[名校联盟]2012届高三数学二轮复习02讲 高考填空题的常用方法
高考数学填空题解题技巧有哪些
高考数学填空题解题技巧有哪些高考数学填空题解题技巧有哪些高考数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，那么，你知道高考数学真空题解题技巧有什么吗?下面是店铺为你搜集到的相关内容，欢迎阅读。
高考数学填空题解题技巧有哪些1一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
它是解填空题的最基本、最常用的方法。
使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，熟练应用解方程和解不等式的方法，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法。
二、特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，而已知条件中含有某些不确定的量，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论。
这样可大大地简化推理、论证的过程。
三、数形结合法“数缺形时少直观，形缺数时难入微。
”数学中大量数的问题后面都隐含着形的信息，图形的特征上也体现着数的关系。
我们要将抽象、复杂的数量关系，通过形的形象、直观揭示出来，以达到“形帮数”的目的;同时我们又要运用数的规律、数值的计算，来寻找处理形的方法，来达到“数促形”的目的。
对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果。
四、等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果。
1、配方法所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。
通过配方解决数学问题的方法叫配方法。
其中，用的最多的是配成完全平方式。
配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。
高三数学高考填空题常胜技巧doc
高考数学填空题常胜技巧数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题.这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现.因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备•解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整•合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、禾I」用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设a = (m・1)i -3i,b = i • (m-1)j,其中i ,j为互相垂直的单位向量，又(a • b) _ (a - b)，则实数m = _________________ 。
解：a b = (m 2)i (m「4) j, a「b 二mi「(m 2) j. v (a b) _ (a「b)，/. (a b) (a「b) = 0••• m(m 2) j2 H(m 2)2 m(m「4)]i j「(m 2)(m「4) j2= 0，而i ,j 为互相垂直的单位向量，故可得m(m 2) -(m 2)(m -4) = 0, • m = -2。
ax +1例2已知函数f(x)二一在区间(-2,；)上为增函数，则实数a的取值范围是______________ 。
x +2解：f (x)="二=a+1，由复合函数的增减性可知，gd)」]2：在(-2,址)上为x+2 x+2 x+21增函数，• 1 -2a ::: 0，• a •—。
2012年高考数学填空题的解题策略
高考数学填空题的解题策略根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：一是定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.近几年出现了定性型的具有多重选择性的填空题.解答填空题时，由于不反映过程，只要求结果，故对正确性的要求比解答题更高、更严格，《考试说明》中对解答填空题提出的基本要求是“正确、合理、迅速”.为此在解填空题时要做到：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意. （一）数学填空题的解题方法1、直接法：直接从题设条件出发，利用定义、性质、定理、公式等，经过变形、推理、计算、判断得到结论的，称为直接法.它是解填空题的最基本、最常用的方法.使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法. 例3、已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 .2、特殊化法：当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值（或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等）进行处理，从而得出探求的结论.这样可大大地简化推理、论证的过程.例4、在∆ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ，如果a 、b 、c 成等差数列， 则=++CA C A cos cos 1cos cos例5、如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么(1),(2),(4)f f f 的大小关系是.例7、已知,m n 是直线，,,αβγ是平面，给出下列命题：①若,αγβγ⊥⊥，则α∥β；②若,n n αβ⊥⊥，则α∥β；③若α内不共线的三点到β的距离都相等，则α∥β；④若,n m αα⊂⊂≠≠，且n ∥β，m ∥β，则α∥β；⑤若,m n 为异面直线，n ⊂≠α，n ∥β，m ⊂≠β,m∥α，则α∥β.则其中正确的命题是.（把你认为正确的命题序号都填上）3、数形结合法：对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目条件的特点，作出符合题意的图形，做到数中思形，以形助数，并通过对图形的直观分析、判断，则往往可以简捷地得出正确的结果.例8、已知向量a =)sin ,(cos θθ，向量b =)1,3(-，则|2a －b|的最大值是例9、如果不等式x a xx )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 .ABCDA 1B 1C 1D 1例10、设函数 f (x )＝13x 3＋12ax 2＋2b x ＋c ．若当 x ∈（0，1）时，f (x )取得极大值；x ∈（1，2）时，f (x )取得极小值，则 b -2a -1的取值范围是 ．4、等价转化法：通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”将问题等价转化成便于解决的问题，从而得到正确的结果. 例11、不等式23+>ax x 的解集为),4(b ，则=a _______，=b ________.例12、不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 .5、构造法：根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它认识和解决问题的一种方法.例15、椭圆 x 29 + y 24 =1 的焦点F 1、F 2，点P 是椭圆上动点，当∠F 1PF 2为钝角时，点P 的横坐标的取值范围是6、分析法：根据题设条件的特征进行观察、分析，从而得出正确的结论.例16、如右图，在直四棱柱1111ABC D A B C D -中，当底面四边形满足条件 时，有111A C B D ⊥（填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑所有可能性的情形）. 例17、以双曲线2213xy -=的左焦点F ，左准线l 为相应的焦点和准线的椭圆截直线3y kx =+所得的弦恰好被x 轴平分，则k 的取值范围是（二）减少填空题失分的检验方法 1、回顾检验例18、满足条件παπα<≤--=且21cos 的角α的集合为 .2、赋值检验.若答案是无限的、一般性结论时，可赋予一个或几个特殊值进行检验，以避免知识性错误 例19、已知数列}{n a 的前n 项和为1232++=n n S n ，则通项公式n a = .4、估算检验.当解题过程是否等价变形难以把握时，可用估算的方法进行检验，以避免忽视充要条件而产生逻辑性错误.