9 常用模拟滤波器设计

IIR数字滤波器的设计方法
间接设计法 根据设计指标设计相应的过渡模拟滤波器 将过渡模拟滤波器转换成数字滤波器。
直接设计法 在时域或频域直接设计数字滤波器。
6.1 模拟滤波器设计
模拟滤波器（AF）的一般设计过程： （1） 根据信号处理要求确定设计指标（选频） （2） 选择滤波器类型 （3） 计算滤波器阶数 （4） 通过查表或计算确定滤波器系统函数 Ha (s) （5） 综合实现并调试
P 1, N 2
P 3, N 4
P4
-1.0000 -0.9239±j0.3827 -0.8090±j0.5878 -0.7071±j0.7071 -0.6235±j0.7818 -1.0000 -0.9659±j0.2588 -0.9010±j0.4339 -1.0000
8
9
0.1951±j0.9808
() 20 lg H a ( j)
1 1 10 lg H ( j) 2 1 a 2 2 N 10 lg 1 c 0
| H a ( j ) |
c
N=4 N=8
N=2

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2 f s 9934.7125rad / s 18 9999
c
s
( A2 1)1 2 N
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（3）求系统函数。查表6.1.1得到归一化4阶巴特沃思多项式为
( p) ( p2 0.7654 p 1)( p2 1.8478 p 1) D4
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两个附加参数：
a.过渡比或选择性参数,通常用k表示
反应过渡带的性能，过渡带越窄，k值趋近于1 低通滤波器 k 1
k p s
b.偏离参数，用k1表示
k1 A2 1
k1 越小，通带、阻带的纹波越小
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模拟滤波器的设计
模拟滤波器的理论和设计方法已发展得相当成熟，且有若干典型 的模拟滤波器供选择。
阶数N
1 2 3 4 5 6 (p+1) (p2+1.4142p+1) (p2+p+1)(p+1) (p2+0.7654p+1)(p2+1.8478p+1) (p2+0.6180p+1)(p2+1.6180p+1)(p+1) (p2+0.5176p+1)(p2+1.4142p+1)(p2+1.9319p+1)
7
8 9
(p2+0.4450p+1)(p2+1.2470p+1)(p2+1.8019p+1)(p+1)
(p2+0.3902p+1)(p2+1.1111p+1)(p2+1.6629p+1)(p2+1.9616p+1) (p2+0.3473p+1)(p2+p+1)(p2+1.5321p+1)(p2+1.8794p+1)(p+1)
10
p /10
1 101/10 1 0.508847 A 10s / 20 100
p k 0.2, s
从而得到
再求出过渡比和偏离参数
k1

2
A 1

0.50885 9999
0.00508875
N
取整数N=4
lg k1 3.2811 lg k
lg k
1
lg k
c
p

1
N
c
s ( A 1)
2 1 2N
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巴特沃思模拟低通滤波器的系统函数：
（由 3dB 截止频率 c 和阶数N 确定）
H a ( s)
cN
DN ( s)
式中，分母 DN (s) 称为N 阶巴特沃思多项式。
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DN (s) 三种形式:
| H a ( j ) |
1 2 –阻带最大波纹 1/ A
1 2
1
N=4 N=8 N=2
0
c

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截止频率与阶数如何确定？
• 滤波器幅频响应随频率的增大而单调下降 2 1 1 H a ( j p ) p 1 ( p / c ) 2 N 1 2
1 1 H a ( j s ) 2 2N 1 ( s / c ) A
-0.1736±j0.9848
0.5556±j0.8315
-0.5000±j0.8660
-0.9010±j0.4339
-0.8315±j0.5556
-0.9808±j0.1951
-0.9397±j0.3420 -1.0000
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( p)：多项式表示 N：滤波器阶数--- DN
分母多 项式 阶数N 1 2 3 4 5 6 7 8 9 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 -1.0000 1.4142 2.0000 2.6131 3.2361 3.8637 4.4940 -5.1258 5.7588 2.0000 3.4142 5.2361 7.4641 10.0978 13.1371 16.5817 5.2361 9.1416 14.5918 21.8462 31.1634 3.2361 7.4641 14.5918 25.6884 41.9864 3.8637 10.0978 21.8642 41.9864 4.4940 13.1371 31.1634 5.1258 16.5817 5.7588
DN ( s) BN ( s) s bk s k
N N 1 k 0
因式分解
j ( 1 2 k 1 ) 2 2N
DN ( s) ( s c pk ) , pk e
N 1
DN (s)
k 0 N /2
B ( s)
k 1 k
, Bk ( s) s bk1s bk 0
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• 滤波器的给定指标为 – 通带最大衰减 p 20 lg
1
– 阻带最小衰减 s 20 lg( ) 20 lg A
• 先求 10 p /10 1 • 确定截止频率与阶数
N lg lg(
1 A
1 2
dB
A 10 s / 20

