第四章 流变学三大方程 超详细
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• 1、应力的表示
• 物体在外力作用会产生流动和变形，但物体同时为 抵抗流动和变形，物体内部产生相应的应力。应力定 义为材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa。
• 2、应力张量
• 考虑流变过程中物体内一点P的应力。在物体内部取 一小封闭曲线s，令P点位于曲面s外表面的面元上， 法线n指向曲线外部。考察封闭曲面s外的物质通过面 元对曲面s内物质的作用力，设面元上的作用力为δF， 则：
e1 e2 e3 ei • Ii：哈密顿算符 x1 x2 x3 xi
• 用于矢量运算时：
i ei 其中，i xi
ij
克罗内克尔符号δ（Kronecker δ）在现代数学和计算机科学中 神通广大，不可不识。初步介绍笛卡儿坐标系中的克罗内克尔 符号。
第四章
基本物理量、流变学基础方程及本构方程
本章主要内容： 4.1 基本物理量 4.2 连续性方程 4.3 动量方程 4.4 能量方程
4.5 本构方程
4.1 基本物理量
• 一、张量分析基础 • 1、张量概念 • • • a、标量：只有大小，如温度、时间 b、矢量：既有大小又有方向，如位移、速度、加 速度、力
• 一些有关矢量的标符和记号
• i：克罗内克尔符号a b (a e i i )(b j e j ) ai b j ei e j
1(i j ) • 引入克罗内克尔符号 ij ei e j 0(i j )
• 有9个分量，
11 12 13 1 0 0 0 1 0 21 22 23 31 32 33 0 0 1
上述的关系式就可以简洁地记为
以克罗内克尔符号的分量为元素，可以构成一个矩阵
显然是一个单位矩阵。即
首先，“▽”这个东西具有“双重性格”，它既是一个矢量，又是 一个微分算子（求导运算），所以哈密顿算符兼具矢量和微分的性 质。 当什么时候它的优势就能表现出来呢？那就是▽后的函数不再是一
个简单的 f 的时候，比如说，是两个标量函数的乘积 fg，那这时就
• 可见，在偏应力张量中，各法向应力分量等于0，只 有一个独立变量——剪切应力分量，所以只需定义 一个函数——粘性函数，就可描述其应力状态。
• 高分子液体是粘弹性流体，既有粘性流动，又有弹性 形变，法向应力分量不再相等，此时：
0 0 11 1 0 0 11 P P. 0 1 0 0 P 0 22 22 0 0 0 0 1 0 0 P 33 33
可以使用▽的微分运算性质了，以梯度运算为例，因为我们不知道 grad的运算法则，所以直接做grad ( fg )是不方便的，但将其表示为 ▽( fg )后，我们利用▽的微分运算性质，就可以很容易的得到▽( fg )=g ▽f + f ▽g ，相当于
直角坐标系 梯度矢量
grad
div
应力σ11的方向和它的法线方向是与主应力方向对应的。与前
述静载情况相反，这里的主应力是不相等的：其中之一等于
σ11，另外两个等于0.