例21、不等式x x lg 1lg 1->+的解是 .5、作图检验.当问题具有几何背景时，可通过作图进行检验，以避免一些脱离事实而主观臆断致错. 例22、函数||1|log|2-=x y 的递增区间是 .6、变法检验.一种方法解答之后，再用其它方法解之，看它们的结果是否一致，从而可避免方法单一造成的策略性错误．．．．．. 例23、若),(191+∈=+R y x yx，则y x +的最小值是 .7、极端检验.当难以确定端点处是否成立时，可直接取其端点进行检验，以避免考虑不周全的错误.例24、已知关于x 的不等式01)2()4(22≥-++-x a x a 的解集是空集，求实数a 的取值范围 . 切记：解填空题应方法恰当，争取一步到位，答题形式标准，避免丢三落四，“一知半解” 最后：填空题的结果书写要规范是指以下几个方面：①对于计算填空题，结果往往要化为最简形式，特殊角的三角函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求．如：12不能写成24或写出sin30°等；②所填结果要完整，如多选型填空题，不能漏填；有条件限制的求反函数，不能缺少定义域；求三角函数的定义域、单调区间等，不能缺k ∈Z ，如：集合{x |x ＝k π，k ∈Z }不能写成{x |x ＝k π}等. ③要符合现行数学习惯书写格式，如分数书写常用分数线，而不用斜线形式；求不等式的解集、求函数定义域、值域，结果写成集合或区间形式．等参考答案 例1、33A 27A =252种.例2、010C -2104C +=179. 例3、：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a .例4、解法一：取特殊值a ＝3, b ＝4, c ＝5 解法二：取特殊角A ＝B ＝C ＝600.例5解：由于(2)(2)f t f t +=-，故知()f x 的对称轴是2x =.可取特殊函数2()(2)f x x =-，即可求得(1)1,(2)0,(4)4f f f ===.∴(2)(1)(4)f f f <<.例6、：取SA=SB=SC ，则在正四面体S －ABC 中，易得平面SAB 与平面SAC 所成的二面角为1arccos3.例7：依题意可取特殊模型正方体AC 1（如图），在正方体AC 1中逐一判断各命题，易得正确的命题是②⑤.例8因|2|||2a b ==，故向量2a 和b 所对应的点A 、B 都在以原点为圆心，2为半径的圆上，从而|2a －b |的几何意义即表示弦AB 的长，故|2a －b|的最大值为4.例9、根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取值范围是[)+∞∈,2a .例10解：f ´(x )＝ x 2＋a x ＋2b ，令f ´(x )＝0，由条件知，上述方程应满足：一根在（0，1）之间，另一根在（1，2）之间，∴⎩⎨⎧f ´(1)<0f ´(0)>0f ´(2)>0，得⎩⎪⎨⎪⎧a +2b +1<0b >0a +b +2>0 ，在aob 坐标系中，作出上述区域如图所示，而b -2a -1的几何意义是过两点P(a ，b )与A(1，2)的直线斜率，而P(a ，b )在区域内，由图易知k PA ∈（14，1）． 例11、解：设t x =，则原不等式可转化为：,0232<+-t at ∴a > 0，且2与)4(>b b 是方程0232=+-t a t 的两根，由此可得：abo A (1,2)(－3,1) (－1,0)－2－236,81==b a .例12、：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆42)(22+=+-a ya x ，∴31≤≤-a .例13解：根据题意可将此图补形成一正方体，在正方体中易求得PA 与BD 所成角为60°.例14解：符合条件的放法是：有一个盒中放2个球，有2个盒中各放1个球.因此可先将球分成3堆（一堆2个，其余2堆各1个，即构造了球的“堆”），然后从4个盒中选出3个盒放3堆球，依分步计算原理，符合条件的放法有2344144C A =（种）.例15、解：构造圆x 2＋y 2＝5，与椭圆 x 29 + y 24 =1 联立求得交点x 02 ＝ 95⇒x 0∈（－ 355，355）例16：因四棱柱1111ABC D A B C D -为直四棱柱，故11A C 为1A C 在面1111A B C D 上的射影，从而要使111A C B D ⊥，只要11B D 与11A C 垂直，故底面四边形1111A B C D 只要满足条件11B D ⊥11A C 即可.例17、左焦点F 为（－2，0），左准线l ：x ＝－32，因椭圆截直线3y kx =+所得的弦恰好被x 轴平分，故椭圆对称性知，椭圆的中心即为直线3y kx =+与x 轴的交点3(,0)k-，由32k-<- ，得0 ＜ k＜ 32. 例18、错解：,2134cos,2132cos-=-=ππ.3432ππα或=∴检验：根据题意，答案中的34π不满足条件παπ<≤-，应改为32π-；其次，角α的取值要用集合表示.故正确答案为}.32,32{ππ-例19错解：,16]1)1(2)1(3[123221-=+-+-⋅-++=-=-n n n n n S S a n n n.16-=∴n a n检验：取n=1时，由条件得611==S a ，但由结论得a 1=5.故正确答案为⎩⎨⎧≥-==).2(16),1(6n n n a n例21错解：两边平行得21lg (1lg )x x +>-，即l g (l g 3)0,0l g 3x x x -<<<，解得3110x <<.检验：先求定义域得1lg 1,1lg 11.101<->+>≥x x x x 则若，原不等式成立；若x x x lg 1lg 1,1101-≤+≤≤时，原不等式不成立，故正确答案为x>1.例22、函数||1|log |2-=x y 的递增区间是 .错解：).,1(∞+检验：由⎩⎨⎧<->-=),1(|)1(log |),1(|)1(log |22x x x x y 作图可知正确答案为).,2[)1,0[∞+和例23错解：,6,692911≥=≥+=xy xyxyyx.122=≥+∴xy y x检验：上述错解在于两次使用重要不等式，等号不可能同时取到.换一种解法为：,169210910)91)((=⋅+≥++=++=+yx x y yx xy yxy x y x .16的最小值为y x +∴例24、已知关于x 的不等式01)2()4(22≥-++-x a x a 的解集是空集，求实数a 的取值范围 .错解：由0)4(4)2(22<-++=∆aa ，解得.562<<-a检验：若a=-2，则原不等式为01≥-，解集是空集，满足题意；若56=a ，则原不等式为02580642≤+-x x ，即0)58(2≤-x ，解得85=x ，不满足题意.故正确答案为.562<≤-a。
高考数学二轮专题复习与策略课件第2部分 专题讲座2 一、填空题求解的6种妙招精选ppt版本
类型六 等价转化法 等价转化是把未知解的问题转化为在已有知识范围内可解的问题的一种重要 的思想方法，通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规 范甚至模式化、简单的问题．
设e1，e2为单位向量，非零向量b＝xe1＋ye2，x，y∈R，若e1，e2的 夹角为π6，则||bx||的最大值等于 ________.
解决这类问题的关键是找准归纳对象．如m的位置在最高次幂的系数位置， 因而从每一个等式中最高次幂的系数入手进行归纳；p是cos2 α的系数，所以从 cos2 α的系数入手进行归纳．n却不能从cos4 α的系数入手进行归纳，因为第①个式 子中没有cos4 α，缺少归纳的特征项．
[变式训练5] 已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝ f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，
64 [∵a1，a2，a5成等比数列，∴a22＝a1a5， ∴(1＋d)2＝1×(4d＋1)，∴d2－2d＝0. ∵d≠0，∴d＝2. ∴S8＝8×1＋8×2 7×2＝64.]
直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目 的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用， 将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．
观察下列等式： ①cos 2α＝2cos2α－1； ②cos 4α＝8cos4α－8cos2α＋1； ③cos 6α＝32cos6α－48cos4α＋18cos2α－1； ④cos 8α＝128cos8α－256cos6α＋160cos4α－32cos2α＋1； ⑤cos 10α＝mcos10α－1 280cos8α＋1 120cos6α＋ncos4α＋pcos2α－1. 可以推测，m－n＋p＝________.
