高等数学第六章定积分应用综合测试题讲课教案
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用
同济大学高等数学上册第六章定积分的应用定积分作为高等数学中的一个重要概念，广泛应用于各个领域，其在实际生活中的应用也是非常广泛的。
本文将以同济大学高等数学上册第六章定积分的应用为题，从不同的角度来探讨定积分在实际问题中的应用。
第一节：定积分在物理学中的应用在物理学中，定积分的应用是非常广泛的。
比如，在力学中，我们可以通过定积分来求解物体的质心、转动惯量等问题；在热力学中，可以通过定积分来计算热力学过程中的功和热量等；在电磁学中，可以通过定积分来计算电荷分布下的电场强度等。
定积分在物理学中的应用，不仅帮助我们更好地理解物理定律，还帮助我们解决实际问题。
第二节：定积分在经济学中的应用经济学是一个与人们日常生活息息相关的学科，而定积分在经济学中的应用也是非常显著的。
比如，在计算人均收入时，可以通过定积分来计算人均消费的总和；在计算流动性时，可以通过定积分来计算资产的变化量。
通过使用定积分的方法，经济学家可以更加精确地分析经济问题，并作出合理的决策。
第三节：定积分在生物学中的应用生物学是一个研究生命现象和生命规律的学科，而定积分在生物学中的应用也是非常广泛的。
比如，在遗传学中，可以通过定积分来计算染色体的长度；在生态学中，可以通过定积分来计算种群的增长率。
通过使用定积分的方法，生物学家可以更加准确地研究生物现象，并深入理解生命的奥秘。
第四节：定积分在工程学中的应用工程学是一个应用数学知识解决实际问题的学科，而定积分在工程学中的应用也是非常重要的。
比如，在土木工程中，可以通过定积分来计算曲线的长度、曲面的面积等；在电气工程中，可以通过定积分来计算电路中的功率、电量等。
通过使用定积分的方法，工程师可以更好地设计和分析工程问题。
总结：通过对同济大学高等数学上册第六章定积分的应用进行探讨，我们发现定积分在物理学、经济学、生物学和工程学等领域中的应用非常广泛。
定积分作为数学中的一个重要概念，不仅可以帮助我们更好地理解各个学科，还能够解决实际问题。
6-1,6-2元素法,定积分在几何上的应用
2 3
3
x2
x3 3
1 0
1. 3
问题：积分变量只能选 x吗？
y x2
x x+dx
9
解法2. 两曲线的交点 (0,0)，(1,1)
选 y为积分变量，y [0,1]
y dy
y
x y2 y x2
面积元素 dA ( y y2 )dy
A
1(
0
y
y2 )dy
2
3
3
y2
y3 1
3
0
1. 3
14
例4 求椭圆 x2 y2 1的面积.
a2 b2
解
椭圆的参数方程
x y
a cos t bsin t
由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．
A 4
a
ydx 4
0
bsintd(a cost)
o
上曲线 下曲线
y g(x)
a xx xb x
6
(3)以 x ( y) 为曲边，以[c,d]为底的曲边梯形的面积A.
d
d
A c ( y)dy
xdy
c
(4)由曲线x ( y)，x ( y), c y d,
[ ( y) ( y)] 所围图形的面积.
其面积元素为：
dA [ ( y) ( y)]dy，则面积为
第六章 定积分的应用
6-1、定积分的元素法 回顾(求曲边梯形的面积)
设函数 y f (x)( f (x) 0) 在[a,b]上连续，求以 y f (x)为
曲边， 以[a,b]为底的曲边梯形的面积A.
b
A a f ( x)dx
y
y f (x)
A
oa
《高等数学教学资料》答案-第6章定积分的应用.doc
第6章定积分的应用1.求由两抛物线)'二兀与y 2 = -x+4所用成的面积解:先求出两抛物线的交点，(2,V2),(2,-V2),由对称性，只要求位于第一彖限的而积的两倍即可，关于>/22f (4-2y 2)dy = 4(2y-y 3/3) 02.求由双曲线y = x + \!兀与两肓线x = 2^y = 2所围图形的而积解：双曲线在x=l 处达到极小值2,边界线的交点为(1,2), (2,5/2) , (2,2)关于x 积分较简单解：由对称也 只需求!110<^<^/3的一叶的面积，乘以3则得所求面积,□広/3 q 2 兀/3 $ 2 兀/3A = - f rd3 = — [ sin 2(3^)d^ = — f (1-cos(60))d& = 2 J 2 J 4 J厶0 厶 0 " o 4•求山双曲线y = l/x,三直线y = 4x. x = 2. y = 0所围成平面图形绕兀轴旋转所成的旋转体的体积解：该曲线是由三段抛物线组成的，y = 4-x 2 , 丁 = 2 +兀2 , )=4 - 区间分别是[-2,-1],[-1,1],1,2],边界点(・2,0),(・1,3),(1,3),(2,0),旋转体可看成半径为3高为4的体积为3x3x4〃的圆柱体挖去抛物线绕直线y = 3旋转成的部分，再考虑到曲线关于y 轴的对称性，所以/-I 0V = 367i-27T j(x 2-l)2d.r+j(l-x 2)2dx\-2-1解：该题即教材习题6.3第6题，图形的顶点是©0),(1」)，体积等于圆弧x=xl(y)绕x=2旋转的体积减V=7T<1/2 2 ] 、 f 16x 2dr+ [ —dx =7T1/2 __1 2、 J J x 儿<3 o x 1/2丿 解：先求出图形的顶点(0,0),(1/ 2,2),(2」/ 2), (2,0)=碍冷+ 2)十/6 5.求由曲线y = 3-|x 2-l|与X 轴所围封闭图形绕岂线y = 3旋转所成旋转体的体积= 16A /2/3y 积分较方便, 3•求三叶玫瑰线在极处标下的曲线厂=a sin(3&) > 0, tz > 0围成的面积1 ___________________去直线段x=y 绕x=2旋转所得的圆台的体积，故V = ;rJ((l + Jl_b )2_(2_y)2)dy1 ______________=可(27^-2()' —I)*®i 方法2 V = ^J((2-x 1(j))2-(2-y)2)dy1 1 1=龙J 4 (y -若(y) +彳(y) - y?) dy =打2 (2y - y' -兀］(y)) dy,由于J 兀］(刃dy 等于边长为一的正方型 00 0面积减去四分Z —圆而积.故得IV = ;rj2(2y — y2p (y ))dy = 2;r(l — l/3 — (l —龙/4))=龙(龙/2 —2/3)7•求曲线),=ln(l- x 2)上相应于0 5x51/2上的一段弧的弧长\x = acos^ t\ &求曲线｛相应于(0<t<7T/2)上的一•段弧长 y = asint. 解：由于2siii/cos/ = sin2r, sin 4r +cos 41 =(sin 2 Z +cos 21)2 -2sin 2/ cos 21 = 1 -2sin 2tcos 21 = 1 - — sin 2 2/ = —(1 + cos 2 2(),故 2 2TT /2 ___________ 刃 2 _______________________________弧长$ = 4G J sinrcos/vcos 4+ sin 4 tdt =——厂 j y ］\ + cos 2(2r)dcos(2r) 0°2 () 龙/2 ________=J J1 + cos?⑵)dcos ⑵)2Z (In(cos(2f) + Jl + cos?⑵))+ cos(2f) J1 + cos?⑵))|= a 9.求极坐标下抛物线厂=——,上相应于(-龙/25 0W 龙/2)上的一段弧长 1 + COS (P龙/2 」e =f d(p S 3(^/2) Jcos?(0/2)-7C arcsin =兀(兀 12-2/3)f-i + 1 + qdr 二 ： + ln 土］1 1 — x 1 + x < 1 一( i l + -^ln(V2 + l) d (p 解：弧长 l-x 21/2 = ln3-l/2 0 1/2 訂0 解：S __J__ + 心 4(1 + COS 0)2 (1+COS 0)4 (I+COS0严訂=2sec(0 / 2) tan@/ 2) - 2J tan2((p/2)sec(©/ 2) d(©/ 2)=2 sec(0 / 2) tan(° / 2) - 2 j (sec2((p/2)-1) sec(° / 2) d((p/2)s = \ "呷⑺ + i n(tan((^ + 龙)/4) =72 + ln(l + >/2)I cos2 (^/2) 屮丿I。
2010(新) 第6章、定积分的应用 高等数学上课件
a2
2
(1c
ot)s2d ta2
2(12co tsco 2t)sd
t
0
0
a2 2 12co t s1co 2ts d t
0
2
a 22 d 2 ta 22 cto d a s 2 t2 1 d a t22 c2 o td st
0
0
02 20
2a2a23a2
二、极坐标情形
a
a
c
若b f(x)dx收敛 ,则:
b
f(x)dx
c
f(x)dx
b
f(x)dx.