C、应力张量的分解
xx xy xz xx yy zz .. yy yz 3 .. zz .. 2 xx yy zz xy 3 2 yy xx zz yx 3 zx zy 偏应力张量 1 0 0 0 1 0 各向同性张量 0 0 1 xz yz m ij ij 2 zz xx yy 3
• 在P点处，通过P 点的每个方向都 可求出相应的牵 引力。为描述流 体内一点的应力 状态，只需求出 任何过该点的三 个正交独立曲面 上的牵引力即可， σx σy σz 分别作用 在垂直于x、y、z 轴的面上，将它 们分别沿x、y、z 三个方向分解， 共有9个分量，分 布如右图。
• 二、应力及应力张量
同样，y方向的总流体质量为：
v y y dxdydz
z方向的总流体质量为：
vz dxdydz z
这就是单组分在直角坐标系中偏微分形式的连续性方程。 对于任何一种稳定流动，有 0 所以：
vx vy vz 0(4 4) x y z
对于不可压缩流体的稳定流动，有：
• 单位时间内通过面积2流出的质量为：
M 2 vxdx dydz
• 则x方向的总流体质量为：
M1 M 2 (vxdx vx )dydz
将
vxdx 按泰勒级数展开，并略去高阶微量，则有：
vx vx dx vx dx x vx M1 M 2 dxdydz x
如空间坐标中，线段长度用OP表示，方向用箭 头表示，记为 3 a a e a e a e a e 1 1 2 2 3 3 i i OP a i 1 e1e2 e3单位矢量方向，在三个坐标 • a 用分量表示， 轴的数值为a1、a2、a3。
F lim s 0 s
• 为P点处具有法线n的面元上的平均表面牵引力，注 意它与法线方向不重合。
• 用应力张量形式表示为：
xx xy xz yy yz yx zx zy zz
• 其中， 第一个下标表示力的作用面的法线方向，第 二个下标表示力作用的方向，如σxy 表示作用在与x 垂直的平面上的应力分量，方向指向y。当i=j时，表 示应力方向与外法线方向相同，称为应力张量的法 向分量， σxx σyy σzz 分别垂直于与x、y、z垂直的平 面上。当i≠j时，表示应力分量作用在相应面的切线 方向上，称为剪切分量，如σxy σyz σzx。
指标记号
i ei xi vi xi
1
e1 2 e2 3 e3 x1 x2 x3
散度
旋度
v1 v2 v3 x1 x2 x3
e1 x1 a1 e2 x2 a2 e3 x3 a3
t
vx vy vz 0(4 5) x y z
• 2、用矢量形式表示的连续性方程
其中， σm 为平均法向应力。对于流体而言， σm 相当于流体内部的压力-P，这样
Pij ij
偏应力张量的重要特征是对角线之和等于0。
• D、简单剪切 • 设流体的应力状态为，只有剪切分量σxy 是常数， 而其它剪切分量为0，即在y=常数的平面上沿x方向 受到剪应力，按照应力对称原则，在x=常数的平面 上沿y方向也有剪切应力存在。如右图所示。
rot
ak ei x j
拉普拉斯 算符
div( grad )
21 22 23 2 2 2 x1 x2 x3
2i xi x j
• C、张量
•
比向量更复杂 的物理量，是向 量的推广。一个 点处不同方向上 具有不同量值的 物理量称为张量， 如应力、应变。
以三维笛卡儿坐标系为例，三个坐标基矢之间有如下点积关系
：
即下标相同的两个基矢的点积（即每个基矢的自点积）都等于1
，表明坐标基矢均为单位矢量；下标不同的两个基矢的点积都等于 0，表明坐标基矢两两相互正交。
为了简洁地表达上述关系，人们创造了如下的符号表达式：
称之为克罗内克尔符号，或克罗内克尔δ（Kronecker δ）。
xx 0 0 yy 0 0 0 P 0 0 0 P 0 P. 0 ij zz 0 P 0
B、单轴拉伸
此时流体只受到一个方向的拉力。应力张量可写成 以下形式：
11 0 0 0 0 0 0 0 0
单位时间内曲面 A 中包含的流体质量的变化率为：
M x , t dt A t
式中 M 为
M M t
，
x, t
为时刻 t，空间任一点 x 的质量密度。
积分是对体积 A 的体积分, 质量流量为ν。
• 在x方向，单位时间内通过面积1进入流体的质量为：
M1 vx dydz
指 标 标 量 矢 量 张 量
矩阵
a
ai Tij
a1 a 2 a3
a
零阶 张量 一阶 张量
T13 T23 T33
T11 T12 T T 21 22 T31 T32
二阶 张量
第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），第一阶张量 （r = 1） 为 向量 （Vector）， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）
N1 11 22第一法向应力差函数 N2 22 33第二法向应力差函数
• N1、N2加上粘度函数τ ，三个函数即可描写简单剪 切场中高分子流体的应力状态和粘弹性。
4.2 连续性方程
• 1、偏微分连续性方程 的推导 • 连续性方程指在空间给 定的任何体积中流体的 质量增加速率等于流进 该体积的质量流率。即 单位时间内质量的累积 量=进入量-流出量。 • 如右图，在直角坐标系 中选一个立方体，边长 dx、dy、dz。设任一点 （x、y、z）在t时刻的 速度为ν，其三个分量 为ν x、 ν y、 ν z，流体 密度为ρ，则
• 按照Caucky应力定律，在平衡时物体受的合外力和 合外力矩等于0，所以平衡时应力张量为对称张量， 只有6个独立分量。三个法向应力分量和三个剪切应 力分量。
.. ..
