数列知识点总结(自我整理 最全)

数列最全知识点归纳总结 重庆万州ZHOU 整理

等差数列

等差数列的概念

定 义 式：*),2(1N n n d d a a n n

∈≥=--为常数，，或*)(1N n d a a n n ∈=-+.

递 推 式：*)(1N n d a a n n ∈+=+.

等差中项：任何两个数b a ,都有且仅有一个等差中项A ⎪⎭

⎫

⎝

⎛+=2b a A . 通项公式：d n a a n

)1(1-+=，d m n a a m n )(-+=（广义）.

特征：b kn a n

+=，其中d a b d k -==1,.

前n 项和：d n n na d n n na n a a S n n n 2

)

1(2)1(2)(11--=-+=+=

. 特征：Bn An S n +=2

，其中2

,21d a B d A -==

. 注：1.等差数列的定义式和递推式、等差中项、等差数列通项公式的特征、前n 项和的特征，

都可以作为一个数列是等差数列的判定依据，但等差数列的证明必须根据定义式. 2.对任何数列，都有⎩⎨

⎧∈≥-==-.

*,2 ,,1

,11N n n S S n S a n n n

等差数列的性质

1. 若{}n a 为等差数列，则d m n a a m n )(-+=*),(N n m ∈.

2. 若{}n a 为等差数列，且*),,,(N q p n m q p n

m ∈+=+，则q p n m a a a a +=+.

3. 若{}n a 为等差数列，，则项数中间项 )12(12⨯=-⋅=-n a S n n .

4. 若等差数列{}n a 共有12+n 项，则①中偶奇a S S =-；② n

n S S 1

+=偶奇. 5. 若等差数列{}n a 共有n 2项，则①nd S S =-奇偶；②n

n a a S S 1+=奇偶.

6. 若{}n a 为各项均不为零的等差数列，前n 项和为,n S ，则

1

2121212--⋅=--n m S S a a m n m n . 7. 若{}n a 、{}n b 均为各项非零的等差数列，前n 项和分别为n n T S ,，则1

21

2--=n n n n T S b a . 8. 在等差数列{}n a 中，若)(,n m m a n a n m ≠==，则0=+n m a .

9. 在等差数列{}n a 中，若)(,n m m S n S n m ≠==，则)(n m S n m +-=+. 10.在等差数列{}n a 中，若)(n m S S n m ≠=，则0=+n m S .

11.若{}n a 为等差数列，则{}b ka n +仍为等差数列，其中k 和b 是常数. 12.若{}n a 、{}n b 为等差数列，则{}n n b a +仍为等差数列.

13.若{}n a 为等差数列，则序号成等差的项也成等差数列，即：若{}n a 为等差数列，{}n b 为 正整数等差数列，则

{}n

b a 为等差数列.

14.n S 为数列{}n a 的前n 项和，则{}n a 为等差数列⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧⇔n S n 为等差数列. 15.若{}n a 为等差数列，则{}n a 依次k 项和仍为等差数列，即.,,232k k k k k S S S S S --…仍为 等差数列.

等比数列

等比数列的概念

定 义 式：

*),2,0(1

N n n q q a a n n

∈≥≠=-常数，或*)(1N n q a a n n ∈=+. 递 推 式：*)(1

N n q a a n n ∈=+.

等比中项：两个同号的实数b a ,才有但有两个等比中项G ()

ab G ±=. 通项公式：11-=n n

q a a ，m n m n q a a -=（广义）.

前n 项和：当1=q 时，1na S n =，

当1≠q 时，1

111111)

1(111)1(--+--=

--=--=--=q q a q a a q q a a q q a S n n n n n n . 特征：)0)(1(≠-=A q A S n

n .

注：非零常数列既是等差数列也是等比数列，反之亦然.

等比数列的性质

1. 若{}n a 为等比数列，则m

n m n q a a -=*),(N n m ∈.

2. 若{}n a 为等比数列，且*),,,(N q p n m q p n

m ∈+=+，则q p n m a a a a =.

3. 若{}n a 为等比数列，则{}n ka 仍为等比数列，其中k 是非零．．

常数. 4. 若{}n a 为等比数列，则当()k

n a 恒有意义时(){

}

k

n a 仍为等比数列，其中k 是任意常数.

5. 若{}n a 、{}n b 为等比数列，则{}n n b a 、⎭

⎬⎫

⎩⎨

⎧n n b a 仍为等比数列. 6. 若{}n a 为等比数列，则序号成等差的项也成等比数列，即：若{}n a 为等比数列，{}n b 为 正整数等差数列，则

{}n

b a 为等比数列.

7. n T 为正项数列{}n a 的前n 项积，则{}n a 为等比数列{}n

n

T ⇔

为等比数列.

8. 若k S 为等比数列{}n a 的前n 项和，且0≠k S ，则{}n a 依次k 项和仍为等比数列， 即.,,232k k k k k S S S S S --…仍为等比数列.

注：等比数列各项积的性质类似于等差数列各项和的性质，应用范围较小，故未写入.

等差数列与等比数列的联系

1. 非零常数列，也只有非零常数列，即是等差数列也是等比数列。

2. 等差数列与等比数列可以相互转化.事实上，若{}n a 是等比数列，则{}

n c a log 是等差数列； 若{}n a 是等差数列，则{}n

a c

是等比数列，其中c 是常数，且1,0≠>c c .

3. 等差数列和的运算与等比数列积的运算有类似的性质，等差数列差的运算与等比数列商的 运算有类似的性质.

2．判断和证明数列是等差（等比）数列常有三种方法：

(1)定义法：对于n≥2的任意自然数,验证11(/)n n n n a a a a ---为同一常数。 (2)通项公式法：

①若 = +（n-1）d= +（n-k ）d ，则

{}n a 为等差数列；

②若

，则

{}n a 为等比数列。

(3)中项公式法：验证

都成立。 3. 在等差数列

{}n a 中,有关S n

的最值问题——常用邻项变号法求解：

(1)当 >0,d<0时，满足

的项数m 使得

取最大值.