10a 1＋10
×92d ＝100， ①100a 1＋100×992d ＝10， ②
①×10－②，整理得d ＝－1150
， 代入①，得a 1＝1 099100.所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝⎛⎭⎫－1150＝110⎝ ⎛⎭
⎪⎫1 099－109×11100＝－110.
故此数列的前110项之和为－110.
法二：数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设其公差为D ，前10项和10S 10＋10×92
×D ＝S 100＝10⇒D ＝－22，
所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)D ＝100＋10×(－22)
＝－120.
所以S 110＝－120＋S 100＝－110.
[规律方法] 巧妙应用等差数列前n 项和的性质
(1)“片段和”性质.
若{a n }为等差数列，前n 项和为S n ，则S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…构成公差为n 2d 的等差数列.
(2)项数(下标)的“等和”性质.
S n ＝n a 1＋a n 2＝n a m ＋a n －m ＋12
. (3)项的个数的“奇偶”性质.{a n }为等差数列，公差为d .
①若共有2n 项，则S 2n ＝n (a n ＋a n ＋1)； S 偶－S 奇＝nd ；S 偶S 奇＝a n ＋1a n
. ②若共有2n ＋1项，则S 2n ＋1＝(2n ＋1)a n ＋1；S 偶－S 奇＝－a n ＋1；S 偶S 奇＝n n ＋1
. [跟踪训练]
3．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，已知S n T n ＝7n ＋2n ＋3，求a 5b 5
的值． [解] a 5b 5＝2a 52b 5＝9(a 1＋a 9)9(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝7×9＋29＋3
＝6512.
题型三 等差数列前n 项和的最值
[探究问题]
1．(1)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－4n ，求S n 的最小值；
(2)等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－3n ，求S n 的最小值．
[提示] (1)S n ＝n 2－4n ＝(n －2)2－4，所以当n ＝2时，S n 的最小值为－4.
(2)S n ＝n 2－3n ＝⎝⎛⎭⎫n －322
－94
，因为n ∈N ＋，所以当n ＝2或n ＝1时，S n 的最小值为S 2＝S 1＝－2. 2．(1)在等差数列{a n }中，若a 5＞0，a 6＜0，则其前多少项的和最大？
(2)在等差数列{a n }中，若a 5＜0，a 6＝0，其前n 项和有最大值还是有最小值？并表示出这个最大值或最小值．
[提示] (1)前5项的和S 5最大．
(2)因为a 5＜0，a 6＝0，故其公差d ＞0，所以前n 项和有最小值，其最小值为S 5＝S 6.
3．在等差数列{a n }中，若d ＜0，S 10＝0，则其前多少项的和最大？
[提示] S 10＝12
×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝0，故a 1＋a 10＝a 5＋a 6＝0，因为d ＜0，所以a 5＞0，a 6＜0，
所以S 5最大．
例3 在等差数列{a n }中，a 10＝18，前5项的和S 5＝－15.
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)求数列{a n }的前n 项和的最小值，并指出何时取最小值．
[解] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋9d ＝18，
5a 1＋5×42×d ＝－15，
得a 1＝－9，d ＝3，∴a n ＝3n －12.
(2)法一：S n ＝n (a 1＋a n )2＝12
(3n 2－21n ) ＝32⎝⎛⎭⎫n －722－1478
， ∴当n ＝3或4时，
前n 项的和取得最小值S 3＝S 4＝－18. 法二：设S n 最小，则⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤0，a n ＋1≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧
3n －12≤0，
3(n ＋1)－12≥0，
解得3≤n ≤4， 又n ∈N ＋，∴当n ＝3或4时，前n 项和的最小值S 3＝S 4＝－18.
母题探究：1.(变条件)把例4中的条件“S 15＝－15”改为“S 5＝125”，其余不变，则数列{a n }的前n 项和有最大值还是有最小值？并求出这个最大值或最小值．
[解] S 5＝12×5×(a 1＋a 5)＝12
×5×2a 3＝5a 3＝125，故a 3＝25，a 10－a 3＝7d ，即d ＝－1＜0，故S n 有最大值， a n ＝a 3＋(n －3)d ＝28－n . 设S n 最大，则⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≥0，a n ＋1≤0，
解得27≤n ≤28，即S 27和S 28最大，又a 1＝27，故S 27＝S 28＝378. 母题探究：2.(变结论)在例4中，根据第(2)题的结果，若S n ＝0，求n .
[解] 法一：因为S 3＝S 4＝－18为S n 的最小值，由二次函数的图像可知，其对称轴为x ＝72
，所以当x ＝0或x ＝7时，图像与x 轴的交点为(0,0)，(7,0)，又n ∈N ＋，所以S 7＝0，所以n ＝7.
