高考数学一轮复习第十四章推理与证明直接证明与间接证明课件

A．a，b 都能被 3 整除 B．a，b 都不能被 3 整除
C．b 不能被 3 整除
D．a 不能被 3 整除
解析 由反证法的定义可知，否定结论，即“a，b 中至少有一个能被 3 整除”的否定是“a，b 都不能 被 3 整除”，故选 B.
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[考法综述] 高考中，经常以不等式、立体几何、数列等知识为载体，考查分析法、综合法和反证 法的原理，结合具体问题考查学生运用三种方法解决问题的能力．
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第十四章 推理与证明
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考点二 直接证明与间接证明
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故只要证 14< 18，即证 14<18.
以上证明不等式所用的最适合的方法是分析法．
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3．用反证法证明命题“若 a，b∈N，ab 能被 3 整除，那么 a，b 中至少有一个能被 3 整除”时，假设
应为( )
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命题法 2 间接证明 典例 2 设{an}是公比为 q 的等比数列． (1)推导{an}的前 n 项和公式； (2)设 q≠1，证明数列{an＋1}不是等比数列．
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2．证明不等式 2＋ 7< 3＋ 6的最适合的方法是( )
A．综合法
B．分析法
C．间接证法
D．合情推理法
解析 要证明不等式 2＋ 7< 3＋ 6，只要证( 2＋ 7)2<( 3＋ 6)2，即证 9＋2 14<9＋2 18，
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1 直接证明 (1)综合法 综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证 明的结论成立． 用 P 表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，用 Q 表示所要证明的结论，则综合法可用框图表示 为：
的条件
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2 间接证明——反证法 (1)定义 假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明 假设错误，从而证明了原命题成立，这样的证明方法叫做反证法． (2)证明步骤 ①反设——假设命题的结论不成立，即假设原结论的反面为真． ②归谬——把“反设”作为条件，经过一系列正确的推理，得出矛盾． ③存真——由矛盾结果断定反设错误，从而肯定原结论成立．
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【解题法】 应用分析法与综合法证明时需注意的问题 (1)分析法证明时应注意的问题 ①分析法采用逆向思维，当已知条件与结论之间的联系不够明显、直接，或证明过程中所需要用的知 识不太明确、具体时，往往采用分析法，特别是含有根号、绝对值的等式或不等式，从正面不易推导时， 常考虑用分析法． ②应用分析法的关键在于需保证分析过程的每一步都是可逆的，它的常用书面表达形式为“要证…… 只需证……”或用“⇐”．注意用分析法证明时，一定要严格按照格式书写． (2)综合法与分析法应用的注意点 ①综合法与分析法各有特点，在解决实际问题时，常把分析法与综合法综合起来运用，通常用分析法 分析，综合法书写，这一点在立体几何中应用最为明显．同时，在数列、三角函数、解析几何中也大多是 利用分析法分析，用综合法证明的办法来证明相关问题． ②对于较复杂的问题，可以采用两头凑的方法，即通过分析法找出某个与结论等价(或充分)的中间结论， 然后通过综合法由条件证明这个中间结论，使原命题得证．
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1．思维辨析 (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．( √ ) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．( × ) (3)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．( × ) (4)在解决问题时，常常用分析法寻找解题的思路与方法，再用综合法展现解决问题的过程．( √ )
注意点 使用分析法时的注意事项 (1)分析法是“执果索因”，特点是从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理，实际上 是寻找使结论成立的充分条件． (2) 用 分 析 法 证 明 数 学 问 题 时 ， 要 注 意 书 写 格 式 的 规 范 性 ， 常 常 用 “ 要 证 ( 欲 证 )……”“ 只 需 证……”“即证……”等分析到一个明显成立的条件，再说明所要证明的数学问题成立.
命题法 1 直接证明 典例 1 已知 a≥b>0，求证：2a3－b3≥2ab2－a2b.
[证明] 要证明 2a3－b3≥2ab2－a2b 成立， 只需证：2a3－b3－2ab2＋a2b≥0， 即 2a(a2－b2)＋b(a2－b2)≥0， 即(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0. ∵a≥b>0，∴a－b≥0，a＋b>0,2a＋b>0， 从而(a＋b)(a－b)(2a＋b)≥0 成立， ∴2a3－b3≥2ab2－a2b.
P⇒Q1 ―→ Q1⇒Q2 ―→ Q2⇒Q3 ―→…―→ Qn⇒Q (2)分析法 分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判 定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)为止． 用 Q 表示要证明的结论，则分析法可用框图表示为：
得到一个 Q⇐P1 ―→ P1⇐P2 ―→ P2⇐P3 ―→…―→ 明显成立