四个重要数学概念判断的模块化思考

四个重要数学概念判断的模块化思考（购书大赠送） 概念教学是历来是数学教学中的一个难点，先是有文[1]提出的“淡化形式、注重实质”影响甚为广泛，成为指导概念教学的经典性文献，后有文[2] 把数学概念分成三类：描述性概念、发展性概念和基础性概念，并分别提出了以“形”取“意”、重“意”轻“形”和形意兼备、循序渐进的创新教学策略，让我们的概念教学更具宏观性和可操作性.

阅读以上文献，笔者感触颇深，颇受启发.但是，在一线教学中，我们有时不得不面对一些例如文[3]对于型如函数x x f -=2)(是否是指数函数之类的具体问题.

本文试对实数、代数式、方程和函数这四个初等数学的重要概念判定做模块化的对比思考，供读者参考，权当抛砖引玉，不当之处，欢迎批评指正.

1．函数

文[3]认为函数的判定注重对应关系的本质.换言之，判定函数的类型时，必须先把函数表达式化简（必须等价）成最简形式，然后再判断！

我们赞同上述观念，并且试着进一步阐明其科学性：

首先，我们的化简是基于等价变换，其次，化简前后两个函数的定义域相同，利用图像法画图来看，它们的图像必然相同；若用表格法来表示，对于同一个x 的值，必然对应相同的y 的值.据此，可以充分说明函数的对应关系的本质没变，化简后更容易看清楚函数的类型和本质.

2.代数式

文[3]认为代数式的判定注重外形.换言之，判定代数式的类型时，不需把原式化简（即使是等价），只需看原型判断！

我们赞同上述观念，并且阐明其科学性：我们以分式的概念为例说明.

首先，我们看教材上[4]分式的概念：整式A 除以整式B ，可以表示成

B A 的形式.如果除式B 中含有字母，那么称B

A 为分式.对于任意一个分式，分母不为零. 其次，我们看一个例题，虽然我们可以把代数式1

12224+++x x x 等价转换为12+x ，但是，我们依然认定112224+++x x x 是分式而不是整式，因为当我们把1

12224+++x x x 等价转换为12+x 时，我们实际上是利用分式的一个重要的性质：分子分母同除以12+x ，也就是我们

说已经认定1

12224+++x x x 是分式的前提下，然后使用分式的性质来化简的，所以说，我们说1

12224+++x x x 是分式而不是整式！当然，我们也可以断定代数式y x 1+它既不是整式，也不是分式，看原型它是有理式.

同理，判断一个代数式是不是根式时，理应如此.

3.方程

对于方程类型的判断，不应一言蔽之，需要分情况讨论！

一类是是注重方程的本质.换言之，判定方程的类型时，必须先把方程化简（等价）成最简形式，然后再判断！

例如，我们判断方程0)(=x f 是不是一元二次方程时，教材明确告诉我们需要化简[5]：只含有一个未知数x 的整式方程，并且都可以化为02

=++c bx ax （a 、b 、c 为常数，0≠a ）的形式，这样的方程叫做一元二次方程.

另一类是不需要化简的，只注重形式，即只看外形即可！例如，分母中含有未知数的方程叫做分式方程[6].定义本身就明确告诉我们分式方程是不需要化简.

4.实数

对于实数类型的判断，我们认为也是注重实数的本质.换言之，判定实数的类型时，必须先把实数化简成最简形式，然后再做判断！

例如，在实数23-

，0，π ） A ．1个 B ．2个

C ．3个

D ．4个 这是初中数学的常见题型，无论是课本上的例题、习题，教辅资料还是中考题频频出现，我们判断过程中，显然是要把每一个数进行化简，然后再判断.这是判断这类问题的“潜规则”. 再如，36是整数而不是分数.因为23

6=，而2是整数，所以36是整数而不是分数.为什么判断分数要化简后才判断，而判断分式却不需化简呢？

我们试着解释其中的道理：我们知道，从广义的角度来说，整数也是特殊的分数，即分母是1、分子是整数的特殊分数，因此，我们把分数化成最简形式就是看看其分母是否是

1、分子是否是整数？若是，这个数是整数，否则这个数是分数.

所以，我们暂且武断的认为在判断一个数的类型时，需要化成最简形式再来判断. 综上所述，

首先，我们可以把实数、代数式、方程和函数这四类初等数学概念分为两大类、三种判断方法：

第一类是教材上的概念具体明确，即根据教材上的概念我们知道需不需要化简，如一元二次方程的概念等；

第二类是教材上的概念不明确，对于这类问题我们有两种方法：

方法一我们可以根据知识之间的内在联系，通过逻辑推理来决定判断时化简的科学性.如函数的概念、分式的概念的判断等.

方法二我们可以根据解题过程的积累形成的“潜规则”来决定判断时化简的必要性.实数概念的判断等.

其次，判断实数和函数的类型时，需要先化简成最简形式，然后再判定其类型；判定代数式的类型时，不需把原式化简（即使是等价），只需看原型判断！判断方程类型时需要分情况讨论.

参考文献

[1] 陈重穆，宋乃庆. 淡化形式、注重实质[J]. 数学教育学报，1993(2):7.

[2] 孙琪斌. 例谈三类数学概念的一般策略[J]. 数学教学，2011(12):2-4.

[3] 罗增儒. x x f -=2)(是指数函数吗[J]? 中学数学教学，2011(1):12-12.

[4] 山东教育出版社 义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册，2011:2.

[5] 山东教育出版社 义务教育课程标准实验教科书数学八年级下册，2012:40.

[6] 山东教育出版社 义务教育课程标准实验教科书数学八年级上册，2011:16.

请扫描二维码，加作者微信好友购书

请扫描二维码，进微店购买《16项快速提分黑科技*中考数学》

，