2024年高考数学二轮技巧02 填空题的答题技巧(精讲精练)(解析版)
技巧02 填空题的答题技巧【命题规律】高考的填空题绝大部分属于中档题目，通常按照由易到难的顺序排列，每道题目一般是多个知识点的小型综合，其中不乏渗透各种数学的思想和方法，基本上能够做到充分考查灵活应用基础知识解决数学问题的能力．（1）基本策略：填空题属于“小灵通”题，其解题过程可以说是“不讲道理”，所以其解题的基本策略是充分利用题干所提供的信息作出判断和分析，先定性后定量，先特殊后一般，先间接后直接，尤其是对选择题可以先进行排除，缩小选项数量后再验证求解．（2）常用方法：填空题也属“小”题，解题的原则是“小”题巧解，“小”题快解，“小”题解准．求解的方法主要分为直接法和间接法两大类，具体有：直接法，特值法，图解法，构造法，估算法，对选择题还有排除法（筛选法）等．【核心考点目录】核心考点一：特殊法速解填空题核心考点二：转化法巧解填空题核心考点三：数形结合巧解填空题核心考点四：换元法巧解填空题核心考点五：整体代换法巧解填空题核心考点六：坐标法巧解填空题核心考点七：赋值法巧解填空题核心考点八：正难则反法巧解填空题【真题回归】1．（2022·浙江·统考高考真题）设点P 在单位圆的内接正八边形128A A A 的边12A A 上，则222182PA PA PA +++ 的取值范围是_______．【答案】[12+【解析】以圆心为原点，37A A 所在直线为x 轴，51A A 所在直线为y 轴建立平面直角坐标系，如图所示：则1345726(0,1),,(1,0),,(0,1),,(1,0)A A A A A A A ⎛-- ⎝,8A ⎛ ⎝，设(,)P x y ,于是()2222212888PA PA PA x y +++=++ ，因为cos 22.5||1OP ≤≤，所以221cos 4512x y +≤+≤，故222128PA PA PA +++的取值范围是[12+.故答案为：[12+．2．（2022·浙江·统考高考真题）已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点为F ，过F 且斜率为4b a的直线交双曲线于点()11,A x y ，交双曲线的渐近线于点()22,B x y 且120x x <<．若||3||FB FA =，则双曲线的离心率是_________．【解析】过F 且斜率为4ba 的直线:()4b AB y xc a =+，渐近线2:b l y x a=，联立()4b y x c a b y xa ⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，得,33c bc B a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，由||3||FB FA =，得5,,99c bc A a ⎛⎫- ⎪⎝⎭而点A 在双曲线上，于是2222222518181c b c a a b -=，解得：228124c a =，所以离心率e .．3．（2022·浙江·统考高考真题）已知多项式42345012345(2)(1)x x a a x a x a x a x a x +-=+++++，则2a =__________，12345a a a a a ++++=___________．【答案】 8 2-【解析】含2x 的项为：()()3232222244C 12C 14128x x x x x x ⋅⋅⋅-+⋅⋅⋅-=-+=，故28a =；令0x =，即02a =，令1x =，即0123450a a a a a a =+++++，∴123452a a a a a ++++=-，故答案为：8；2-．4．（2022·全国·统考高考真题）已知ABC 中，点D 在边BC 上，120,2,2ADB AD CD BD ∠=︒==．当AC AB取得最小值时，BD =________．1【解析】[方法一]：余弦定理设220CD BD m ==>，则在ABD △中，22222cos 42AB BD AD BD AD ADB m m =+-⋅∠=++，在ACD 中，22222cos 444AC CD AD CD AD ADC m m =+-⋅∠=+-，所以()()()2222224421214441243424211m m m AC m m AB m m m mm m ++-++-===-+++++++44≥=-，当且仅当311mm +=+即1m 时，等号成立，所以当ACAB取最小值时，1m .1.[方法二]：建系法令 BD=t ，以D 为原点，OC 为x 轴，建立平面直角坐标系.则C （2t,0），A （1，B （-t,0）()()()2222222134441244324131111t AC t t AB t t t t t t BD -+-+∴===-≥-++++++++==当且仅当即时等号成立。
专题二 填空题的解题方法与技巧
◆高考二轮专题复习与测试•数学(文科)◆
直接法 这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利 用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等
过程，直接得到结果．
设a＝(m＋1)i－3j，b＝i＋(m－1)j，其中i，j为互
相垂直的单位向量，又(a＋b)⊥(a－b)，则实数m＝________.
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等价转化法 通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转
化成便于解决的问题，从而得出正确的结果．
3 不等式 x＞ax＋ 的解集为(4，b)，则a＝ 2
__________，b＝__________.
3 解析：设 x＝t，则原不等式可转化为：at －t＋ ＜0， 2 ∴a＞0，且2与 b (b＞4)是方程的两根，由此可得a＝
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特殊化法 当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是 一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得 到正确结果． 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b， cos A＋cos C c.若a，b，c成等差数列，则 ＝__________. 1＋cos Acos C
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数形结合法 对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助 数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果． 如果不等式
4x－x2 ＞(a－1)x的解集为A，且
A⊆{x|0＜x＜2}，那么实数a的取值范围是__________． 解析：根据不等式解集的几何意义，作 函数y＝ 4x－x2 和y＝(a－1)x函数的图象(如
论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验
高考数学二轮复习 专题11 高考中填空题的解题方法与技巧
2012届高考数学二轮复习专题十一 高考中填空题的解题方法与技巧【重点知识回顾】填空题是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定的空位上，将缺少的语句填写清楚·准确 。
它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语·数字·符号·数学语句等。
填空题的主要作用是考查学生的基础知识、基本技能及思维能力和分析问题、解决问题的能力，填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式（数）最简，结果稍有毛病，便得零分．填空题的基本特点： 1．方法灵活，答案唯一； 2．答案简短，具体明确．学生在解答填空题时注意以下几点；1．对于计算型填空题要运算到底，结果要规范； 2．填空题所填结果要完整，不可缺少一些限制条件； 3．填空题所填结论要符合高中数学教材要求；4．解答填空题平均每小题3分钟，解题时间应控制在12分钟左右． 总之，解填空题的基本原则是“小题小做”，要“准”、“活”、“灵”、“快”．【典型例题】 （一）直接法直接法求解就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，得出正确的结论．例1、不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是： 【解析】当0≥x 时，原不等式等价于0)1)(1(>-+x x ，∴11<<-x ，此时应有：10<≤x ；当0<x 时，原不等式等价于0)1(2>+x ，∴1-≠x ，此时应有：011<<--<x x 或；∴不等式0|)|1)(1(>-+x x 的解集是：}11|{-≠<x x x 且．例2、在等差数列}{n a 中，135,3851-=-=a na a ，则数列}{n a 的前n 项和S n 的最小值为：【解析】设公差为d ，则13)73(5)43(11-+-=+-d d ，∴95=d ，∴数列}{n a 为递增数列， 令0≥n a ，∴095)1(3≤⨯-+-n ，∴526≤n ，∵*N n ∈，∴7≤n ，∴前6项和均为负值， ∴S n 的最小值为3296-=S ． 