a
a
a
c
第6章、定积分的应用
第一节、定积分的微元法
一般,如 地果某一实际所 问求 题U量 符 中合 的以下: 条件
( 1 )、分割:U在区[间 a,b]的分割子区间上具 加有 性. 可
( 2 )、取近:似 在子区间上任出 取部 一分 点量 求的. 近似
0
0
3 2[R (2x2)32]0 R
2 3
R3.
第五节、平均值
连续函f(数 x)在[a,b]上的平均:值 y为1
b
f(x)dx
ba a
例5、求 纯R电 电路 阻 ,交中 流 II电 msi nt在 一 个 周 期
的 平 均 . 功 率
解 : UI2RIm 2Rsin2t
U 2 1 0 2 U d2t
的底圆中心,并与底面交成角(如
图所示),计算这平面截圆柱体得 所
立体的体积.
解： A (x)1 2(R 2x2)ta;n
于是所求立体的体积为
V
RRA(x)dx1 2
R(R2x2)tan dx
R
南理工高等数学上第6章定积分应用61课件
3）以所求量U 的元素 f ( x)dx 为被积表达式，在
区间[a, b]上作定积分，得U
b
a
f
( x)dx ，
即为所求量U 的积分表达式.
这个方法通常叫做微元法．
应用方向：
平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长 ；功；水压力；引力和平均值等．
二、平面图形的面积
直角坐标系情形
y y f (x)
y
旋转体就是由一个平面图形饶这平面内 一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做 旋转轴．
圆柱
圆锥
圆台
一般地，如果旋转体是由连续曲线 y f ( x)、
直线 x a 、 x b及x 轴所围成的曲边梯形绕
x 轴旋转一周而成的立体，体积为多少？
取积分变量为x ，
y
y f (x)
x [a,b]
在[a, b]上任取小区 o
一、微元法
回顾 曲边梯形求面积的问题
曲边梯形由连续曲线 y
y f ( x)( f ( x) 0) 、
x 轴与两条直线 x a 、
x b所围成。
oa
b
A a f ( x)dx
y f (x)
bx
面积表示为定积分的步骤如下
（1）把区间[a, b]分成n 个长度为xi 的小区间，
相应的曲边梯形被分为n 个小窄曲边梯形，第i
r h
x
2
dx
r 2 h2
x3 h 3 0
hr2 . 3
2
2
2
例 10 求星形线 x 3 y 3 a 3(a 0) 绕x 轴旋转
构成旋转体的体积.
y
2
2
2
解 y3 a3 x3,
y2
高等数学第六章《定积分的应用》
第六章 定积分的应用一、内容提要（一）主要定义【定义】 定积分的元素法 如果（1）所求量U 是与一个变量x 的变化区间[]b a ,有关的一个整体量； （2）U 对区间[]b a ,具有可加性； （3）部分量i U ∆可表示为()i i i U f x ξ∆≈∆.则可按以下步骤计算定积分（1）选取一个变量x 或y ，并确定它的变化区间[]b a ,;（2）把区间[]b a ,分成n 个小区间, 求任一小区间[],x x dx +的部分量U ∆的近似dU .()U dU f x dx ∆≈=; （3）计算()U=baf x dx ⎰.（二）主要定理与公式根据定积分的元素法可建立一些几何和物理方面的定积分表达式. 1．平面图形面积 （1）直角坐标情形①由()(),(0),,y f x f x x a x b =≥==所围图形的面积()bas f x dx =⎰.②由()()12,,,y f x y f x x a x b ====所围图形的面积()()12 bas f x f x dx =-⎰.③由()()12,,,x y x y y c y d ϕϕ====所围图形的面积()()12dcs y y dy ϕϕ=-⎰（2）参数方程情形 由曲线l ：()()x t y t ϕψ=⎧⎪⎨=⎪⎩，12t t t ≤≤，x 轴及,x a x b ==所围图形的面积 ()()21t t s t t dt ψϕ'=⎰（3）极坐标情形① 由(),,ρϕθθαθβ===所围图形的面积()212s d βαϕθθ=⎰ ② 由()()12,,,ρϕθρϕθθαθβ====所围图形的面积()()222112s d βαϕθϕθθ⎡⎤=-⎣⎦⎰ 2.体积（1）旋转体的体积① 由()0,,,y y f x x a x b ====所围图形绕x 轴旋转所得旋转体体积：()2b a V f x dx π=⎡⎤⎣⎦⎰. 当0a b ≤<时，上述曲边梯形绕y 轴旋转所得旋转体的体积： ()22bbaaV x y dx x f x dx ππ==⎰⎰.② 由(),0,,x y x y c y d ϕ====所围图形绕y 轴旋转一周形成的立体体积：()2d c V y dy πϕ=⎡⎤⎣⎦⎰ （2）平行截面面积为已知的立体的体积设以()[],A x C a b ∈表示立体Ω的过点x 且垂直于x 轴的截面面积，且立体Ω夹在平面x a x b ==与之间，则立体Ω的体积：()baV A x dx =⎰.3.平面曲线的弧长（1）光滑曲线():,l y f x a x b =≤≤的弧长为as =⎰.（2）光滑曲线()(),: ,x x t l t y y t αβ=⎧⎪≤≤⎨=⎪⎩的弧长为s βα=⎰.（3）光滑曲线():, l ρϕθαθβ=≤≤的弧长为s βαθ=⎰4.变力沿直线做功、水压力 （1）变力沿直线做功设物体在变力()F x 的作用下，沿变力的方向由x a =移到x b =,在物体的位移区间[],a b 内任一子区间[],x x dx +上功的元素为 ()dW F x dx =,全部功()baW F x dx =⎰.（2）水压力设平板铅直地放入液体中，液体的密度为ρ，平板位于液面下的深度在区间[]0,b 内任一子区间[],x x dx +上,液体深x 处的压强为p gx ρ=,压力元素()dp gx f x dx ρ=⋅. 全部压力为 ()0bp gx f x dx ρ=⋅⎰.二、典型题解析（一）填空题【例6.1】 由曲线,xxy e y e -==及直线1x =所围成图形的面积是 . 解 所求面积 ()()1112xx x x S ee dx e e e e ---=-=+=+-⎰.故应填12e e -+-. 【例6.2】 由222,82x y x y =+=所围成图形（见图6.1）面积A （上半平面部分），则A = .解 两曲线22228x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩的交点为()()2,2,2,2-.所求的面积为222)2x A dx -=⎰328226x ⎫=-⎪⎭423π=+. 故应填423π+. 【例6.3】 曲线sin 02y x x π⎛⎫=≤≤⎪⎝⎭与直线,02x y π==围成一个平面图形，此平面图形绕x 轴旋转产生的旋转体的体积 .解 2220s i n 4V x d x πππ==⎰. 故应填24π.【例6.4】 阿基米德螺线()0aeλθρλ=>从0θ=到θα=一段弧长s = .解 0s αθ=⎰ ()01eλαθλ==-⎰.)1eλα-.【例6.5】 曲线322y x x x =-++与x 轴所围成的图形的面积A = . 解 函数322(2)(1)y x x x x x x =-++=--+与x 轴的交点为()()()1,0,0,02,0-.()()023232122A x x x dx x x x dx -=--+++-++⎰⎰3712=. （二）选择题图6.122x y =228x y +=【例6.6】 曲线x y e =与其过原点的切线及y 轴所围成的图形（见图6.2）面积为[ ]（A ） ()1x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x x e xe dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.解 曲线x y e =在任意点(),x y 的切线方程为()x x Y e e X x -=-,由于切线过原点,可以求出1x =,于是过原点的切线方程为Y eX =.所求平面图形的面积等于()1xeex dx -⎰. 故选择A.