理论力学第三章碰撞

（2）第三章
碰撞
2020年9月29日
(2)第三章 碰撞
§3-1 碰撞的分类 碰撞问题的简化 §3-2 用于碰撞过程的基本定理 §3-3 质点对固定面的碰撞 恢复因数 §3-4 碰撞问题举例 §3-5 撞击中心
§3-1 碰撞的分类 碰撞问题的简化
1.碰撞的分类
按几何条件分类 对心碰撞： 碰撞物体接触点的公法线通过两物体
C
vC
无滑动的滚动，运动过程
h
中，突然遇到高度为 h
(h< r)的凸台，发生完全
非弹百度文库碰撞。
求：碰撞后圆柱体的角速度、质心速度、碰撞冲量。
§3-4 碰撞问题举例
例题5
§3-4 碰撞问题举例
例题5
解：1、碰撞过程分析
n
C
vC
mg O' O
F FN
v'C
n C '
O
O' In I
h h
碰撞前
碰撞后
§3-4 碰撞问题举例
例题5
n
v'C
解：2、确定碰撞后的速度和角速度
C ' O
碰撞前后圆柱体对O点动量矩守恒
O' In I
h
LO＝LO
碰撞前 LO＝mvC r h JC
JC
1 2
mr 2
碰撞后 LO＝J O
J O＝J C
mr 2
3 mr2 2
1
2r h
r 3r
vC
1 2cos
3r
vC
§3-4 碰撞问题举例
常数 e 恒取正值
称为恢复因数
v v
§3-3 质点对固定面的碰撞 恢复因数
2.恢复因数
恢复因数需要用试验测定 v 2gh1 v 2gh2
得恢复因数
e v h2 v h1
A
h1 h2
B
2.恢复因数
球A与固定平面的斜碰撞情形
vA α β vA
e＝ vB n vAn vAn vBn
vB n＝vBn＝0,
2.碰撞现象的特点
竞赛试题
2.碰撞现象的特点
竞赛试题
2.碰撞现象的特点
几个工程实际问题
这与碰撞有 关系吗？
§3-1 碰撞的分类 碰撞问题的简化
3. 碰撞问题的基本假设
由于碰撞时碰撞力极大而碰撞时间极 短，在研究一般的碰撞问题时，通常做如 下两点简化：
3. 碰撞问题的基本假设
（1）在碰撞过程中由于碰撞力非常大， 重力、弹性力等等普通力远远不能与之相比， 因此在碰撞过程中普通力的冲量忽略不计。 （2）由于碰撞过程非常短促， 碰撞过程中速度变化为有限值，物体在碰撞 开始和碰撞结束时的位置变化很小， 因此在碰撞过程中物体的位移忽略不计。
内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快
衰减。 铁锤打击钢板
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.00044s;
撞击力峰值 1491 N，
静载作用的335倍。
2.碰撞现象的特点
撞击力的瞬时性－撞击力在很短的时间间隔 内发生急剧变化：急剧增加到最大值后，很快 衰减。
C
B
A
v
§3-4 碰撞问题举例
例 题3
解:(1)取小球为研究对象.
I′
mu + mv = I 取杆为研究对象
C
B
A
uC
v
MuC = I
1 M l 2 1 l I
12
2
u
vA = uC + l/2
e vA u v
I
联立上述五式得:
6(e 1)mv
(M 4m)l
§3-4 碰撞问题举例
刚体平面运动微分方程的积分形式
mxC 2
mxC1
I
e x
myC 2
my C1
I
e y
J C2 JC1 M C (I e )
§3-3 质点对固定面的碰撞 恢复因数
1.质点对固定面的碰撞
第一阶段碰撞冲量为 I1
y
0 (mv) I1
第二阶段碰撞冲量为 I2
于是得
mv 0 I2
v I2 v I1 v e v
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A
mA »mB T 0 mB
锤头的动能绝大部分转变为
锤头与桩一起运动的动能。
打桩传递的动量一定时，桩 的质量mB越小，其速度v‘B越大。
§3-4 碰撞问题举例
例题2
两个质量和直径都相同的钢
球A和B，由不计质量的刚性杆
A
B
相连。自高度h处自由落下，
例题5
解：2、确定碰撞后的速度和角速度
n
v'C
C '
O
O' In I
h
1
2r h
r 3r
vC
1 2cos
3r
vC
vC
r
1 2cos
3
vC
§3-4 碰撞问题举例
例题5
n
v'C
C '
O
O' In I
mvC n
mvCn
I
e n
mvC
mvC
I
e
h
解：3、计算碰撞冲量
应用质心运动定理的积分形式
uC
B
6 7
S m
§3-4 碰撞问题举例
突加约束问题
§3-4 碰撞问题举例
突加约束问题
运动的刚体突然受到其他物体的阻碍， 发生碰撞，在接触处发生完全不可恢复的 变形，亦即产生完全非弹性碰撞－突然施 加约束，简称突加约束。
§3-4 碰撞问题举例
例题5
质量为m、半径为r的
均质圆柱体，以质心速度
vC在水平面上自左向右作
的质心. 偏心碰撞：碰撞物体接触点的公法线不通过两物体
的质心. 按运动条件分类 正碰撞： 接触点的相对速度沿公法线方向.