【题后反思】由于填空题不需要解题材过程，因此可以透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简洁的解法，省去某些步骤，大跨度前进，也可配合心算、速算、力求快速，辟免“小题大做”．（二）特殊值法当填空结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，我们只需把题材中的参变量用特殊值代替之，即可得到结论．例3、函数)(x f y =在（0，2）上是一增函数，函数)2(+=x f y 是偶函数，则)27(),25(),1(f f f 的大小关系为： （用“<”号连接）【解析】取2)2()(--=x x f ，则)25()1()27(f f f <<，例4、椭圆14922=+y x 的焦点为21,F F ，点P 为其上的动点，当21PF F ∠为钝角时，点P 横坐标的取值范围是：【解析】设P(x,y)，则当9021=∠PF F 时，点P 的轨迹方程为522=+y x ，由此可得点P 的横坐标53±=x ，又当点P 在x 轴上时， 021=∠PF F ；点P 在y 轴上时，21PF F ∠为钝角，由此可得点P 横坐标的取值范围是：553553<<-x ． 【题后反思】特殊值法一般可取特殊值、特殊函数、特殊角、特殊数列、图形的特殊位置、特殊性点、特殊方程、特殊模型等． （三）数形结合法根据题目条件，画出符合题意的图形，以形助数，通过对图形的直观分析、判断，往往可以简捷地得出正确的结果，它既是方法，也是技巧，更是基本的数学思想． 例5、已知直线m x y +=与函数21x y -=的图像有两个 不同的交点，则实数m 的取值范围是： ． 【解析】∵函数21x y -=的图像如图所示， ∴由图可知：21<≤m ．例6、设函数c bx ax x x f +++=22131)(23，若当)1,0(∈x 时，)(x f 可取得极大值；当)2,1(∈x 时，)(x f 可取得极小值，则12--a b 的取值范围是：【解析】b ax x x f 2)(2/++=，由条件知，0)(/=x f 的一个 根在（0，1）上，另一个根在（1，2）上，∴⎪⎩⎪⎨⎧>><0)2(0)0(0)1(///f f f ，即⎪⎩⎪⎨⎧>++><++020012b a b b a 如图所示，在平面直角坐标系xOy 中作出上述区域，得点P （a ，b ）在图中的阴影区域内，而12--a b 的几何意义是过两点P （a ，b ）与A （1，2）的直线的斜率，易知)1,41(12∈=--PA k a b ．【题后反思】数形结合法，常用的有Venn 图，三角函数线，函数图像及方程的曲线等，另一面，有些图形问题转化为数量关系，如直线垂直可转化为斜率关系或向量积等． （四）等价转化法通过“化复杂为简单，化陌生为熟悉”将问题等价转化为便于解决的问题，从而等到正确的结果．例7、若不论k 为何实数，直线1+=kx y 与圆0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是：【解析】题设条件等价于直线上的定点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆心（a ，0）的距离小于或等到于圆的半径42+a ，所以31≤≤-a 例8、计算=-++33257257【解析】分别求这两个二重根式的值显然不是那么容易，不妨从整体考虑，通过解方程求之． 设x =-++33257257，两边同时立方得：01433=-+x x ，即：1 1-0)72)(2(2=++-x x x ，∵0722≠++x x ，∴2=x ，即=-++332572572，因此应填2. 【题后反思】在研究解决数学问题时，常采用转化的手段将问题向有利于解答的方面转化，从而使问题转化为熟悉的、规范的、甚至模式的问题，把复杂的问题转化为简单的问题． （五）构造法根据题设条件与结论的特殊性，构造出一些新的数学形式，并借助于它来认识和解决问题． 例9、如果))2,0((,cos )cos 1(sin )sin 1(44πθθθθθ∈+>+，那么角θ的取值范围是： ．【解析】设函数x x x f 4)1()(+=，则051)(4/>+=x x f ，所以)(x f 是增函数，由题设，得出)(cos )(sin θθf f >，得θθcos sin >，所以)45,4(ππθ∈．例10、P 是正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1的上底面A 1B 1C 1D 1内任意一点，AP 与三条棱AA 1，AB 1，AD的夹角分别为γβα,,，则=++γβα222cos cos cos 【解析】如上图，过P 作平面PQQ /P /，使它们分别与平面B 1C 1CB 和平面C 1D 1DC 平行，则构造一个长方体AQ /P /R /—A 1QPR ，故1cos cos cos 222=++γβα．【题后反思】凡解题时需要根据题目的具体情况来设计新模式的的问题，通常要用构造法解决． （六）分析法根据题设条件的特征进行观察、分析、从而得出正确的结论．例11、以双曲线1322=-y x 的左焦点F 和左准线为相应的焦点和准线的椭圆截直线3+=kx y ，所得的弦恰好被x 轴平分，则k 的取值范围是： ．【解析】双曲线的左焦点为F （-2，0），左准线为23-=x ，因为椭圆截直线所得的弦恰好被x 轴平分，故根据椭圆的对称性，知椭圆的中心即为直线3+=kx y 与x 轴的交点（0,3k-），故23-<-k ，得230<<k ．例12、（2007福建）某射手射击1次，击中目标的概率为0.9，他连续射击4次，且各次射ABCDC 1A 1B 1 D 1 P RQ Q /R /P /击是否击中目标相互之间没有影响，有下列结论：①他第3次击中目标的概率是0.9；②他恰好击中目标3次的概率是1.09.03⨯；③他至少击中目标1次的概率是41.01-．【解析】①第3次击中目标意味着1、2、4次可击中，也可不击中，从而第3次击中目标的概率为9.0)1.09.0(9.0)1.09.0()1.09.0(=+⨯⨯+⨯+；②恰好击中目标3次的概率是独立重复试验，故概率为1.09.0334⨯⨯C ；③运用对立事件4次射击，一次也没有击中的概率为41.0，从而至少击中目标一次的概率为41.01-．故正确结论的序号为①、③．【题后反思】分析法是解答问题的常用方法，该方法需要我们从题设出发，对条件进行观察、分析，找到相应的解决方法． （七）归纳法例13、 蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面图. 其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数.则(4)f =_____;()f n =___________. 【解析】找出)1()(--n f n f 的关系式[解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f【题后反思】处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系（1）先猜后证是一种常见题型；（2）归纳推理的一些常见形式：一是“具有共同特征型”，二是“递推型”，三是“循环型”（周期性） （八）类比法例14、已知正三角形内切圆的半径是高的13，把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______。
高三数学第二轮专题复习填空题解答策略方法课堂资料
高三数学第二轮专题复习填空题解答策略方法课堂资料一、基础知识整合数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题.填空题缺少选择支的信息，故解答题的求解思路可以原封不动地移植到填空题上.但填空题既不用说明理由，又无须书写过程，因而解选择题的有关策略、方法有时也适合于填空题.求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫.常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
下面以一些典型的问题为例，介绍解填空题的几种常用方法与技巧，从中体会到解题的要领：快——运算要快，力戒小题大作；稳——变形要稳，不可操之过急；全——答案要全，力避残缺不齐；活——解题要活，不要生搬硬套；细——审题要细，不能粗心大意。
二、例题解析(一)直接法：这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果.[例1] 设(1)3,(1),a m i j b i m j =+-=+-其中i j 、为互相垂直的单位向量，又()()a b a b +⊥-，则实数m = 。
[解](2)(4),(2).a b m i m j a b mi m j +=++--=-+∵()()a b a b +⊥-，∴()()0a b a b +⋅-=,∴其中i j 、为互相垂直的单位向(2)(2)(4)0m m m m +-+-=，∴2-=m .[例2] 已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 .[解]22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x a x g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a .[例3] 现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 。
高考数学二轮复习第3部分2填空题的解法
所以x2+y2≤1与直线3x+4y+t-10=0有公共点,
|-10|
所以圆心(0,0)到直线的距离 d= 5 ≤1,
解得5≤t≤15.