【例6.7】 由曲线()()12y x x x =--与x 轴围成的平面图形的面积为 [ ]. （A ）()()()()12011212x x x dx x x x dx -----⎰⎰;（B ）()()212x x x dx ---⎰;（C ）()()()()12011212x x x dx x x x dx ---+--⎰⎰;（D ）()()212x x x dx --⎰.解 在区间[]0,1,0y <,在区间[]1,2,0y >, 所以 ()()112S x x x dx =---⎰()()2112x x x dx +--⎰.故选择C.【例 6.8】 曲线cos 22y x x ππ⎛⎫=-≤≤ ⎪⎝⎭与x 轴围成的平面图形绕x 轴旋转一周而成的旋转体体积为 [ ]（A ）2π （B ）π （C ）212π （D ）2π. 解 2222cos2V xdx ππππ-==⎰.故选择C.图6.2【例6.9】 双纽线()22222x yx y +=-围成的平面图形的面积为 [ ]（A ）402cos 2d πθθ⎰; （B ）404cos 2d πθθ⎰;（C）2θ; （D ）()2401cos 22d πθθ⎰.解 双纽线的极坐标方程为2cos 2 r θ=,(,44ππθ-≤≤35)44ππθ≤≤由对称性 2244001422S r d r d ππθθ=⨯=⎰⎰402cos 2d πθθ=⎰. 故选择A.【例6.10】 曲线()2ln 1y x =-上102x ≤≤的一段弧长l = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x +-⎰; （C）; （D ）. 解 曲线是直角坐标表示的曲线,采用公式al =⎰.由曲线方程()2ln 1y x =-可得210x ->,221x y x -'=-,则1222011x l dx x +==-⎰. 故选择B .（三）非客观题 1. 平面图形的面积解题方法 （1）先画出草图；（2）求出交点；（3）选取积分变量、区间，找出面积元素，然后积分. （1）直角坐标情形【例6.11】求曲线22,ax y ay x ==所围(见图6.3)的面积. 解 如图所示，交点为()(),00,0A a O 及.图6.32ax y =2y ax =所围的面积()23232002)333aax x aS dx ax a aa ⎡⎤==-=⎢⎥⎣⎦⎰. 【例6.12】 求介于由曲线2121,2+==x y x y 和x 轴围成的平面图形(见图6.4)的面积．解 （法一）设此面积为S ,有12101111()d ()d 2222S x x x x x -=+++-⎰⎰0122310()()42423x x x x x -=+++-23=（法二）13122002(21)]d ()3S y y y y y =-=-+⎰23=.【例6.12】 求0,2x x π==之间由曲线sin y x =和cos y x =所围成的图形(见图6.5)的面积. 解 20sin cos A x x dx π=-⎰()40cos sin x x dx π=-⎰()544sin cos x x dx ππ+-⎰()254cos sin x x dx ππ+-⎰=【例6.13】 求抛物线243y x x =-+-及其在点()0,3-和()3,0处的切线所围成的图形(见图6.6)的面积.解 由24y x '=-+得过点()0,3-和()3,0的切线方程为1:43l y x =-和2:26l y x =-+,图 6.4图 6.24π54π2π图 6.5图 6.6且可得12,l l 交点坐标为3,32⎛⎫⎪⎝⎭,则所围图形的面积为()32204343A x x x dx ⎡⎤=---+-⎣⎦⎰()32322643x x x dx ⎡⎤+-+--+-⎣⎦⎰94=. 【例6.14】求由曲线322,0a y y a x==+所围的面积. 解 所求面积为33222202lim b b a dx S dx a dx a x a x+∞-∞→+∞==++⎰⎰ 3212limarctan b a b a aπ→+∞==. 【例6.15】确定常数k ,使曲线2y x =与直线,2,0x k x k y ==+=所围成图形的面积最小. 解 选x 为积分变量,变化区间为[],2k k +,面积元素2dA x dx =,所求面积为()()22 k kA k x dx k +=-∞<<+∞⎰,要求k 使()A k 取最小值,()A k 是积分上(下)限函数,故()()22241dA k k k dk=+-=+, 令0dA dk =,解得驻点1k =-,因为2240d Adk=>,则1k =-为()A k 在(),-∞+∞内唯一极小值点,即当1k =-时,所围成图形的面积最小. （2）参数方程情形【例6.16】求摆线()()sin ,1cos x a t t y a t =-=-()020t y π≤≤=及所围的面积. 解 所求面积为20(1cos )(1cos )S a t a t dt π=-⋅-⎰图 6.72220(12cos cos )a t t dt π=-+⎰221cos 2(12cos )2tat dt π+=-+⎰20312sin sin 224t t t π⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦23a π=【例6.17】求椭圆渐趋线()2233222cos ,sin c c x t y t c a b a b===-所围面积. 解 所求面积为223324sin cos c c S t t dt b a π'⎛⎫= ⎪⎝⎭⎰22322034sin cos sin c c t t tdt b aπ=⎰4422012sin (1sin )c t t dt abπ=--⎰438c abπ=.（3）极坐标情形【例6.18】求曲线2(2cos )r a θ=+所围成图形(见图6.7)的面积. 解 所求面积为()201222cos 2S a d πθθ=⋅+⎡⎤⎣⎦⎰ ()220444cos cos a d πθθθ=++⎰201cos 2444cos 2a d πθθθ+⎛⎫=++ ⎪⎝⎭⎰209sin 244sin 24a πθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦ 218a π=【例6.19】 求心脏线1cos r θ=+与圆3cos r θ=公共部分(见图6.8)的面积. 解 由3cos 1cos θθ=+得交点坐标为3,23π⎛⎫± ⎪⎝⎭,()2232031121cos (3cos )22S d d πππθθθθ⎡⎤=++⎢⎥⎣⎦⎰⎰54π=. 【例6.20】 求由双纽线()()222222x ya x y +=-所围成且在圆周22212x y a +=内部的图形(见图6.9)的面积.解将r =代入方程22cos2r a θ=中得6πθ=.令0r =代入22cos 2r a θ=中得4πθ=,故 226410611cos 222A d a d πππθθθ=+⎰⎰ 224611sin 22264a a πππθ=⋅⋅+2(633)24a π=+-, 214(66a A A π∴==+-.【例6.21】求由曲线2cos2r r θθ==及所围成的图形的公共部分（见图6.10）的面积.解 解方程组2cos 2r r θθ⎧=⎪⎨=⎪⎩，得两曲线的交点坐标为26π⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭. 所求的面积为1r =+图 6.9)2646112cos222S d dπππθθθθ=+⎰⎰[]64061112sin2sin2242πππθθθ⎡⎤=-+⎢⎥⎣⎦1626ππ=+=.2.体积的计算（1）旋转体的体积【例6.22】将抛物线24y ax=及直线x x=()x>所围成的图形绕x轴旋转，计算所得的旋转抛物体的体积.解()2,dV f x dxπ=其中()f x=所求体积()00222002x xV f x dx dx axπππ===⎰⎰.【例6.23】求曲线22,0y x x y=-=所围图形分别绕ox轴，oy轴旋转所成旋转体的体积.解所求体积为()22216215xV x x dxππ=-=⎰；()228223yV x x x dxππ=-=⎰。
高等数学第六章第二节定积分在几何学上的应用课件.ppt
解:
cos x 0,
2
x
2
s
2
2
2 2 0
1 y2 dx 1 ( cos x)2 dx
2 2
2 cos x dx
0
2
2
2
2
sin
x 2
2
0
4
的弧长.
