运用三角函数 解决实际问题

运用三角函数 解决实际问题

河南省滑县留固镇第一初级中学 周**

运用三角函数解决生产生活中的三角形问题是最常见的方法之一．然而把实际问题抽象成三角形后能不能直接运用以及如何选用三角函数，却存在一些方法和技巧．下面我们以实际问题通常可抽象为直角三角形和斜三角形两类加以讨论：

一、解直角三角形 ㈠、有“斜”选“弦” 例1、（2014•广东）如图1，某数学兴趣小组想测量一棵树CD 的高度，他们先在点A 处测得树顶C 的仰角为30°，然后沿AD 方向前行

10m ，到达B 点，在B 处测得树顶C 的仰角高度为

60°（A 、B 、D 三点在同一直线上）．请你根据他们

测量数据计算这棵树CD 的高度（结果精确到

0.1m ）．（参考数据：414.12=，732.13=）

解：如图1所示，︒=∠30A ，︒=∠60CB D ，

∴︒=∠=∠30A ACB ．

∴10AB B C ==．

在BCD Rt ∆中，BC

CD CBD sin =∠， ∴CD =B C CB D sin •∠=1060sin ⨯︒=

1023⨯=1.732×5≈8.7(m). 答：大树CD 的高度是8.7m ．

㈡、无“斜”选“切”

例2、（2014•成都）如图2，在一次数学课外实践活动，小文在点C 处测得树的顶端A 的仰角为37°，BC=20m ，求树的高度AB ．（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）

解：如图2，在R t △ABC 中，︒=∠90B ,

∴BC

AB tan =

∠C . ∴BC C •∠=tan AB ≈0.75×20=15(m). 答：树的高度AB 为15m ．

由例1、例2可见，在解直角三角形时，知道斜边长的

情况下，通常选用正弦或余弦，否则可选用正切．

二、解斜三角形——化“斜”为“直” 例3、（2014•苏州）如图3，港口A 在观测站O 的正东方向，OA=4km ，某船从港口A 出发，沿北偏东15°方向航行一段距离后到达B 处，此时从观测站O 处测得该船位于北偏东60°的方向，则该船航行的距离（即AB 的长）为（ ）

A ．4km

B ．32km

C ．22km Ｄ．()13+ km

分析：如图3，在△AOB 中，OA=4，︒=∠30AOB ，

︒=∠105OAB ，可知︒=∠45B ，在现有条件下，欲求AB

的长 ，利用三角函数我们无从着手，又知︒=∠30AOB ，

︒=∠45B 故需作A D ⊥OB 将△AOB 化成两个直角三角形再

利用特殊角的三角函数值计算即可．

解：如图3，过A 作A D ⊥OB 于D ，

∴∠ADO=∠ADB=90°. 图1. 图2.

图3.

在Rt △AOD 中，︒=∠30AOB ，

∴AD=

OA 2

1=2． 在Rt △ADB 中，︒=∠45B ， ∴2245sin 2sin =︒=∠=B AD AB （km ） 故应选C.

可见，对着特殊角(︒30、︒45、︒60)作斜三角形的高，把它化成含有特殊角的直角三角形，再运用三角函数解直角三角形是解斜三角形的常用方法．

总之，把实际问题抽象成三角形后，我们可以通过有“斜”选“弦”和无“斜”选“切”的方法解直角三角形，或者运用化“斜”为“直”的方法通过解直角三角形来解斜三角形．