所以t的最大值为15,即|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值为15.
-13一
二
三
四
对点训练3某网店统计了连续三天售出商品的种类情况:第一天
4
+0
5
4
1+5×0
=
4
4
,故填 .
5
5
-11一
二
三
四
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题,若能数中思形,以形助数,则往
往可以借助图形的直观性迅速做出判断,简捷地解决问题,得出正
确的结果,Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等,都
是常用的图形.
例3已知实数x,y满足x2+y2≤1,则|2x+y-4|+|6-x-3y|的最大值
∴ · =2||2=2×9=18.
(方法二)把平行四边形 ABCD 看成正方形,则点 P 为对角线的交
点,AC=6,则 ·=18.
(2)令 a=3,b=4,c=5,则△ABC 为直角三角形,
且
4
cos A=5,cos
cos+cos
得
1+coscos
=
C=0,代入所求式子,
售出19种商品,第二天售出13种商品,第三天售出18种商品;前两天
都售出的商品有3种,后两天都售出的商品有4种.则该网店
(1)第一天售出但第二天未售出的商品有 16
高考数学二轮复习填空题的解题技巧学案(全国通用)
高考数学解题技巧（方法类）2．填空题的解题策略一、题型与方法介绍数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题． 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现． 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备．解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整． 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求．数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断．求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫．常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等．二、方法技巧1．直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果．例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = ．解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m ．例2已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 ． 解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a ．例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则某人获得特等奖的概率为 ．解：由题设，此人猜中某一场的概率为31，且猜中每场比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得特等奖的概率为1331．2．特殊化法当填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的不定量用特殊值代替，即可以得到正确结果．例4 在△ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c ．若a 、b 、c 成等差数列，则=++CA CA cos cos 1cos cos ．解：特殊化：令5,4,3===c b a ，则△ABC 为直角三角形，0cos ,53cos ==C A ，从而所求值为53．例5 过抛物线)0(2>=a ax y 的焦点F 作一直线交抛物线交于P 、Q 两点，若线段PF 、FQ 的长分别为p 、q ，则=+qp 11 ． 分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k 的直线与抛物线均有两个交点P 、Q ，当k 变化时PF 、FQ 的长均变化，但从题设可以得到这样的信息：尽管PF 、FQ 不定，但其倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行求解，而不失一般性．解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为),41,0(a 把直线方程a y 41=代入抛物线方程得ax 21±，∴a FQ PF 21||||==，从而a qp 411=+． 例6 求值=++++)240(cos )120(cos cos 222οοa a a ．分析：题目中“求值”二字提供了这样信息：答案为一定值，于是不妨令ο0=a ，得结果为23．3．数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解决问题，得出正确的结果．例7 如果不等式x a x x )1(42->-的解集为A ，且}20|{<<⊆x x A ，那么实数a 的取值范围是 ．解：根据不等式解集的几何意义，作函数24x x y -=和函数x a y )1(-=的图象（如图），从图上容易得出实数a 的取 值范围是[)+∞∈,2a ． 例8 求值=+)21arctan 3sin(π．解：=+)21arctan 3sin(π)21sin(arctan 21)21cos(arctan 23+， 构造如图所示的直角三角形，则其中的角θ即为21arctan，从而 .51)21sin(arctan ,52)21cos(arctan ==所以可得结果为101525+． 例9 已知实数x 、y 满足3)3(22=+-y x ，则1-x y的最大值是 ． 解：1-x y 可看作是过点P （x ，y ）与M （1，0）的直线的斜率，其中点P 的圆3)3(22=+-y x 上，如图，当直线处于图中切线位置时，斜率1-x y最大，最大值为3tan =θ．4．等价转化法通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”，将问题等价地转化成便于解决的问题，从而得出正确的结果． 例10 不等式23+>ax x 的解集为（4，b ），则a= ，b= ． 解：设t x =，则原不等式可转化为：,0232<+-t at ∴a > 0，且2与)4(>b b 是方程0232=+-t at 的两根，由此可得：36,81==b a ．例11 不论k 为何实数，直线1+=kx y 与曲线0422222=--+-+a a ax y x 恒有交点，则实数a 的取值范围是 ．解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上，或等价于点（0，1）到圆42)(22+=+-a y a x ，∴31≤≤-a ． 例12 函数x x y -+-=3214单调递减区间为 ．解：易知.0],3,41[>∈y x ∵y 与y 2有相同的单调区间，而313441122-+-+=x x y ，∴可得结果为]3,813[． 总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法，是快速准确地解数学填空题的关键．【巩固练习】 1．已知函数()1+=x x f ，则()._______31=-f【解析】 由13+=x ，得()431==-x f，应填4．请思考为什么不必求()x f1-呢？2．集合⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧∈-<≤-=N x x M x,2110log 11的真子集的个数是.______ 【解析】 {}{}N x x x x M ∈<≤=∈<≤=,10010N x 2,lgx 1，显然集合M 中有90个元素，其真子集的个数是1290-，应填1290-．快速解答此题需要记住小结论;对于含有n 个元素的有限集合,其真子集的个数是.122- 3．若函数()[]b a x x a x y ,,322∈+-+=的图象关于直线1=x 对称，则._____=b 【解析】 由已知抛物线的对称轴为22+-=a x ,得 4-=a ，而12=+ba ，有6=b ，故应填6． 4．