集合典型例题

1. 集合的含义及其表示

（一）集合元素的互异性

1. 已知x R ∈，则集合2{3,,2}x x x -中元素x 所应满足的条件为

变式：已知集合}33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，则实数a 的值为_______

2. {}c b a M ,,=中三个元素可以构成一个三角形的三边长，那么此三角形可能是 ① 直角三角形 ② 锐角三角形 ③ 钝角三角形 ④ 等腰三角形

（二）集合的表示方法

1. 用列举法表示下列集合

（1）||||{|,,}a b A x x a b a b ==+为非零实数__________________________ 变式：已知a,b,c 为非零实数,则||||||||a b c abc a b c abc +++的值组成的集合为 ___

（2） },36|),{(*N x Z x

y y x A ∈∈-==____)}1,9(),2,6(),3,5(),6,4(),6,2(),3,1{(----=A 变式1：12,6A x x N N x ⎧

⎫=∈∈⎨⎬-⎩⎭

变式2：()⎭⎬⎫

⎩

⎨⎧

∈∈=+=++N y N x y x y x A ,,6, （3）集合},,|{},22,|{2A x x y y B x Z x x A ∈==≤≤-∈=用列举法表示集合B

（4）已知集合M=}56|

{*N a Z a ∈-∈，则集合M 中的元素为 变式：已知集合M=}|56{*N a Z a

∈∈-，则集合M 中的元素为 2. 用描述法表示下列集合

（1）直角坐标系中坐标轴上的点 _______________________________

变式：直角坐标平面中一、三象限角平分线上的点______________{}R x x y y x ∈=,),（

（2）能被3整除的整数 _______________________ {}

Z n n x x ∈=,3. 3. 已知集合{}10，

=A ，{}A x x B ⊆=，{}A x x C ∈= （1）用列举法写出集合C B ,；（2）研究集合C B A ,,之间的包含或属于关系

4. 命题 (1) {}200x ∈=；(2)(){}

00,0∈；(3)0∈∅；(4)0N ∈表述正确的是 .

5. 使用∉和∈和数集符号来替代下列自然语言：

（1）“255是正整数” （2）“2的平方根不是有理数”

（3）“是正有理数” （4）“-1是整数”

（5）“x 不是实数”

6. 用列举法表示下列集合：

（1）不超过30的素数 （2）五边形ABCDE 的对角线

（3）左右对称的大写英文字母 （4）60的正约数

7. 用描述法表示：若平面上所有的点组成集合E ，E B E A ∈∈,

（1）平面上以A 为圆心，5为半径的圆上所有点的集合为_________ {}5=∈PA E P

（2）说明下列集合的几何意义：{}5<∈PA E P ；{}PB PA E P =∈

8. 当b a ,满足什么条件时，集合{}

0=+b ax x 是有限集无限集空集

9. 元素0、空集∅、{}0、{}∅三者的区别

10. 请用描述法写出一些集合A ，使它满足：

（i ）集合A 为单元素集，即A 中只含有一个元素；

（ii ）集合A 只含有两个元素；

v1.0 可编辑可修改

（iii ）集合A 为空集

11. 试用集合概念分析命题：先有鸡还是先有鸡蛋

解释：表述问题时把有关集合的元素说清楚，大有好处。先有鸡还是先有鸡蛋让我们运用集合概念来分析它。设地球上古往今来的鸡组成一个集合J ，孵出了最早的鸡的蛋算不算鸡蛋呢这是关键问题。设所有的鸡蛋组成集合D ，要确定D 的元素，就得立个标准，说定什么是鸡蛋，一种定义方法是：鸡生的蛋才叫鸡蛋；另一种定义方法是：孵出了鸡的蛋和鸡生的蛋都叫鸡蛋。如果选择前一种定义，问题的答案只能是先有鸡；选择后一种定义，答案当然是先有鸡蛋。至于如何选择，不是数学的任务，那是生物学家的事。

（三）空集的性质

1. 若∅ {x |x 2

≤a ，a ∈R }，则实数a 的取值范围是________ 2. 已知a 是实数，若集合｛x | ax ＝1｝是任何集合的子集，则a 的值是 _______ .0

3. 下列三个集合中表示空集的是 (1) {0}； (2) {(x , y )|y 2=-x 2,x ∈R ，y ∈R }；(3) {x ∈N |2x 2+3x -2=0}.

变式1：若集合B A x y x B x y y A 则},1|{},|{-===== _______

变式2：若集合{}1,0,1A =-，{}|cos(),B y y x x A ==π∈，则A B =_____{

}1,1- （四）集合相等

1. 已知集合A=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧

1,,a b a ，B={}0,,2b a a + ，若A=B ，则=+20032004b a _____ 2. 已知集合{}1,1,12A x x =++，集合{}

21,,B y y =，且A B =，求实数x 和y 的值.

3. 已知22{2,2010,1},{0,2010,3},A x B x x A B =--=-=且，则x 的值为________

4. 已知A ＝{x ，xy ，lg(xy )}，B ＝{0，|x |，y }，且A ＝B ，试求x ，y 的值．

5. 已知集合{}{}21,1,12,1,,P d d Q q q =++=,且P Q =，则__,__d q ==

6. 两个集合只要元素相同，就认为它们是相同的，从这个角度出发，试回答下列问题：

（1）用列举法分别写出下列集合：{}42<<-∈=a Z a A ；{}

42<<-∈=b Z b B

（2）请你判断两集合A 和集合B 是否相等

2. 集合方程问题

1. 若集合{}2|10,A x ax bx x R =++=∈

（1）若{}1,1A =-，求,a b 的值；（2）若{}1A =-，求,a b 的值

2. 若集合}01|{2=++x ax x 有且只有一个元素，则实数a 的取值集合为 .

3. 设{}{}2,y x ax b A x y x a =++===，求,a b .

4. 已知集合{}

2210,A x ax x x R =++=∈，a 为实数.

（1）若A 是空集，求a 的取值范围；

（2）若A 是单元素集，求a 的值；

（3）若A 中至多只有一个元素，求a 的取值范围．

5. 已知集合241x A a x x a ⎧⎫-⎪⎪==⎨⎬+⎪⎪⎩⎭关于的方程有惟一解，用列举法表示集合A 为 . 变式：若分式方程的分子和分母对调，结论如何

3. 子集、全集、补集

1. 集合=A {01|=-kx x }，集合}0|{=-=k x x B ，若B A ⊆，k 的取值集合．．．．

为______ 2. 设集合U ={(x ，y )|y =3x －1}，A ={(x ，y )|

1

2--x y =3}，则C U A = .