斜碰撞： 接触点的相对速度不沿公法线方向.
§3-1 碰撞的分类 碰撞问题的简化
1.碰撞的分类
按恢复因数分类
0 e 1 非完全弹性碰撞：能量损耗， 变形不能完全恢复。
e 1
完全弹性碰撞：无能量损耗，
＝ vC
r
＝ vC
r
凸台与圆柱体接触处不是光滑接触，因而存在碰撞摩擦
力，故有碰撞冲量I和In (忽略非碰撞力的冲量) 。
§3-4 碰撞问题举例
例题5
解：2、确定碰撞后的速度和角速度
n
v'C
C '
O
O' In I
h
LO LO＝MO (I e ) I 和In通过O点，MO(Ie)＝0
LO＝LO
碰撞前后圆柱体对O点动量矩守恒
刚体定轴转动微分 方程的积分形式
刚体定轴转动的运动微分方程
JO MO (F e )
刚体定轴转动的运动微分方程的积分形式
J O2 J O1 M O (I e )
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
刚体平面运动微分 方程的积分形式
刚体平面运动微分方程
mxC Fx myC Fy JC MC (F e )
I1
d
I2
与刚性杆组成的系统作平面运动，碰
撞前、后的角速度分别为1＝0和2 。
应用刚体平面运动微分方程的积分形式
my C 2
myC1
I
e y
J C2 JC1 M C (I e )
§3-4 碰撞问题举例
例题2
v'A A
I1
d
应用刚体平面运动微分方程的积分形式
v'B B
my C 2
myC1
I
e y
变形能完全恢复。
e0
完全非弹性碰撞（塑性碰撞）：能量
完全损耗，变形完全不能恢复。
§3-1 碰撞的分类 碰撞问题的简化
2.碰撞现象的特点
在极短的时间内(10-310-4 s)速度突然变化， 产生极大的碰撞力(一般力的几百倍,几千倍)， 发生的有限的动量传递与能量转化.
2.碰撞现象的特点
撞击力的瞬时性－撞击力在很短的时间间隔
d 2
e1＝
vA v
vA 2gh
vA e1 2gh
e2＝
vB v
vB 2gh
vB e2 2gh
2
e1
e2 d
2gh 0.572rad/s
§3-4 碰撞问题举例
例题3
质量为M长为l 的均质直杆AB置于光滑水平面上, 有一质量为m, 速度为v的小球垂直碰上直杆的A端.
若恢复系数为e. 求杆转动的角速度.
mxC 2
mxC1
I
e x
vC n 0
myC 2
myC1
I
e y
vC
vC
1
2cos
3
vC
vCn vC sin
vC vC cos
I n mvC sin
Iτ
mvC
1-
cos
3
§3-5 撞击中心
具有质量对称平面的刚体绕垂
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
质点系动量定理的积分形式
冲量定理
n
n
n
mi vi mi vi
i 1
i 1
i 1
t2 t1
Fi dt
n i 1
I
e i
p2
p1
I
e R
在一定的时间间隔内，质点系动量的改变等于 同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量 的主矢。
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
J C2 JC1 M C (I e )
I2
m(vA v) I1
m(vB v) I 2
m
d 2
2
m
d 2
2
2
0
(I1
I2
)
d 2
§3-4 碰撞问题举例
例题2
m(vA v) I1
m(vB v) I 2
m d
球A和B的恢复系 数 2
2
m
d 2
2
2
0
(I1
I2)
质点系动量矩定理的积分形式
冲量矩定理
n
n
ri mi vi ri mi vi
i 1
i 1
n
i 1
t2 t1
ri
d
I
e i
n
LO2 LO1
M
O
(
I
e i
)
MO (I e)
i 1
在一定的时间间隔内，质点系动量矩的改变等于
同一时间间隔内，作用在质点系上所有外力冲量矩
的主矩。
§3-2 用于碰撞过程的基本定理
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：作为半定量分析，假设汽锤和打桩机锤头的 打击过程均为完全非弹性碰撞，即塑性碰撞：k = 0。
打击前，被打击物(铁砧及其上之被锻造的金属， 桩)即为静止状态，即vB＝0。
T＝
2
mAmB mA mB
1 e2
vA vB 2
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
hh
铜 dd
同时分别与铜板和钢板碰撞。 钢 已知：球与钢板和铜板碰撞的
恢复系数分别为 e1=0.6和 e2=0.4。
求：碰撞后刚性杆的角速度。
§3-4 碰撞问题举例
例题2
v'A A
v'B
解：设A、B球的质量均为m,碰撞
B
前的速度即为v,碰撞后的速度分别为
vA 和 vB ,碰撞冲量分别为 IA 和 IB。球
ml2O 0 I Axl 对AB杆进行冲量分析.