例11. 计算摆线
一拱
的弧长 .
y
解: ds
(dd
x t
)2
(
d d
y t
)
2
d
t
o
a2 (1 cos t)2 a2 sin2 t d t
1 y2 dx
因此所求弧长
s b 1 y2 dx a
b
a
1 f 2(x) dx
y
y f (x)
ds
o a xxdxb x
(2) 曲线弧由参数方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
2 (t) 2 (t) dt
因此所求弧长
s
2 (t) 2 (t) d t
(3) 曲线弧由极坐标方程给出:
y b
o x ax
则 V 2 a y2 dx 0
(利用对称性)
2
b2 a2
a
(a
2
x2
)
dx
0
2
b2 a2
a2 x
1 3
x3
a 0
4 ab2
3
方法2 利用椭圆参数方程
则 V 20a y2 dx 2 ab2 sin3t d t
2 ab2 2 1
3
4 ab2
3
特别当b
=
a
定积分的应用 教案
定积分的应用教案教案标题：定积分的应用教案目标：1. 理解定积分的概念和性质。
2. 掌握定积分的计算方法。
3. 学会运用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的定义和性质。
2. 定积分的计算方法。
3. 定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 将实际问题转化为定积分的形式。
2. 运用定积分解决实际问题。
教学准备：1. 教学课件。
2. 教材《高等数学》相关章节。
3. 计算器和白板。
教学过程：一、导入（5分钟）1. 引入定积分的概念，通过提问和讨论激发学生对定积分的兴趣和思考。
2. 回顾不定积分的概念和性质，为学生理解定积分做铺垫。
二、概念讲解（15分钟）1. 讲解定积分的定义和性质，包括积分上限、下限的含义、可加性、线性性等。
2. 通过示例演示定积分的计算方法，如基本初等函数的定积分、换元积分法等。
三、定积分的计算（20分钟）1. 给出一些简单的定积分计算题目，引导学生运用所学的计算方法进行解答。
2. 对于较复杂的题目，引导学生分步骤进行计算，并注意化简和变形的技巧。
四、定积分的应用（25分钟）1. 介绍定积分在实际问题中的应用，如面积计算、物理问题中的质量、速度、功率等计算。
2. 给出一些实际问题，引导学生将问题转化为定积分的形式，并进行求解。
3. 强调解决实际问题时需注意问题的分析和建立数学模型的能力。
五、拓展与巩固（10分钟）1. 给学生一些拓展题目，要求他们运用所学的知识解决更复杂的问题。
2. 总结定积分的应用领域和方法，并鼓励学生在实际生活中运用所学知识。
六、作业布置（5分钟）1. 布置一些练习题，要求学生独立完成，并在下节课前交作业。
2. 鼓励学生积极思考、互相讨论，提高问题解决能力。
教学反思：本节课通过引导学生理解定积分的概念和性质，掌握定积分的计算方法，并运用定积分解决实际问题，旨在培养学生的数学思维和应用能力。
教学过程中，通过示例演示和实际问题的引导，帮助学生理解和掌握定积分的应用。
微积分教学课件第6章定积分第4节定积分的应用
y
y f (x)
y | f (x)|
ao
b
x
2
(2) 由连续曲线 y=f(x), y=g(x), 直线 x=a, x=b (a<b)
所围成的平面图形的面积:
若 f (x) g(x)，
y
y f (x)
面积:
y g(x)
a o x x dx
b
x
b
S a [ f ( x) g( x)]dx
第四节 定积分的应用
一、平面图形的面积
(1) 由连续曲线 y = f (x) ( f (x) 0), 直线 x=a, x=b (a<b)及x轴所围成的平面图形的面积
y
y f (x)
面积
S
b
f ( x)dx
a
a o x x dx b x
1
若f (x)有正有负, 则曲边梯形面积
为
b
S a | f ( x) |dx .
S(x)
a
x x+dx
bx
b
V a S( x)dx
14
例7 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中
心, 并与底面交成角 ,计算这平面截圆柱体所
得立体的体积.
解 建立坐标系如图,
R
垂直于 x轴的截面为直角
o
x
y
三角形,
R
截面面积 S( x) 1 (R2 x2 ) tan ,
x
2
所以立体体积
V 1 R (R2 x2 ) tan dx 2 R3 tan .
2 R
3
15
微元法
设V是总量，它是一些部分量ΔV 的和，在用定 积分求总量V 时，通常采用“微元法”，具体做法是：
定积分的应用教案
定积分的应用教案教案标题：定积分的应用教案教案目标：1. 理解定积分的概念和基本性质；2. 掌握定积分的计算方法；3. 能够应用定积分解决实际问题。
教学重点：1. 定积分的概念和性质；2. 定积分的计算方法；3. 定积分在实际问题中的应用。
教学难点：1. 定积分的应用题目的分析和解决方法；2. 定积分在实际问题中的应用。
教学准备：1. 教师准备：教学课件、教学实例、教学素材；2. 学生准备：教科书、笔记本、计算器。
教学过程：Step 1: 导入与概念讲解（15分钟）1. 引导学生回顾不定积分的概念和性质；2. 引入定积分的概念，解释定积分与不定积分的关系；3. 通过实例讲解定积分的定义和计算方法。
Step 2: 定积分的计算方法（20分钟）1. 介绍定积分的计算公式和基本性质；2. 通过一些简单的例题，引导学生掌握定积分的计算方法；3. 引导学生总结定积分计算的基本步骤和技巧。
Step 3: 定积分的应用（30分钟）1. 通过实际问题引入定积分的应用场景；2. 选择一些典型的应用例题，引导学生分析问题、建立数学模型，并应用定积分进行求解；3. 引导学生讨论和总结定积分在实际问题中的应用方法和思路。
Step 4: 练习与巩固（20分钟）1. 提供一些练习题，让学生巩固定积分的计算方法；2. 提供一些应用题，让学生独立解决实际问题；3. 鼓励学生互相讨论和分享解题思路。
Step 5: 总结与拓展（15分钟）1. 总结定积分的概念、性质、计算方法和应用；2. 引导学生思考定积分在其他学科和领域中的应用；3. 提供相关拓展资料，鼓励学生深入学习和研究。
教学延伸：1. 鼓励学生通过自主学习和探究，进一步拓展定积分的应用领域；2. 引导学生进行实际场景的观察和数据收集，尝试将问题转化为数学模型，并应用定积分进行求解；3. 鼓励学生参加数学建模比赛等活动，提升定积分应用能力。
教学评估：1. 课堂练习和作业的完成情况；2. 学生对定积分概念和计算方法的理解程度；3. 学生在实际问题中应用定积分的能力。
《高等数学》(同济六版)教学课件★第6章.定积分的应用
表示为
定积分定义
目录 上页 下页 返回 结束
二 、如何应用定积分解决问题 ?