果函数()221x x x f +=，那么()()()()._____4143132121=⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛++f f f f f f f【解析】 容易发现()11=⎪⎭⎫⎝⎛+t f t f ，这就是我们找出的有用的规律，于是原式＝()2731=+f ，应填.27 本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年上海春考题中也有一道类似题：设()221+=xx f ，利用课本中推导等差数列前n 项和的公式的方法，可求得()()()()().______650f 45=++⋅⋅⋅++⋅⋅⋅+-+-f f f f5．已知点P ()ααcos ,tan 在第三象限，则角α的终边在第____象限．【解析】 由已知得 ⎩⎨⎧<>⇒⎩⎨⎧<<,0cos ,0sin ,0cos ,0tan αααα 从而角α的终边在第二象限，故应填二． 6．不等式()120lg cos 2≥x（()π,0∈x ）的解集为__________．【解析】 注意到120lg >，于是原不等式可变形为.0cos 0cos 2≥⇔≥x x 而π<<x 0，所以20π≤<x ，故应填.20⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈≤<R x x x ，π5． 如果函数x a x y 2cos 2sin +=的图象关于直线8π-=x 对称，那么._____=a【解析】 ()ϕ++=2sin 12a y ，其中a =ϕtan ．Θ8π-=x 是已知函数的对称轴，282ππϕπ+=+⎪⎭⎫⎝⎛-∴k ，即Z k k ∈+=，43ππϕ，于是 .143tan tan -=⎪⎭⎫⎝⎛+==ππϕk a 故应填 1-．在解题的过程中，我们用到如下小结论：函数()ϕω+=x A y sin 和()ϕω+=x A y cos 的图象关于过最值点且垂直于x 轴的直线分别成轴对称图形． 8．设复数⎪⎭⎫⎝⎛<<+=24cos sin 21πθπθθz 在复平面上对应向量1OZ ，将1OZ 按顺时针方向旋转43π后得到向量2OZ ，2OZ 对应的复数为()ϕϕsin cos 2i r z +=，则.____tan =ϕ【解析】 应用复数乘法的几何意义，得 ⎪⎭⎫⎝⎛-=43sin 43cos 12ππi z z ()()[]i θθθθcos sin 2cos sin 222++--=， 于是，1tan 21tan 2cos sin 2cos sin 2tan -+=+-=θθθθθθϕ 故应填 .1tan 21tan 2-+θθ9．设非零复数y x ,满足 022=++y xy x ，则代数式 20052005⎪⎪⎭⎫⎝⎛++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+y x y y x x 的值是________．【解析】 将已知方程变形为 112=+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛y x y x ，解这个一元二次方程，得.2321ω=±-=i y x 显然有231,1ωωω-=+=, 而166832005+⨯=,于是原式＝()()200520052005111ωωω+++ ＝()()20052200521ωωω-+-＝.112=-+ωω在上述解法中，“两边同除”的手法达到了集中变量的目的，这是减少变元的一个上策，值得重视．10． 已知{}n a 是公差不为零的等差数列，如果n S 是{}n a 的前n 项和，那么._____lim =∞→nnn S na【解析】 特别取n a n =，有()21+=n n S n ，于是有().211212lim lim lim 2=+=+=∞→∞→∞→nn n n S na n n n n n 故应填2．11．列{}n a 中，()⎪⎩⎪⎨⎧-=是偶数），（是奇数，n n a n n n 5251n n a a a S 2212+⋅⋅⋅++=, 则.________2lim =∞→n n S【解析】 分类求和，得 ()()，n n n a a a a a a S 24212312+⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++=-Θ∴8151152511512222lim =--+-=∞→nn S ，故应填81．11．以下四个命题： ①()；〉3122≥+n n n ②()；1226422≥++=+⋅⋅⋅+++n n n n ③凸n 边形内角和为()()()；31≥-=n n n f π ④凸n 边形对角线的条数是()()().422≥-=n n n n f其中满足“假设()0,k k N k k n ≥∈=时命题成立，则当n=k+1时命题也成立’’．但不满足“当0n n =（0n 是题中给定的n 的初始值）时命题成立”的命题序号是 ．【解析】 ①当n=3时，13223+⨯>，不等式成立； ② 当n=1时，21122++≠，但假设n=k 时等式成立，则()()()()2111221264222++++=++++=++⋅⋅⋅+++k k k k k k ；③ ()()π133-≠f ，但假设()()π1-=k k f 成立，则 ()()()[]；ππ111-+=+=+k k f k f④ ()()22444-≠f ，假设()()22-=k k k f 成立，则()()()()()[].221131-++≠-+=+k k k k f k f故应填②③． 13．某商场开展促销活动，设计一种对奖券，号码从000000到999999． 若号码的奇位数字是不同的奇数，偶位数字均为偶数时，为中奖号码，则中奖面（即中奖号码占全部号码的百分比）为 ．【解析】 中奖号码的排列方法是： 奇位数字上排不同的奇数有35P 种方法，偶位数字上排偶数的方法有35，从而中奖号码共有3355⨯P 种，于是中奖面为%,75.0%10010000005335=⨯⨯P 故应填%.75.0 14． ()()7221-+x x 的展开式中3x 的系数是.__________【解析】 由()()()()772722221-+-=-+x x x x x 知，所求系数应为()72-x 的x 项的系数与3x 项的系数的和，即有()()，100822447667=-+-C C故应填1008．15． 过长方体一个顶点的三条棱长为3、4、5, 且它的八个顶点都在同一球面上，这个球的表面积是________．【解析】 长方体的对角线就是外接球的直径R 2, 即有(),505434222222=++==R R从而 ππ5042==R S 球，故应填.50π16． 若四面体各棱的长是1或2，且该四面体不是正四面体，则其体积是 （只需写出一个可能的值）．【解析】 本题是一道很好的开放题，解题的开窍点是：每个面的三条棱是怎样构造的，依据“三角形中两边之和大于第三边”，就可否定｛1，1，2｝，从而得出｛1，1，1｝，｛1，2，2｝，｛2，2，2｝三种形态，再由这三类面构造满足题设条件的四面体，最后计算出这三个四面体的体积分别为：611,1211 ,1214，故应填．611、1211 、1214 中的一个即可．17． 如右图，E 、F 分别是正方体的面ADD 1A 1、面BCC 1B 1的中心，则四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可能是 ．（要求：把可能的图的序号都填上）【解析】因为正方体是对称的几何体，所以四边形BFD 1E 在该正方体的面上的射影可分为：上下、左右、前后三个方向的射影，也就是在面ABCD 、面ABB 1A 1、面ADD 1A 1上的射影．四边形BFD 1E 在面ABCD 和面ABB 1A 1上的射影相同，如图○2所示； 四边形BFD 1E 在该正方体对角面的ABC 1D 1内，它在面ADD 1A 1上的射影显然是一条线段，如图○3所示． 故应填○2○3． 18 直线1-=x y 被抛物线x y 42=截得线段的中点坐标是___________． 【解析】 由⎩⎨⎧=-=xy x y 4,12消去y ，化简得,0162=+-x x 设此方程二根为21x x ，，所截线段的中点坐标为()00y x ，，则1200031 2.2x x x y x +===-=， 故 应填 ()2,3．○1 ○2 ○3 ○4 A B D C E F A 1 B 1C 1D 119 椭圆125922=+y x 上的一点P 到两焦点的距离的乘积为m ，则当m 取最大值时，点P 的坐标是_____________________．【解析】 记椭圆的二焦点为21F F ，，有,10221==+a PF PF则知 .25222121=⎪⎪⎭⎫⎝⎛+≤⋅=PF PF PF PF m 显然当521==PF PF ，即点P 位于椭圆的短轴的顶点处时，m 取得最大值25．故应填()0,3-或().0,320 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分，它的函数解析式是()20022≤≤=y x y ，在杯内放一个玻璃球，要使球触及酒杯底部，则玻璃球的半径r 的取值范围是___________．【解析】 依抛物线的对称性可知，大圆的圆心在y 轴上，并且圆与抛物线切于抛物线的顶点，从而可设大圆的方程为 ().222r r y x =-+由 ()⎪⎩⎪⎨⎧==-+，，22222x y r r y x 消去x ，得 ()0122=-+y r y （*）解出 0=y 或().12r y -= 要使（*）式有且只有一个实数根0=y ，只要且只需要(),012≤-r 即.1≤r 再结合半径0>r ，故应填.10≤<r。
