二项式定理优质课

baaa abaa aaba aaab
1个 a， 3个 b， ab 3
0个 a， 4个b，b 4
第一章 计数原理
探究发现
3 2 的展开式写成类似的形式吗？ 问题3:你能将(a+b)1
(a b) C a C b
1
0 1
1 1
1 2 2 C C ab (a b) C a 2 2b
k n
n k
b
k
(1 x ) ?
第一章 计数原理
实战演练
1 6 例1、求(2 x ) 的展开式. x
解: (2 x
3 6
第三项的二项式系数
1
1 1 2 1 5 2 4 )6 C60 (2 x )6 C6 (2 x ) ( ) C6 (2 x ) ( ) x x x
2 3
0 2
2
(a b) C a C a b C ab C b
0 3
3
1 2 3
2 3
2
3 3 3
(a b) C a C a b C a b C ab C b
4
0 4
4
1 3 4
2 2 2 4
3 4
3
4 4
4
问题4:你能猜想(a+b)n的展开式吗？
(a b)
an-kbk是从n个(a+b)中取k个b,
有C
n
n-k个a 相乘得到的,
k 计数原理 n .
?
k 种情况可以得到 n-k k n
a b
, 因此, 该项的系数为 第一章 C
二项式定理
0 n 1 n1 k n k k n n (a b)n Cn a Cn a b Cn a b Cn b (n N * )
n 0 n n
1 n
1 n1 n
2 n
r n r r n
n n n
剖 析
n
1.二项式系数规律：
0 n
C 、C 、C 、 、C
2.指数规律： （1）各项的次数均为n； （2）二项展开式中a的次数由n降到0， b的次数由0升到n. 3.项数规律： 二项展开式共有n+1个项 4.
n n
通项公式 Tk 1 C a
B. 5 = a
C.
D.1
a 8 3.已知 ( x x ) 的展开式中常数项为1120，其
是常数，则 a
2 _______
第一章
计数原理
1 9 3 练习4：求（x ) 的展开式中x 的系数， x 展开式中的常数项。
2
第一章
计数原理
这节课我们学到了哪些知识点？
二项展开式、二项式定理及相关概念
使用了什么数学思想方法？
从特殊到一般，归纳猜想的数学思想
类比
第一章 计数原理
1）区别二项式系数，项的系数 2）掌握用通项公式求二项式系数，项的系数及项
0 n 1 n1 2 n 2 2 (a b) C n a C na b C n a b
n
①项数：共n+1项
(a b) 的展开式通项T k 1 C a
第一章 计数原理
1 3 (2)：求 x 的展开式中x 的系数。 x 解：展开式的通项是
9
Tr 1 C x
r 9
3
9 r
r 1 r 9 2 r 1 . C9 x x
r
根据题意，得 9 – 2r = 3
3

r=3
3 因此，x 的系数是 1 C9 84
二项式定理
路漫漫其修远兮 吾将上下而求索
学习目标
1：知道二项式定理推导过程。 2：会写出二项式定理展开式。 3：会写出二项展开式的某一项。
第一章
计数原理
情景引入
1664年冬，牛顿研读沃利斯博士的《无穷算术》。牛顿思考？
(a b) ? a 2ab b
2
2
2
(a b) ? (a b) (a b) a 3a b 3ab b
3 2 3 2 2
3
( a b) ?
n
思考：快速展开(a b) 要解决哪些问题？
n
（1）展开后有多少项
（2）各个单项式的形式
（3）各个单项式的系数
第一章 计数原理
体验感知
2 的展开式并思考： ■请你观察 (a+b)3 ①这四种形式的项是如何得到的 ? ①含a2、ab、b2这三种形式的项是如何得到的 ? ②各项的系数是如何确定的？
注意：展开式中第 r + 1 项的二项式 系数 与第 r + 1项的系数不同。
第一章 计数原理
课堂检测：
1. ( x 1) 的展开式的第6项的系数（
10
A.
C
6 10
B.
C
6 10
C.
C
5 10
D.
C
） D
5 10
x 5 2. (1 ) 的展开式中 2
x
2
的系数为（
5 2பைடு நூலகம்
） C
A. 10 中
n
?
第一章
计数原理
探究发现
(binomial theorem)
(a b) C a C a b C a b
n
0 n n 1 n 1 n 2 n 2 2 n
n n C C a b nb k n k k n
证明思路：
(n∈N*)
①为什么每一项都是an-kbk的形式？ 展开式中的每一项都是从 (a+b)n是n个(a+b)相乘， 这n个(a+b)中各任取一个字母相乘得到的， 故每一项都是an-kbk的形式，k=0, 1, …, n; ②为什么含an-kbk的项的系数是 C k ？
右边的多项式叫做 (a b) 的展开式，其中的系 数 C k k 0,1,2,, n 叫做二项式系数。
n
n
式中的 C n a
k
n k
b 叫做二项式通项，用
k
即通项为展开式的第
k项。 1
k n n k
表示， Tk 1
通项公式 Tk 1 C a
b
k
第一章 计数原理
定理 (a b) C a C a b C a b C b
1 x ) C (2 x ) (
3 4 6 2
C (2 x ) (
3
1 x
) C (2 x ) (
4 5 6
1 x
) C (
5 6 6
1 x
)6
60 12 1 64 x 192 x 240 x 160 2 3 x x x
3 2
第三项
2 2 ( a b )( a b ) (a b) a 2ab b
2
a2 ab ba b2
恰有0个取b的情况有 C20种，则a2前的系数为C20 恰有1个取b的情况有C21种，则ab前的系数为C21 恰有2个取b的情况有C22 种，则b2前的系数为C22
(a+b)2 = C20 a2 + C21 ab+ C22 b2 = a2 +2ab+ b2
n
C a
k nk n
b
k
C b
n n n
k nk n
bk的特点：
②指数:a的指数从n逐项递减到0,是降幂排列；
b的指数从0逐项递增到n，是升幂排列。
C 、 C 、 C 、 、 C ③二项式系数规律：
0 n 1 n 2 n
n n
计数原理
第一章
课本31页练习1、 2、3
第一章
计数原理
第一章 计数原理
探究发现
清除 问题:①(a+b)4的展开式中会有哪几种形式的项？ ②(a+b)4的展开式中各项的系数是多少？
(a b) (a b)(a b)(a b)(a b)
4
1
2
3
4
清除
a 4a b 6a b 4ab b
4 3 2 2 3
4
4个 a， 0个b，a 4 3个 a， 1个b，a 3 b 2个 a， 2个 b， a 2b2
第三项的系数
第一章 计数原理
例1：(1)求(1-2x)7的展开式中 , 第四项的 二项式系数和第四项的系数。 解: 在(1-2x)7的展开式中 , 第四项为
T4=C73(-2x)3=-280x3,
第四项的二项式系数是C73=35；
第四项的系数是C73(-2)3=-280 . 注意某项的二项式系数和项的系数的区别。