第一步 利用“化整为零 , 以常代变” 求出局部量
近的似值
微分表达式
dU f (x) dx
第二步 利用“ 积零为整 , 无限累加 ” 求出整体量的
精确值
积分表达式
b
U a f (x) dx
这种分析方法称为元素法 (或微元分析法 )
元素的几何形状常取为: 条, 带, 段, 环, 扇, 片, 壳 等
第二节 目录 上页 下页 返回 结束
第二节
第六章
定积分在几何学上的应用
一、 平面图形的面积
二、 平面曲线的弧长 三、已知平行截面面积函数的
立体体积
目录 上页 下页 返回 结束
例8. 求双纽线
所围图形面积 .
解: 利用对称性 , 则所求面积为
y
1 a2 cos2 d
2
π 4
π
a2 4 cos 2 d (2 ) 0
O
ax
a2sin 2 a2
π 4
思考: 用定积分表示该双纽线与圆 r a 2 sin
所围公共部分的面积 .
答案:
π
A 2 6 a2 sin2 d 0
y Mi1
A M0 O
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
(证明略)
Mi
B Mn x
目录 上页 下页 返回 结束
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
ds (dx)2 (dy)2
1 y2 dx
因此所求弧长
(完整版)同济第六版《高等数学》教案WORD版-第06章定积分的应用
第六章定积分的应用教学目的1、理解元素法的基本思想；2、掌握用定积分表达和计算一些几何量（平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积）。
3、掌握用定积分表达和计算一些物理量（变力做功、引力、压力和函数的平均值等）。
教学重点：1、计算平面图形的面积、平面曲线的弧长、旋转体的体积及侧面积、平行截面面积为已知的立体体积。
2、计算变力所做的功、引力、压力和函数的平均值等。
教学难点：1、截面面积为已知的立体体积。
2、引力。
§6. 1 定积分的元素法回忆曲边梯形的面积:设y=f (x)≥0 (x∈[a,b]).如果说积分,⎰=b adx xfA)(是以[a,b]为底的曲边梯形的面积,则积分上限函数⎰=x adt tfxA)()(就是以[a,x]为底的曲边梯形的面积.而微分dA(x)=f (x)dx表示点x处以dx为宽的小曲边梯形面积的近似值∆A≈f (x)dx, f (x)dx称为曲边梯形的面积元素.以[a,b]为底的曲边梯形的面积A就是以面积元素f(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间的定积分:⎰=b adx xfA)(.一般情况下,为求某一量U,先将此量分布在某一区间[a,b]上,分布在[a,x]上的量用函数U(x)表示,再求这一量的元素dU(x),设dU(x)=u(x)dx,然后以u(x)dx为被积表达式,以[a,b]为积分区间求定积分即得⎰=b adx xfU)(.用这一方法求一量的值的方法称为微元法(或元素法).§6. 2 定积分在几何上的应用一、平面图形的面积1．直角坐标情形设平面图形由上下两条曲线y =f 上(x )与y =f 下(x )及左右两条直线x =a 与x =b 所围成, 则面积元素为[f 上(x )- f 下(x )]dx , 于是平面图形的面积为dx x f x f S b a ⎰-=)]()([下上.类似地, 由左右两条曲线x =ϕ左(y )与x =ϕ右(y )及上下两条直线y =d 与y =c 所围成设平面图形的面积为⎰-=dc dy y y S )]()([左右ϕϕ.例1 计算抛物线y 2=x 、y =x 2所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在x 轴上的投影区间: [0, 1].(3)确定上下曲线: 2)( ,)(x x f x x f ==下上.(4)计算积分31]3132[)(10323102=-=-=⎰x x dx x x S . 例2 计算抛物线y 2=2x 与直线y =x -4所围成的图形的面积.解 (1)画图.(2)确定在y 轴上的投影区间: [-2, 4].(3)确定左右曲线: 4)( ,21)(2+==y y y y 右左ϕϕ. (4)计算积分⎰--+=422)214(dy y y S 18]61421[4232=-+=-y y y . 例3 求椭圆12222=+by a x所围成的图形的面积. 解 设整个椭圆的面积是椭圆在第一象限部分的四倍, 椭圆在第一象限部分在x 轴上的投影区间为[0, a ]. 因为面积元素为ydx , 所以⎰=aydx S 04. 椭圆的参数方程为:x =a cos t , y =b sin t ,于是 ⎰=a ydx S 04⎰=02)cos (sin 4πt a td b⎰-=022sin 4πtdt ab ⎰-=20)2cos 1(2πdt t ab ππab ab =⋅=22.2．极坐标情形曲边扇形及曲边扇形的面积元素:由曲线ρ=ϕ(θ)及射线θ =α, θ =β围成的图形称为曲边扇形. 曲边扇形的面积元素为θθϕd dS 2)]([21=. 曲边扇形的面积为⎰=βαθθϕd S 2)]([21. 例4. 计算阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)上相应于θ从0变到2π 的一段弧与极轴所围成的图形的面积.解: ⎰=πθθ202)(21d a S 32203234]31[21πθπa a ==. 例5. 计算心形线ρ=a (1+cos θ ) (a >0) 所围成的图形的面积.解: ⎰+=πθθ02]cos 1([212d a S ⎰++=πθθθ02)2cos 21cos 221(d a πθθθπ20223]2sin 41sin 223[a a =++=.二、体 积1．旋转体的体积旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体. 这直线叫做旋转轴. 常见的旋转体: 圆柱、圆锥、圆台、球体.旋转体都可以看作是由连续曲线y =f (x )、直线x =a 、a =b 及x 轴所围成的曲边梯形绕x 轴旋转一周而成的立体.设过区间[a , b ]内点x 且垂直于x 轴的平面左侧的旋转体的体积为V (x ), 当平面左右平移dx 后, 体积的增量近似为∆V =π[f (x )]2dx , 于是体积元素为dV = π[f (x )]2dx ,旋转体的体积为dx x f V ba 2)]([π⎰=.例1 连接坐标原点O 及点P (h , r )的直线、直线x =h 及x 轴围成一个直角三角形. 将它绕x 轴旋转构成一个底半径为r 、高为h 的圆锥体. 计算这圆锥体的体积.解: 直角三角形斜边的直线方程为x hr y =. 所求圆锥体的体积为dx x h r V h 20)(π⎰=h x h r 0322]31[π=231hr π=. 例2. 计算由椭圆12222=+by a x所成的图形绕x 轴旋转而成的旋转体(旋转椭球体)的体积. 解: 这个旋转椭球体也可以看作是由半个椭圆 22x a ab y -= 及x 轴围成的图形绕x 轴旋转而成的立体. 体积元素为dV = π y 2dx ,于是所求旋转椭球体的体积为⎰--=aa dx x a ab V )(2222πa a x x a ab --=]31[3222π234ab π=. 例3 计算由摆线x =a (t -sin t ), y =a (1-cos t )的一拱, 直线y =0所围成的图形分别绕x 轴、y 轴旋转而成的旋转体的体积.解 所给图形绕x 轴旋转而成的旋转体的体积为 ⎰=a x dx y V ππ202⎰-⋅-=ππ2022)cos 1()cos 1(dt t a t a⎰-+-=ππ20323)cos cos 3cos 31(dt t t t a=5π 2a 3.