xx
yy yz .. zz
xy
xz
• 3、应力张量的特殊类型 • • A、静态压缩 流体在充分长的时间内处于静止状态，无切应力， 只有法向应力，大小等于静压P，方向相反。
• 对于牛顿流体，只有粘性没有弹性，因此与弹性形 变相关的法向应力分量相等，均等于各向同性压力P，应力张量为：
0 P 1 0 0 0 0 P. 0 1 0 0 0 P 0 0 P 0 0 0 1 0 0 0
偏应力张 量
• 上面两种分解方法中，各向同性压力P的值不同，导 致偏应力张量中法向应力分量的值不同，
• 但是，可以发现，偏应力张量中的两个法向应力 分量的差值相等。在高分子流体流变过程中，单 独追求法向应力分量的绝对值没有意义，重要的 是两个法向应力分量的差值在各种分解中保持不 变，这就是法向应力差函数。
• 可见，偏应力张量中有4个应力分量。 • 同一个应力张量分解，可给出两种不同的分解方法， 如： 3 1 0 2 0 0 1 1 0
1 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 0 2 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1
• 物体在外力作用会产生流动和变形，但物体同时为 抵抗流动和变形，物体内部产生相应的应力。应力定 义为材料内部单位面积上的响应力，单位为Pa。
• 2、应力张量
• 考虑流变过程中物体内一点P的应力。在物体内部取 一小封闭曲线s，令P点位于曲面s外表面的面元上， 法线n指向曲线外部。考察封闭曲面s外的物质通过面 元对曲面s内物质的作用力，设面元上的作用力为δF， 则：
e1 e2 e3 ei • Ii：哈密顿算符 x1 x2 x3 xi
• 用于矢量运算时：
i ei 其中，i xi
ij
克罗内克尔符号δ（Kronecker δ）在现代数学和计算机科学中 神通广大，不可不识。初步介绍笛卡儿坐标系中的克罗内克尔 符号。
第四章
基本物理量、流变学基础方程及本构方程
本章主要内容： 4.1 基本物理量 4.2 连续性方程 4.3 动量方程 4.4 能量方程
4.5 本构方程
4.1 基本物理量
• 一、张量分析基础 • 1、张量概念 • • • a、标量：只有大小，如温度、时间 b、矢量：既有大小又有方向，如位移、速度、加 速度、力
• 一些有关矢量的标符和记号
• i：克罗内克尔符号a b (a e i i )(b j e j ) ai b j ei e j
1(i j ) • 引入克罗内克尔符号 ij ei e j 0(i j )
• 有9个分量，
11 12 13 1 0 0 0 1 0 21 22 23 31 32 33 0 0 1
上述的关系式就可以简洁地记为
以克罗内克尔符号的分量为元素，可以构成一个矩阵
显然是一个单位矩阵。即
首先，“▽”这个东西具有“双重性格”，它既是一个矢量，又是 一个微分算子（求导运算），所以哈密顿算符兼具矢量和微分的性 质。 当什么时候它的优势就能表现出来呢？那就是▽后的函数不再是一
个简单的 f 的时候，比如说，是两个标量函数的乘积 fg，那这时就
• 可见，在偏应力张量中，各法向应力分量等于0，只 有一个独立变量——剪切应力分量，所以只需定义 一个函数——粘性函数，就可描述其应力状态。
• 高分子液体是粘弹性流体，既有粘性流动，又有弹性 形变，法向应力分量不再相等，此时：
0 0 11 1 0 0 11 P P. 0 1 0 0 P 0 22 22 0 0 0 0 1 0 0 P 33 33
可以使用▽的微分运算性质了，以梯度运算为例，因为我们不知道 grad的运算法则，所以直接做grad ( fg )是不方便的，但将其表示为 ▽( fg )后，我们利用▽的微分运算性质，就可以很容易的得到▽( fg )=g ▽f + f ▽g ，相当于
直角坐标系 梯度矢量
grad
div
应力σ11的方向和它的法线方向是与主应力方向对应的。与前
述静载情况相反，这里的主应力是不相等的：其中之一等于
σ11，另外两个等于0.