法二：因为S 3＝S 4，所以a 4＝S 4－S 3＝0，故S 7＝12
×7×(a 1＋a 7)＝7a 4＝0，所以n ＝7. [跟踪训练]
1．在等差数列{a n }中，a 1＝29，S 10＝S 20，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为( )
A ．S 15
B ．S 16
C ．S 15或S 16
D ．S 17
解析：选A ∵a 1＝29，S 10＝S 20，
∴10a 1＋10×92d ＝20a 1＋20×192
d ，解得d ＝－2， ∴S n ＝29n ＋n (n －1)2
×(－2)＝－n 2＋30n ＝－(n －15)2＋225. ∴当n ＝15时，S n 取得最大值．
2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1>0，a 3＋a 10>0，a 6a 7<0，则满足S n >0的最大自然数n 的值为( )
A ．6
B ．7
C ．12
D ．13
解析：选C 因为a 1>0，a 6a 7<0，所以a 6>0，a 7<0，等差数列的公差小于零，又a 3＋a 10＝a 1＋a 12>0，a 1＋a 13＝2a 7<0，所以S 12>0，S 13<0，所以满足S n >0的最大自然数n 的值为12.
[规律方法] 等差数列前n 项和的最值问题的三种解法
(1)利用a n ：当a 1＞0，d ＜0时，前n 项和有最大值，可由a n ≥0且a n ＋1≤0，求得n 的值；当a 1＜0，d ＞0，前n 项和有最小值，可由a n ≤0且a n ＋1≥0，求得n 的值.
(2)利用S n ：由S n ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n (d ≠0)，利用二次函数配方法求取得最值时n 的值. (3)利用二次函数的图像的对称性.
[达标训练]
1．在等差数列{a n }中，若S 10＝120，则a 1＋a 10的值是( )
A ．12
B ．24
C ．36
D ．48
B [S 10＝12
×10×(a 1＋a 10)＝5(a 1＋a 10)＝120，故a 1＋a 10＝24.] 2．记等差数列的前n 项和为S n ，若S 2＝4，S 4＝20，则该数列的公差d 等于( )
A ．2
B ．3
C ．6
D ．7
B [S 2＝a 1＋a 2＝4，S 4－S 2＝a 3＋a 4＝20－4，故a 3＋a 4＝16.
∴(a 3＋a 4)－(a 1＋a 2)＝4d ＝12，∴d ＝3.]
3．若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( )
A ．12
B ．13
C ．14
D ．15
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，
由S 5＝5(a 2＋a 4)2，得5(3＋a 4)2
＝25，解得a 4＝7， 所以7＝3＋2d ，解得d ＝2，所以a 7＝a 4＋3d ＝7＋3×2＝13.
4．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )
A ．1
B ．2
C ．4
D ．8
解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，
则由⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＋a 5＝24，S 6＝48，得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，6a 1＋6×52d ＝48，
即⎩
⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，解得d ＝4. 5．(2018·陕西质检)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)且a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( )
A ．13
B ．49
C ．35
D ．63 解析：选B 由S n ＝an 2＋bn (a ，b ∈R)可知数列{a n }是等差数列，所以S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49. 6．(2018·湖南五市十校联考)已知S n 是数列{a n }的前n 项和，且S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，a 4＋a 5＝23，则S 8＝( )
A ．72
B ．88
C ．92
D ．98
解析：选C 法一：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，又a 4＋a 5
＝23＝2a 1＋7d ＝2a 1＋21，∴a 1＝1，S 8＝8a 1＋8×72
d ＝92. 法二：由S n ＋1＝S n ＋a n ＋3，得a n ＋1－a n ＝3，故数列{a n }是公差为3的等差数列，S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(a 4＋a 5)2
＝92.
7．若等差数列{a n }的前17项和S 17＝51，则a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝________.
解析：因为S 17＝a 1＋a 172
×17＝17a 9＝51，所以a 9＝3. 根据等差数列的性质知a 5＋a 13＝a 7＋a 11，
所以a 5－a 7＋a 9－a 11＋a 13＝a 9＝3.
答案：3
8．在等差数列{a n }中，公差d ＝12
，前100项的和S 100＝45，则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝________. 解析：因为S 100＝1002(a 1＋a 100)＝45，所以a 1＋a 100＝910
， a 1＋a 99＝a 1＋a 100－d ＝25
，
则a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 99＝502(a 1＋a 99)＝502×25
＝10. 答案：10
9．等差数列{a n }中，a n ＝2n －1，则前n 项和S n ＝________.
[解析] 由已知得a 1＝1，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (1＋2n －1)2
＝n 2. [答案] n 2
10．等差数列{a n }的通项公式为a n ＝21－2n ，则当其前n 项和S n 取最大值时n 的值为________．
[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0得⎩⎪⎨⎪⎧
21－2n ≥0，21－2(n ＋1)≤0，
解得192≤n ≤212， 又n ∈N ＋，故n ＝10.
[答案] 10
11．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若a 12＝－8，S 9＝－9，则S 16＝________.
解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 由已知，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 12＝a 1＋11d ＝－8，
S 9＝9a 1＋9×82d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝3，d ＝－1. ∴S 16＝16×3＋16×152
×(－1)＝－72. 答案：－72
12．在各项均为正数的等差数列{a n }中，已知公差d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .
[解] 由题意得
⎩
⎪⎨⎪⎧ a n ＝a 1＋2(n －1)＝11，
S n ＝na 1＋n (n －1)＝35， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝3，n ＝5或⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，n ＝7(舍去)．故⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝3，n ＝5.。