(2)
O
ωO
IOx
ωO
应用冲量定理和冲量矩定理
I´Ay
A
I´Ax
muC - 0 = S - I´Ax
1 12
ml
2 AB
0
1 2
I
A xl
S
C
联立(1)---(4)式得:
(3) A
IAx
(4)
S
CIAy
AB
ω AB
O
3 7
S ml
AB
6 7
S ml
例题3
(2)取整体为研究对象. uC
系统动量和动量矩均守恒.
C
B
A
mv = MuC- mu
v
mv l 1 Ml2 mu l
2 12
2
e vA u v
vA = uC + l/2
u
联立上述四式得:
6(e 1)mv
(M 4m)l
§3-4 碰撞问题举例
例题4
两根质量均为m、长均为l 的 均质杆OA和 AB以铰链连接, 并用铰链O支持,如图所示 . 今在 AB 杆的中点 C 作用一 水平冲量 S ,求两杆的角速度 和C点的速度.
O
A
S
C
B
§3-4 碰撞问题举例
例题4
解:取系统为研究对象进行运动分析.
OA杆作定轴转动. AB杆作平面运动C为质心.
O
ωO
vA = l O
uC= vA + vCA
lO
1 2
lAB
(1)
A
vA
S
C
uc
AB
B
§3-4 碰撞问题举例
例题4
IOy
对OA杆进行冲量分析. 对O点列出冲量矩定理:
O
1 3
几个工程实际问题
mA
vA
B A
两飞船对接
vB
mB
2.碰撞现象的特点
几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
2.碰撞现象的特点
几个工程实际问题
请注意撞击 物与被撞击物 的特点！
2.碰撞现象的特点
几个工程实际问题
击球手的手握在哪里 所受的撞击力最小？
2.碰撞现象的特点
几个工程实际问题
请注意这一装 置的功能，与碰 撞有没有关系？
e＝ vAn vA cos vAn vA cos
水平方向动量守恒 mvA sin ＝mvA sin
B
e＝ tan
tan
§3-4 碰撞问题举例
例题1
锻造用的汽锤锤重与打桩机锤头重量均为 mAg; 汽锤的铁 砧与桩的重量均为 mBg。汽锤和打桩机的锤头打击前速度 均为 vA
试分析：汽锤与打桩机在打击过程中的动量传递与能量转换。
T1 m
A
mB
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：汽锤和打桩机锤头打击前后的动能变化
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A
mB
T1＝
1 2
m
A
v
2－
A
打
击前瞬
时
锤
头的
动能。
这一结果表明：完全非弹性碰撞(塑性碰撞)前后 动能的变化，不仅与碰撞前瞬时碰撞物的总动能有 关，而且和碰撞物与被碰撞物的质量比有关。
铁锤打击人体
锤重4.45N;
碰撞前锤的速度 457.2 mm/s;
塑料
碰撞的时间间隔 0.01s;
撞击力峰值 244.8 N，
静载作用的55倍。
2.碰撞现象的特点
撞击过程中能量的急剧转换－撞击过程中， 各种机械能之间、机械能与其他形式能量之间 以极快的速度转换。
m
势能
动能 m
弹性应变能
2.碰撞现象的特点
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：锻压机的能量转换与动量传递分析
T＝ mAmB
2 mA mB
v
A
2＝ 1
T1 m
A
mA «mB
mB T T1
锤头的动能绝大部分转变为
被锻造金属的塑性变形能。
汽锤传递的动量一定时，铁 砧质量mB越大，其速度v‘B越小。
§3-4 碰撞问题举例
例题1
解：打桩机的能量转换与动量传递分析