C、应力张量的分解
xx xy xz xx yy zz .. yy yz 3 .. zz .. 2 xx yy zz xy 3 2 yy xx zz yx 3 zx zy 偏应力张量 1 0 0 0 1 0 各向同性张量 0 0 1 xz yz m ij ij 2 zz xx yy 3
• 在P点处，通过P 点的每个方向都 可求出相应的牵 引力。为描述流 体内一点的应力 状态，只需求出 任何过该点的三 个正交独立曲面 上的牵引力即可， σx σy σz 分别作用 在垂直于x、y、z 轴的面上，将它 们分别沿x、y、z 三个方向分解， 共有9个分量，分 布如右图。
• 二、应力及应力张量
同样，y方向的总流体质量为：
v y y dxdydz
z方向的总流体质量为：
vz dxdydz z
这就是单组分在直角坐标系中偏微分形式的连续性方程。 对于任何一种稳定流动，有 0 所以：
vx vy vz 0(4 4) x y z
对于不可压缩流体的稳定流动，有：
• 单位时间内通过面积2流出的质量为：
M 2 vxdx dydz
• 则x方向的总流体质量为：
M1 M 2 (vxdx vx )dydz
将
vxdx 按泰勒级数展开，并略去高阶微量，则有：
vx vx dx vx dx x vx M1 M 2 dxdydz x
如空间坐标中，线段长度用OP表示，方向用箭 头表示，记为 3 a a e a e a e a e 1 1 2 2 3 3 i i OP a i 1 e1e2 e3单位矢量方向，在三个坐标 • a 用分量表示， 轴的数值为a1、a2、a3。
F lim s 0 s
• 为P点处具有法线n的面元上的平均表面牵引力，注 意它与法线方向不重合。
• 用应力张量形式表示为：
xx xy xz yy yz yx zx zy zz
• 其中， 第一个下标表示力的作用面的法线方向，第 二个下标表示力作用的方向，如σxy 表示作用在与x 垂直的平面上的应力分量，方向指向y。当i=j时，表 示应力方向与外法线方向相同，称为应力张量的法 向分量， σxx σyy σzz 分别垂直于与x、y、z垂直的平 面上。当i≠j时，表示应力分量作用在相应面的切线 方向上，称为剪切分量，如σxy σyz σzx。
指标记号
i ei xi vi xi
1
e1 2 e2 3 e3 x1 x2 x3
散度
旋度
v1 v2 v3 x1 x2 x3
e1 x1 a1 e2 x2 a2 e3 x3 a3
t
vx vy vz 0(4 5) x y z
• 2、用矢量形式表示的连续性方程
其中， σm 为平均法向应力。对于流体而言， σm 相当于流体内部的压力-P，这样
Pij ij
偏应力张量的重要特征是对角线之和等于0。
• D、简单剪切 • 设流体的应力状态为，只有剪切分量σxy 是常数， 而其它剪切分量为0，即在y=常数的平面上沿x方向 受到剪应力，按照应力对称原则，在x=常数的平面 上沿y方向也有剪切应力存在。如右图所示。
rot
ak ei x j
拉普拉斯 算符
div( grad )
21 22 23 2 2 2 x1 x2 x3
2i xi x j
• C、张量
•
比向量更复杂 的物理量，是向 量的推广。一个 点处不同方向上 具有不同量值的 物理量称为张量， 如应力、应变。
以三维笛卡儿坐标系为例，三个坐标基矢之间有如下点积关系
：