A2 1 p s )
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c归一化
( p) G( p) 1/ DN
查表得
( p) DN
得到
c去归一化
H a ( s) G ( p) p s /
c
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低通巴特沃斯滤波器设计步骤：
• 由
p、 p、 s、 s ，求滤波器阶次N
和归一化系统
• 由N查表，求出归一化极点 pk
H ( j ) | H ( j ) | e j ( ) – 幅频特性体现了各频率成分幅度的衰减,而相频特性体现的是 不同成分在时间的的延时。
– 选频滤波器一般只考虑幅频特性，对相频特性不作要求。 – 对输出波形有要求时，则需考虑线性相位问题。
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本节主要讲述：
6.1.1 模拟滤波器设计指标 6.1.2 巴特沃思模拟低通滤波器设计 6.1.3 切比雪夫（Chebyshev）滤波器设计
s 20 lg
1 20 lg A dB A
求解

10
p /10
1
A 10
s
/ 20
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损耗函数（或称为衰减函数）()来描述滤 波器的幅频响应特性。即
( ) 20lg Ha (j ) 10lg Ha (j )
2
当 ( ) 3 dB 时的边界频率称为3dB截止频 率，通常用c表示，
c 归一化的N阶巴特 由于N较大时，计算量太大，为了方便， ( p)已制成表格供查阅： 沃思多项式系数 DN
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N：滤波器阶数--极点位置 阶数N 1 2 3 4 5 6 7
(p DN ) ：极点位置表示
P2, N 3
P0, N 1
-1.0000 -0.7071±j0.7071 -0.5000±j0.8660 -0.3827±j0.9239 -0.3090±j0.9511 0.2588±j0.9659 -0.2225±j0.9749
p
阻带[s, ∞]幅度以最大误差1/A逼近于零，即要求
H a ( j ) 1/ A
s
ε ：通带波纹幅度参数
A： 阻带波纹幅度参数
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用 p 表示通带最大衰减（或称为通带峰值波纹） 用 s 表示阻带最小衰减 （以分贝(dB)表示波纹）
1 p 20 lg 2 1 2 10 lg(1 ) dB
2
(
s
)
N

A2 1
• 于是 阶数
lg k1 N lg k
c p
N
lg lg(

A2 1 p s )
lg k
1
lg k
截止 频率

1
N
• 满足通带指标，阻带指标有富裕
1 2N
c
s ( A 1)
2
• 满足阻带指标，通带指标有富裕
这些滤波器都有严格的设计公式、现成的曲线和图表供设计人员
使用。 典型滤波器
巴特沃斯（Butterworth）滤波器具有单调下降的幅频特性；
切比雪夫（Chebyshev）滤波器：幅频特性在通带或阻带有波动， 可提高选择性；
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6.1.2 巴特沃思模拟低通滤波器设计
N 阶巴特沃思模拟低通滤波器的幅度平方函数为
2
共轭对相乘
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归一化讨论：
对于
DN ( s) ( s c pk )
k 0 N 1
得：
1 N 1 s ( pk ) k o c 1 1 G ( p) H a ( p c ) N 1 ' DN ( p ) ( p pk )
k 0
N c H a ( s) DN ( s)
1 H a ( j ) 1 ( / c ) 2 N
2
N为滤波器的阶数， c 为3dB截止频率。
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特点：
H a ( j ) 的n(n<2N)阶导数等于零，因此滤波器 • 在 0 点，
2
在 0 点具有最大平坦幅度 • 滤波器幅频响应随 的增大而单调下降，因为幅度平方函 数的导数小于零 • 损耗函数
2N ( ) 10 lg 1 ( ) c c 2 N ( c ) 10 lg 1 ( ) 10 lg 2 3dB c
• 滤波器的特性由3dB截止频率和阶数N确定 • 滤波器的给定指标为
–通带边界频率 p –阻带边界频率 s 1 –通带最小幅度
D' ( p) p N bN 1 p N 1 bN 2 p N 2 … b1 p b0
b0 b1
b2 b3 b4 b5 b6 b7
b8
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N：滤波器阶数--- DN ( p：共轭极点因式 )
分母因式
( p)B2 ( p)B3 ( p)B4 ( p)B5 ( p) D' ( p) B 1
函数G(p)
• 令
p s / c
ຫໍສະໝຸດ Baidu
代入G(p) ，得实际滤波器传输
函数Ha(s) 。（去归一）
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例：
设计模拟低通滤波器。要求幅频特性单调下降，通带边界频 率fp=1 kHz，通带最大衰减p=1 dB，阻带边界频率fs=5 kHz，阻 带最小衰减s=40 dB。 解:（1）根据幅频特性单调下降要求，应选择巴特沃思滤波器。 （2）计算阶数N和3 dB截止频率c。首先用求出波纹幅度参数为
第六章
IIR数字滤波器设计
学习目标：
• 掌握模拟滤波器设计的指标，模拟滤波器 设计的一般过程。 • 掌握巴特沃思 (Butterworth)模拟低通滤 波器的设计。 • 掌握切比雪夫 (Chebyshev)模拟低通滤波 器的设计。 • 掌握利用模拟滤波器设计IIR数字滤波器的 设计过程。 • 掌握脉冲响应不变法设计IIR数字滤波器。 • 掌握双线性变换法设计IIR数字滤波器。
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6.1.1 模拟滤波器设计指标
H a ( j )

1 1 2
.77 过渡带 通带
1 A

阻带
p c s

图6.1.1
典型模拟低通滤波器幅频特性及其指标描述
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设计指标
p 通带边界频率，s 阻带边界频率，c 3db截止频率
系统通带的误差要求
1 1 2 Ha (j ) 1