所给图形绕y 轴旋转而成的旋转体的体积是两个旋转体体积的差. 设曲线左半边为x =x 1(y )、右半边为x =x 2(y ). 则⎰⎰-=a a y dy y x dy y x V 20212022)()(ππ ⎰⎰⋅--⋅-=πππππ022222sin )sin (sin )sin (tdt a t t a tdt a t t a⎰--=ππ2023sin )sin (tdt t t a =6π 3a 3 .2．平行截面面积为已知的立体的体积设立体在x 轴的投影区间为[a , b ], 过点x 且垂直于x 轴的平面与立体相截, 截面面积为A (x ), 则体积元素为A (x )dx , 立体的体积为dx x A V b a )(⎰=.例4 一平面经过半径为R 的圆柱体的底圆中心, 并与底面交成角α. 计算这平面截圆柱所得立体的体积.解: 取这平面与圆柱体的底面的交线为x 轴, 底面上过圆中心、且垂直于x 轴的直线为y 轴. 那么底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 立体中过点x 且垂直于x 轴的截面是一个直角三角形. 两个直角边分别为22x R -及αtan 22x R -. 因而截面积为αtan )(21)(22x R x A -=. 于是所求的立体体积为 dx x R V R R αtan )(2122-=⎰-ααtan 32]31[tan 21332R x x R R R =-=-. 例5. 求以半径为R 的圆为底、平行且等于底圆直径的线段为顶、高为h 的正劈锥体的体积.解: 取底圆所在的平面为x O y 平面, 圆心为原点, 并使x 轴与正劈锥的顶平行. 底圆的方程为x 2 +y 2=R 2. 过x 轴上的点x (-R <x <R )作垂直于x 轴的平面, 截正劈锥体得等腰三角形. 这截面的面积为22)(x R h y h x A -=⋅=.于是所求正劈锥体的体积为⎰--=R R dx x R h V 22h R d h R 2202221cos 2πθθπ==⎰ . 三、平面曲线的弧长设A , B 是曲线弧上的两个端点. 在弧AB 上任取分点A =M 0, M 1, M 2, ⋅ ⋅ ⋅ , M i -1, M i , ⋅ ⋅ ⋅, M n -1, M n =B , 并依次连接相邻的分点得一内接折线. 当分点的数目无限增加且每个小段M i -1M i 都缩向一点时, 如果此折线的长∑=-ni i i M M 11||的极限存在, 则称此极限为曲线弧AB 的弧长, 并称此曲线弧AB 是可求长的.定理 光滑曲线弧是可求长的.1．直角坐标情形设曲线弧由直角坐标方程y =f (x ) (a ≤x ≤b )给出, 其中f (x )在区间[a , b ]上具有一阶连续导数. 现在来计算这曲线弧的长度.取横坐标x 为积分变量, 它的变化区间为[a , b ]. 曲线y =f (x )上相应于[a , b ]上任一小区间[x , x +dx ]的一段弧的长度, 可以用该曲线在点(x , f (x ))处的切线上相应的一小段的长度来近似代替. 而切线上这相应的小段的长度为dx y dy dx 2221)()('+=+,从而得弧长元素(即弧微分)dx y ds 21'+=. 以dx y 21'+为被积表达式, 在闭区间[a , b ]上作定积分, 便得所求的弧长为⎰'+=ba dx y s 21. 在曲率一节中, 我们已经知道弧微分的表达式为dx y ds 21'+=, 这也就是弧长元素. 因此 例1. 计算曲线2332x y =上相应于x 从a 到b 的一段弧的长度. 解: 21x y =', 从而弧长元素dx x dx y ds +='+=112.因此, 所求弧长为b a b a x dx x s ])1(32[123+=+=⎰])1()1[(322323a b +-+=. 例2. 计算悬链线cx c y ch =上介于x =-b 与x =b 之间一段弧的长度. 解: cx y sh =', 从而弧长元素为 dx cx dx c x ds ch sh 12=+=. 因此, 所求弧长为⎰⎰==-b b b dx c x dx c x s 0ch 2ch cb c dx c x c b sh 2]sh [20==. 2．参数方程情形设曲线弧由参数方程x =ϕ(t )、y =ψ(t ) (α≤t ≤β )给出, 其中ϕ(t )、ψ(t )在[α, β]上具有连续导数.因为)()(t t dx dy ϕψ''=, dx =ϕ'(t )d t , 所以弧长元素为 dt t t dt t t t ds )()()()()(12222ψϕϕϕψ'+'='''+=. 所求弧长为⎰'+'=βαψϕdt t t s )()(22. 例3. 计算摆线x =a (θ-sin θ), y =a (1-cos θ)的一拱(0 ≤θ ≤2π )的长度.解: 弧长元素为θθθd a a ds 2222sin )cos 1(+-=θθd a )cos 1(2-=θθd a 2sin2=.所求弧长为⎰=πθθ202sin 2d a s πθ20]2cos 2[2-=a =8a . 3．极坐标情形设曲线弧由极坐标方程ρ=ρ(θ) (α ≤ θ ≤ β )给出, 其中r (θ)在[α, β]上具有连续导数. 由直角坐标与极坐标的关系可得x =ρ(θ)cos θ , y =ρ(θ)sin θ(α ≤θ ≤ β ).于是得弧长元素为θθθd y x ds )()(22'+'=θθρθρd )()(22'+=.从而所求弧长为⎰'+=βαθθρθρd s )()(22.例14. 求阿基米德螺线ρ=a θ (a >0)相应于θ 从0到2π 一段的弧长.解: 弧长元素为θθθθd a d a a ds 22221+=+=.于是所求弧长为⎰+=πθθ2021d a s )]412ln(412[222ππππ++++=a .§6. 3 功 水压力和引力一、变力沿直线所作的功例1 把一个带+q 电量的点电荷放在r 轴上坐标原点O 处, 它产生一个电场. 这个电场对周围的电荷有作用力. 由物理学知道, 如果有一个单位正电荷放在这个电场中距离原点O 为r 的地方, 那么电场对它的作用力的大小为2r q k F = (k 是常数). 当这个单位正电荷在电场中从r =a 处沿r 轴移动到r =b (a <b )处时, 计算电场力F 对它所作的功. 例1' 电量为+q 的点电荷位于r 轴的坐标原点O 处它所产生的电场力使r 轴上的一个单位正电荷从r =a 处移动到r =b (a <b )处求电场力对单位正电荷所作的功.提示: 由物理学知道, 在电量为+q 的点电荷所产生的电场中, 距离点电荷r 处的单位正电荷所受到的电场力的大小为2r q k F = (k 是常数). 解: 在r 轴上, 当单位正电荷从r 移动到r +dr 时, 电场力对它所作的功近似为dr r q k2, 即功元素为dr r q kdW 2=. 于是所求的功为dr rkq W b a 2⎰=b a r kq ]1[-=)11(b a kq -=. 例2. 在底面积为S 的圆柱形容器中盛有一定量的气体. 在等温条件下, 由于气体的膨胀, 把容器中的一个活塞(面积为S )从点a 处推移到点b 处. 计算在移动过程中, 气体压力所作的功. 解: 取坐标系如图, 活塞的位置可以用坐标x 来表示. 由物理学知道, 一定量的气体在等温条件下, 压强p 与体积V 的乘积是常数k , 即pV =k 或Vk p =. 解: 在点x 处, 因为V =xS , 所以作在活塞上的力为xk S xS k S p F =⋅=⋅=. 当活塞从x 移动到x +dx 时, 变力所作的功近似为dx xk , 即功元素为dx xk dW =. 于是所求的功为dx x k W b a ⎰=b a x k ][ln =ab k ln =.