高考数学复习资料填空题答题方法
高考数学复习资料填空题答题方法高考数学复习填空题解题方法方法一、直接法直接法就是从题设条件出发，运用定义、定理、公式、性质等，通过变形、推理、运算等过程，直接得出正确结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法.适用范围：对于计算型的试题，多通过计算求结果.方法点津：直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.方法二、特殊值法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论.为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例.适用范围：求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解.方法点津：填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值是适用此法的前提条件.方法三、数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能以数辅形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，如Venn图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线、函数的零点等.适用范围：图解法是研究求解问题中含有几何意义命题的主要方法，解题时既要考虑图形的直观，还要考虑数的运算.方法点津：图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点.准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果.方法四、构造法构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型(如构造函数、方程或图形)，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决.方法点津：构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题.本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决.高考数学复习答题方法的铁律1.数列的题目与和有关，优选和通公式，优选作差的方法;注意归纳、猜想之后证明;猜想的方向是两种特殊数列;解答的时候注意使用通项公式及前n项和公式，体会方程的思想;2.立体几何第一问如果是为建系服务的，一定用传统做法完成，如果不是，可以从第一问开始就建系完成;注意向量角与线线角、线面角、面面角都不相同，熟练掌握它们之间的.三角函数值的转化;锥体体积的计算注意系数1/3，而三角形面积的计算注意系数1/2;与球有关的题目也不得不防，注意连接心心距创造直角三角形解题;3.导数的题目常规的一般不难，但要注意解题的层次与步骤，如果要用构造函数证明不等式，可从已知或是前问中找到突破口，必要时应该放弃;重视几何意义的应用，注意点是否在曲线上;4.概率的题目如果出解答题，应该先设事件，然后写出使用公式的理由，当然要注意步骤的多少决定解答的详略;如果有分布列，则概率和为1是检验正确与否的重要途径;5.遇到复杂的式子可以用换元法，使用换元法必须注意新元的取值范围，有勾股定理型的已知，可使用三角换元来完成;高考数学冲刺复习的提醒(一)数学复习适当“读题”读题的任务就是要理清解题思路，明确解题步骤，分析最佳解题切入点。
(新人教A)高三数学第二轮第 2讲 数学填空题的常用解法
第2讲 高考填空题的常用方法数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、完整. 合情推理、优化思路、少算多思将是快速、准确地解答填空题的基本要求.数学填空题，绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，应答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断。
求解填空题的基本策略是要在“准”、“巧”、“快”上下功夫。
常用的方法有直接法、特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
一、直接法这是解填空题的基本方法，它是直接从题设条件出发、利用定义、定理、性质、公式等知识，通过变形、推理、运算等过程，直接得到结果。
例1设,)1(,3)1(j m i b i i m a -+=-+=其中i ，j 为互相垂直的单位向量，又)()(b a b a -⊥+，则实数m = 。
解：.)2(,)4()2(j m mi b a j m i m b a +-=--++=+∵)()(b a b a -⊥+，∴0)()(=-⋅+b a b a ∴0)4)(2()]4()2([)2(222=-+-⋅-++-++j m m j i m m m j m m ，而i ，j 为互相垂直的单位向量，故可得,0)4)(2()2(=-+-+m m m m ∴2-=m 。
例2已知函数21)(++=x ax x f 在区间),2(+∞-上为增函数，则实数a 的取值范围是 。
解：22121)(+-+=++=x a a x ax x f ，由复合函数的增减性可知，221)(+-=x ax g 在),2(+∞-上为增函数，∴021<-a ，∴21>a 。
[精品]新高中高三二轮复习数学 方法二 填空题的解法
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填空题的特征：填空题是不要求写出计算或推理过程，只需要将结论直接写出的“求解题”．填空题与选择题也有质的区别：第一，填空题没有备选项，因此，解答时有不受诱误干扰之好处，但也有缺乏提示之不足；第二，填空题的结构往往是在一个正确的命题或断言中，抽出其中的一些内容(既可以是条件，也可以是结论)，留下空位，让考生独立填上，考查方法比较灵活．从历年高考成绩看，填空题得分率一直不是很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是零分．因此，解填空题要求在“快速、准确”上下功夫，由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程，因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做”，而要达到“准确”，则必须合理灵活地运用恰当的方法，在“巧”字上下功夫．2．解填空题的基本原则：解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略是“巧做”．解填空题的常用方法有：直接法、数形结合法、特殊化法、等价转化法、构造法、合情推理法等．【方法要点展示】方法一直接法：直接法就是从题干给出的条件出发，运用定义、定理、公式、性质、法则等知识，通过变形、推理、计算等，直接得出结论．这种策略多用于一些定性的问题，是解填空题最常用的策略．这类填空题是由计算题、应用题、证明题、判断题改编而成的，可直接从题设的条件出发，利用已知条件、相关公式、公理、定理、法则等通过准确的运算、严谨的推理、合理的验证得出正确的结论，使用此法时，要善于透过现象看本质，自觉地、有意识地采用灵活、简捷的解法．例1【2015高考湖南】已知32,(),x x a f x x x a⎧≤=⎨>⎩，若存在实数b ，使函数()()g x f x b =-有两个零点，则a 的取值范围是 .思路分析：本题是一道函数的零点问题，可转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，解不等式可求出参数的取值范围.【答案】),1()0,(+∞-∞.无解，方程)(2a x b x >=有2个根：则可知关于b 的不等式组⎪⎩⎪⎨⎧>->ab a b 31有解，从而0<a ，综上，实数a 的取值范围是),1()0,(+∞-∞ .点评：本题主要考查了函数的零点，函数与方程等知识点，属于较难题，表面上是函数的零点问题，实际上是将问题等价转化为不等式组有解的问题，结合函数与方程思想和转化思想求解函数综合问题，将函数的零点问题巧妙的转化为不等式组有解的参数，从而得到关于参数a 的不等式，此题是创新题，区别于其他函数与方程问题数形结合转化为函数图象交点的解法，从另一个层面将问题进行转化，综合考查学生的逻辑推理能力.