即下标相同的两个基矢的点积（即每个基矢的自点积）都等于1
，表明坐标基矢均为单位矢量；下标不同的两个基矢的点积都等于 0，表明坐标基矢两两相互正交。
为了简洁地表达上述关系，人们创造了如下的符号表达式：
称之为克罗内克尔符号，或克罗内克尔δ（Kronecker δ）。
xx 0 0 yy 0 0 0 P 0 0 0 P 0 P. 0 ij zz 0 P 0
B、单轴拉伸
此时流体只受到一个方向的拉力。应力张量可写成 以下形式：
11 0 0 0 0 0 0 0 0
单位时间内曲面 A 中包含的流体质量的变化率为：
M x , t dt A t
式中 M 为
M M t
，
x, t
为时刻 t，空间任一点 x 的质量密度。
积分是对体积 A 的体积分, 质量流量为ν。
• 在x方向，单位时间内通过面积1进入流体的质量为：
M1 vx dydz
指 标 标 量 矢 量 张 量
矩阵
a
ai Tij
a1 a 2 a3
a
零阶 张量 一阶 张量
T13 T23 T33
T11 T12 T T 21 22 T31 T32
二阶 张量
第零阶张量 （r = 0） 为标量 （Scalar），第一阶张量 （r = 1） 为 向量 （Vector）， 第二阶张量 （r = 2） 则成为矩阵 （Matrix）
N1 11 22第一法向应力差函数 N2 22 33第二法向应力差函数
• N1、N2加上粘度函数τ ，三个函数即可描写简单剪 切场中高分子流体的应力状态和粘弹性。
4.2 连续性方程
• 1、偏微分连续性方程 的推导 • 连续性方程指在空间给 定的任何体积中流体的 质量增加速率等于流进 该体积的质量流率。即 单位时间内质量的累积 量=进入量-流出量。 • 如右图，在直角坐标系 中选一个立方体，边长 dx、dy、dz。设任一点 （x、y、z）在t时刻的 速度为ν，其三个分量 为ν x、 ν y、 ν z，流体 密度为ρ，则
• 按照Caucky应力定律，在平衡时物体受的合外力和 合外力矩等于0，所以平衡时应力张量为对称张量， 只有6个独立分量。三个法向应力分量和三个剪切应 力分量。
.. ..
xx
yy yz .. zz
xy
xz
• 3、应力张量的特殊类型 • • A、静态压缩 流体在充分长的时间内处于静止状态，无切应力， 只有法向应力，大小等于静压P，方向相反。
• 对于牛顿流体，只有粘性没有弹性，因此与弹性形 变相关的法向应力分量相等，均等于各向同性压力P，应力张量为：
0 P 1 0 0 0 0 P. 0 1 0 0 0 P 0 0 P 0 0 0 1 0 0 0
偏应力张 量
• 上面两种分解方法中，各向同性压力P的值不同，导 致偏应力张量中法向应力分量的值不同，
• 但是，可以发现，偏应力张量中的两个法向应力 分量的差值相等。在高分子流体流变过程中，单 独追求法向应力分量的绝对值没有意义，重要的 是两个法向应力分量的差值在各种分解中保持不 变，这就是法向应力差函数。
• 可见，偏应力张量中有4个应力分量。 • 同一个应力张量分解，可给出两种不同的分解方法， 如： 3 1 0 2 0 0 1 1 0
1 0 3 1 0 1 0 1 1 0 0 0 2 0 0 1 0 0 2 0 2 0 0 1 0 0 1 2 0 0 2 0 1 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1