例3. 一圆柱形的贮水桶高为5m , 底圆半径为3m , 桶内盛满了水. 试问要把桶内的水全部吸出需作多少功？解: 作x 轴如图. 取深度x 为积分变量. 它的变化区间为[0, 5], 相应于[0, 5]上任小区间[x , x +dx ]的一薄层水的高度为dx . 水的比重为9.8kN/m 3, 因此如x 的单位为m , 这薄层水的重力为9.8π⋅32dx . 这薄层水吸出桶外需作的功近似地为dW =88.2π⋅x ⋅dx ,此即功元素. 于是所求的功为⎰=502.88xdx W π502]2[2.88x π=2252.88⋅=π(kj). 二、水压力从物理学知道, 在水深为h 处的压强为p =γh , 这里 γ 是水的比重. 如果有一面积为A 的平板水平地放置在水深为h 处, 那么, 平板一侧所受的水压力为P =p ⋅A .如果这个平板铅直放置在水中, 那么, 由于水深不同的点处压强p 不相等, 所以平板所受水的压力就不能用上述方法计算.例4. 一个横放着的圆柱形水桶, 桶内盛有半桶水. 设桶的底半径为R , 水的比重为 γ , 计算桶的一个端面上所受的压力.解: 桶的一个端面是圆片, 与水接触的是下半圆. 取坐标系如图.在水深x 处于圆片上取一窄条, 其宽为dx , 得压力元素为dx x R x dP 222-=γ.所求压力为⎰-=R dx x R x P 022 2γ)()(2221220x R d x RR ---=⎰γR x R 02322])(32[--=γ332R r =. 三、引力从物理学知道, 质量分别为m 1、m 2, 相距为r 的两质点间的引力的大小为221r m m G F =, 其中G 为引力系数, 引力的方向沿着两质点连线方向.如果要计算一根细棒对一个质点的引力, 那么, 由于细棒上各点与该质点的距离是变化的, 且各点对该质点的引力的方向也是变化的, 就不能用上述公式来计算.例5. 设有一长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒, 在其中垂线上距棒a 单位处有一质量为m 的质点M . 试计算该棒对质点M 的引力.例5'. 求长度为l 、线密度为ρ的均匀细直棒对其中垂线上距棒a 单位处质量为m 的质点M 的引力.解: 取坐标系如图, 使棒位于y 轴上, 质点M 位于x 轴上, 棒的中点为原点O . 由对称性知,引力在垂直方向上的分量为零, 所以只需求引力在水平方向的分量. 取y 为积分变量, 它的变化区间为]2 ,2[l l -. 在]2,2[l l -上y 点取长为dy 的一小段, 其质量为ρdy , 与M 相距22y a r +=. 于是在水平方向上, 引力元素为2222y a a y a dy m G dF x +-⋅+=ρ2/322)(y a dy am G +-=ρ. 引力在水平方向的分量为⎰-+-=222/322)(l l x y a dy am G F ρ22412la a l Gm +⋅-=ρ.。
高等数学 第六章定积分的应用习题课
A1
1 2d
02
2a2(2 cos )2d
0
a2 (4 4cos cos2 )d 9 a2 0
则所求的几何面积为 A 2 A1 18 a2
【例5】设由曲线
y
sin x (0
x
)，y
2
1
及x
0围成
平面图形A绕x 轴,y 轴旋转而成的旋转体的体积。
则绕直线 y
1 2
旋转而成
的旋转体的体积微元dV
就是矩形S1
分别绕直线 y
1 2
旋转而成的旋转体的体积。
解: (1) 确定积分变量和积分区间：
绕直线 y 1 旋转如图 ，
y
2
1
取 x为积分变量,则 x [0, ].
2
(2) 求微元：对 x [0, ],
2
[x, x dx] [0, ],
0
1 dy]
1 y2
[(arcsin1)2 2
1
(arcsin y)d(
1 y2 )]
0
3 [2
4
1 y2 arcsin y 2 y]10
3 2
4
通过例5，同样可求出绕平行于x 轴和平行于 y 轴的直线
旋转而成的旋转体的体积，见例6。
【例6】设由曲线 y sin x (0 x ), x 及 y 0围成
（2）求微元：因为过点 x 的截面为等边三角形（如图），
其边长为 2 4 x2 ,高为 2 4 x2 3 .
2
所以截面积为
A( x) 1 2 4 x2 2 4 x2 3
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高等数学第六章定积分应用综合测试题第六章 定积分应用测试题A 卷一、填空题（20分）1、定积分()20a a x dx ⎤-⎦⎰表示一平面图形的面积，这一图形的边界曲线方程是 .2、设一放射性物质的质量为()m m t =，其衰变速度()dmq t dt=，则从时刻1t 到2t 此物质分解的质量用定积分表示为 .3、抛物线232y x x =--与Ox 轴所围成图形的面积 .4、由极坐标方程()ρρθ=所确定的曲线及(),θβθβαβ==<所围扇形的面积为 .二、选择题（20分）1、曲线ln ,ln ,ln (0)y x y a y b a b ===<<及y 轴所围图形的面积A ，则A = [ ]（A ）ln ln ln b axdx ⎰; （B ）ba e x ee dx ⎰; （C ）ln ln b yae dy ⎰; （D ）ln ab e exdx ⎰.2、曲线x y e =下方与该曲线过原点的切线左方及y 轴右方所围成的图形面积A = [ ].（A ）()10x e ex dx -⎰; （B ）()1ln ln ey y y dy -⎰;（C ）()1e x e ex dx -⎰; （D ）()1ln ln y y y dy -⎰.3、曲线2ln(1)y x =-上102x ≤≤一段弧长s = [ ].（A）; （B ）1222011x dx x+-⎰; （C）; （D）. 4、矩形闸门宽a 米，高h 米，垂直放在水中，上沿与水面齐，则闸门压力F =[ ].（A ）0hahdh ⎰; （B ）0aahdh ⎰;（C ）012hahdh ⎰; （D ）02h ahdh ⎰.三、解答题1、（10分）求曲线23(4)y x =-与纵轴所围成图形的面积.2、（10分）求由圆22(5)16x y +-=绕x 轴旋转而成的环体的体积.3、（10分）试证曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长等于椭圆2222x y +=的周长.4、（10分）设半径为1的球正好有一半浸入水中，球的密度为1，求将球从水中取出需作多少功？5、（20分）设直线y ax =与抛物线2y x =所围成图形的面积为1S ，它们与直线1x =所围成的图形面积为2S .并且1a <.如图6.25. （1） 试确定a 的值，使12S S +达到最小，并求出最小值；（2） 求该最小值所对应的平面图形绕x 轴旋转一周所得旋转体的体积.第六章 定积分应用测试题B 卷一、填空题（20分）1、求曲线222,82x y x y =+=所围图形面积A （上半平面部分），则A = .2、曲线3cos ,1cos r r θθ==+所围图形面积A = .3、求曲线sin ,1cos ,x t t y t =-⎧⎨=-⎩从0t =到t π=一段弧长s = .4、曲线()0,,2,0xy a a x a x a y =≤===与直线及所围成的图形绕Ox 轴旋转一周所得旋转体的体积V = .二、选择题（20分）1、曲线1,,2y y x x x===所围图形的面积为A ，则A =[ ]（A ）2l1()x dx x -⎰; （B ）2l 1()x dx x-⎰;（C ）22l l 1(2)(2)dy y dy y -+-⎰⎰; （D ）22l l 1(2)(2)dx x dx x-+-⎰⎰.2、摆线()()()sin ,01cos ,x a t t a y a t =-⎧⎪>⎨=-⎪⎩一拱与x 轴所围成的图形绕x 轴旋转的旋转体体积V = [ ]（A ）()22201cos a t dt ππ-⎰; （B ）()()22201cos sin aa t d a t t ππ--⎡⎤⎣⎦⎰;（C ）()()22201cos sin a t d a t t ππ--⎡⎤⎣⎦⎰; （D ）()22201cos aa t dt ππ-⎰. 3、星形线33cos sin x a ty a t ⎧=⎨=⎩的全长s = [ ]（A ）()2204sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰; （B ）()0224sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰;（C ）()22sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰; （D ）()022sec 3cos sin t a t t dt π⋅-⎰.4、半径为a 的半球形容器，每秒灌水b ，水深()0h h a <<，则水面上升速度是[ ]（A ）20h d y dy dhπ⎰; （B ）()220h d a y a dy dhπ⎡⎤--⎣⎦⎰; （C ）20h d b y dy dh π⎰; （D ）20(2)hd b ay y dy dh -⎰. 三、解答题1、（13分）由两条抛物线22,y x y x ==所围成的图形.（1）计算所围成图形的面积A ；（2）将此图形绕x 轴旋转，计算旋转体的体积.2、（15分）由曲线23y x =，直线2x =及x 轴所围图形记作D ， （1）求D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积； （2）求D 绕直线3x =旋转所得旋转体的体积；（3）求以D 为底且每个与x 轴垂直的截面均为等边三角形的立体的体积. 3、（12分）曲线24cos 2r θ=与x 轴在第一象限内所围图形记作D ，试在曲线24cos 2r θ=上求一点M ，使直线OM 把D 分成面积相等的两部分. 4、（10分）设某潜水艇的观察窗的形状为长、短半轴依次为,a b 的半椭圆，短轴为其上沿，上沿与水面平行，且位于水下c 处，试求观察窗所受的水压力.5.(10分)求曲线x x y 22-=，0=y ，1=x ，3=x 所围成的平面图形的面积S ，并求该平面图形绕y 轴旋转一周所得的旋转体的体积。
综合测试题A 卷答案一、填空题1、上半圆y =y a x =-和直线2ax =； 2、()21t t q t dt ⎰； 3、323；4、()212d βαρθθ⎰.二、选择题1、C;2、A;3、B ；4、A. 三、解答题1、先求交点，令0x =得264y =，故128,8y y =-=，及曲线与纵轴交点为()()0,8,0,8-.又234x y =-，所以2883883(4)255S xdy y dy --==-=⎰⎰.2、因为5y =±而44x -≤≤，所求环体体积是由半圆5y =+与半圆5y =x 轴旋转生成的旋转体体积之差，即42224[(5(5]160V dx ππ-=+--=⎰.3、因为椭圆方程为2222x y +=，即2212x y +=，则其参数方程为()02sin x tt y tπ⎧=⎪≤≤⎨=⎪⎩， 由椭圆关于,x y 轴的对称性，所以周长144s ==.而曲线sin (02)y x x π=≤≤的弧长244s ==2x t π=- 4.故12s s =.4、将球提出水面的力等于露出水面部分的重量，其数值等于球露出水面部分的体积：32022(1)(),333h h z dz h ππππ+-=+-⎰其中h 为球心向上移动距离（01h ≤≤），故将球从水中取出所作的功为310221113()()33321212h W h dh πππππ⎡⎤=+-=+-=⎢⎥⎣⎦⎰.5、解（1）当01a <<时（如图一）()()122120a aS S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰23322101()()2332323a aax x x ax a a =-+-=-+.令 2102S a '=-=，得a =，又0,S ''=>则S 是极小值及最小值.其值为 13S == 当0a ≤时，()()0122120a S S S ax x dx x ax dx =+=-+-⎰⎰31623a a --+，2211(1)222a S a '=--=-+0<，S 单调减少，故0a =时，S 取得最小值，此时13S =.综合上述，当a =时，S 为所求最小值，最小值为26.(2) 12442011()()22x V x x dx x x dx ππ=-+-=5533111655630x x x x πππ⎛⎛-+-=⎝⎝.综合测试题B 卷答案一、填空题1、222)2x dx --⎰； 2、223203112(1cos )(3cos )22d d πππθθθθ⎡⎤++⎢⎥⎣⎦⎰⎰；3、0atdt π⎰；4、22()a a adx xπ⎰..二、选择题1、C;2、B ;3、B ；4、D 三、解答题 1、（1）)3312120021333x A x dx x ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭⎰.（2）()25141003.2510x x V x x dx πππ⎛⎫=-=-=⎪⎝⎭⎰ 2、（1）D 绕y 轴旋转所得旋转体的体积12104243y V dy ππ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭⎰（2）D 绕直线3x =旋转所得旋转体的体积()222023324V x x dy ππ=-⋅=⎰（3）以D 为底且与x 轴垂直呈等边三角形的的立体的平行截面的面积为()224133sin 23S x x x π=⋅⋅⋅=因此平行截面的面积为()S x的立体体积430V dx==⎰.3、设()000,M rθ为曲线上一点，则截下部分的曲边扇形面积0021000114cos2sin222S r d dθθθθθθ===⎰⎰D的面积24400114cos2122S r d dππθθθ===⎰⎰.由条件112S S=，即得1sin22θ=，所以012πθ=.对应的r==M的极坐标为4、建立如图6.26所示的坐标系椭圆方程为22221x ya b+=，则()(0022a aP g c x ydx g c xρρ=+=+⎰⎰令sinx a t=，则()2212sin cos243P gab c a t tdt gab c aππρρ⎛⎫=+=+⎪⎝⎭⎰.其中ρ为水的密度，g为重力加速度.5.解：所求面积21SSS+=，(图6.27)dxxxS⎰-=2121)2(32)311()384()31(2132=---=-=xx32233222)31()2(xxdxxxS-=-=⎰图6.26)34)438()99(=---=。
221=+=S S S 。
平面图形1S 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积 π-+++π=π-++π=⎰⎰--dy y y dy y V )122()11(012011 π=π-+--π=π-+++π=-611)]212(34[])1(34212[01232y y y ， 平面图形2S 绕y 轴旋转一周所得旋转体体积dy y y dy y V )122(27)11(2732302+++π-π=++π-π=⎰⎰ π=-++π-π=+++π-π=643)34332296(27])1(34212[2730232y y y ， 故所求旋转体的体积π=π+π=+=964361121V V V 。