例2【2015高考山东】平面直角坐标系xoy 中，双曲线()22122:10,0x y C a b a b-=>>的渐近线与抛物线()22:20C x py p =>交于点,,O A B ，若O A B ∆的垂心为2C 的焦点，则1C 的离心率为 .思路分析：本题求出双曲线的渐进线方程，与抛物线结合可得A点坐标，利用垂心可得1OB AFk k⋅=-，从而建立等式，可求出双曲线的离心率.【答案】32点评：本题考查了双曲线与抛物线的标准方程与几何性质，意在考查学生对圆锥曲线基本问题的把握以及分析问题解决问题的能力以及基本的运算求解能力，三角形的垂心的概念以及两直线垂直的条件是突破此题的关键.【规律总结】直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键．【举一反三】1. 【2015高考天津】在ABC∆中，内角,,A B C所对的边分别为,,a b c，已知ABC∆的面积为，12,cos,4b c A-==-则a的值为 .【答案】82. 【2015江苏高考】数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为 【答案】2011 【解析】由题意得：112211(1)()()()1212n n n n n n n a a a a a a a a n n ---+=-+-++-+=+-+++=所以1011112202(),2(1),11111n n n S S a n n n n =-=-==+++方法二 特例法当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以将题中变化的不定量选取一些符合条件的恰当特殊值(或特殊函数，或特殊角，特殊数列，图形特殊位置，特殊点，特殊方程，特殊模型等)进行处理，从而得出待求的结论．这样可大大地简化推理、论证的过程．例3【如东中学2015届高三周练】若函数12()21x x m f x ++=-是奇函数，则m = .思路分析：根据奇函数的特点，带入特殊值即可求出m 的值. 解析：显然)(x f 的定义域为),0()0,(+∞-∞ ，∴令1,1x x ==-，则021122(1)(1)02121m m f f -++-+=+=--， 则2m =.点评： 特例法的巧妙运用，能大大减少一些复杂的运算．【规律总结】求值或比较大小等问题的求解均可利用特殊值代入法，但要注意此种方法仅限于求解结论只有一种的填空题，对于开放性的问题或者有多种答案的填空题，则不能使用该种方法求解．本题中的发现函数过一个定点是本题的运用特值法的前提条件，从而减少了计算量．【举一反三】1. 如图所示，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.【答案】18 【解析】把平行四边形ABCD 看成正方形，则P 点为对角线的交点，AC＝6，则AP →·AC→＝18. 方法三 数形结合法对于一些含有几何背景的填空题，若能数中思形，以形助数，则往往可以借助图形的直观性，迅速作出判断，简捷地解决问题，得出正确的结果，Venn 图、三角函数线、函数的图象及方程的曲线等，都是常用的图形．例1【2015高考新课标1】在平面四边形ABCD 中，∠A =∠B =∠C =75°，BC =2，则AB 的取值范围是 .思路分析：本题是一道解三角形题，作出图像，结合图像利用正弦定理可得AB 的取值范围．【答案】点评：本题考查正弦定理及三角公式，作出四边形，发现四个为定值，四边形的形状固定，边BC 长定，平移AD ，当AD 重合时，AB 最长，当CD 重合时AB 最短，再利用正弦定理求出两种极限位置是AB 的长，即可求出AB 的范围，作出图形，分析图形的特点是找到解题思路的关键.【规律总结】图解法实质上就是数形结合的思想方法在解决填空题中的应用，利用图形的直观性并结合所学知识便可直接得到相应的结论，这也是高考命题的热点．准确运用此类方法的关键是正确把握各种式子与几何图形中的变量之间的对应关系，利用几何图形中的相关结论求出结果．【举一反三】1. 【2015高考天津】在等腰梯形ABCD 中,已知//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==则AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918B A方法四 构造法 构造型填空题的求解，需要利用已知条件和结论的特殊性构造出新的数学模型，从而简化推理与计算过程，使较复杂的数学问题得到简捷的解决，它来源于对基础知识和基本方法的积累，需要从一般的方法原理中进行提炼概括，积极联想，横向类比，从曾经遇到过的类似问题中寻找灵感，构造出相应的函数、概率、几何等具体的数学模型，使问题快速解决．例5【江西省五校2015届高三第二次联考】D C B A ,,,是同一球面上的四个点，其中ABC ∆是正三角形,AD ⊥平面ABC ，4=AD ，32=AB ,则该球的表面积为_________. 思路分析：本题是一道几何体的结合问题，由所给三棱锥的特征，不难想到是正三棱柱的一部分，而球与正三棱柱的组合是立几考查中常考常新的问题．解析：由题意画出几何体的图形如图，把D C B A ,,,扩展为三棱柱，上下底面的中心连线的中点与A 距离为球的半径，4=AD ，32=AB ，ABC ∆是正三角形，所以22,2==AO AE ，所以球的表面积()ππ322242=.点评：简单几何体与球的组合问题是高考中最常见的问题．通常情况下要去转化构造成常考的、熟悉的做法.【规律总结】构造法实质上是化归与转化思想在解题中的应用，需要根据已知条件和所要解决的问题确定构造的方向，通过构造新的函数、不等式或数列等新的模型，从而转化为自己熟悉的问题．本题巧妙地构造出正方体，而球的直径恰好为正方体的体对角线，问题很容易得到解决．【举一反三】1. 已知a ＝ln 12 013－12 013，b ＝ln 12 014－12 014，c ＝ln 12 015－12 015，则a ，b ，c 的大小关系为________． 【答案】a >b >c方法五 归纳推理法做关于归纳推理的填空题的时候，一般是由题目的已知可以得出几个结论(或直接给出了几个结论)，然后根据这几个结论可以归纳出一个更一般性的结论，再利用这个一般性的结论来解决问题．归纳推理是从个别或特殊认识到一般性认识的推演过程，这里可以大胆地猜想．例6【2015届安徽省蚌埠三中月考卷】古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为n n＋2＝12n2＋12n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：三角形数N(n,3)＝12n2＋12n，正方形数N(n,4)＝n2，五边形数N(n,5)＝32n2－12n，六边形数N(n,6)＝2n2－n ………………………………………可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.思路分析：本题中如何求出N(n，k)是解题的一个关键，也是一个难点，观察所给条件不难发现运用特殊到一般的规律进行处理，进而求解．点评：归纳推理法在填空题中的运用不是十分严格的，但在本题中不失是一种行之有效的方法，如在解答题中运用是要加以证明的．【规律总结】这类问题是近几年高考的热点．解决这类问题的关键是找准归纳对象．如本题把函数的前几个值一一列举出来．观察前面列出的函数值的规律，归纳猜想一般结论或周期，从而求得问题．【举一反三】1. 【2015高考陕西】观察下列等式：1－1122=1－1111123434+-=+ 1－1111111123456456+-+-=++ …………据此规律，第n 个等式可为______________________. 【答案】111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++ 【解析】观察等式知：第n 个等式的左边有2n 个数相加减，奇数项为正，偶数项为负，且分子为1，分母是1到2n 的连续正整数，等式的右边是111122n n n++⋅⋅⋅+++.故答案为111111111234212122n n n n n-+-+⋅⋅⋅+-=++⋅⋅⋅+-++。
高考数学二轮复习专题二填空题的解题方法与技巧
高考数学二轮复习专题二填空题的解题方法与技巧高考数学二轮复习专题二填空题的解题方法与技巧填空题1．(2014 ·重庆卷 ) 设全集 U＝{n ∈N|1≤n≤10} ， A＝ {1 ，2，3， 5， 8} ，B＝ {1 ， 3， 5，7， 9} ，则 ( ?U A) ∩B＝ ________．分析： ?U A＝ {4 ， 6， 7， 9，10} ，∴ ( ?U A) ∩B＝ {7 ， 9} ．答案： {7 ， 9}12．会合M＝x| －1≤ log 110＜－2，x∈N的真子集的个数是________．x分析： M＝{x|1 ≤ lg x＜ 2，x∈N} ＝{x|10 ≤x＜ 100，x∈ N}，明显会合M中有 90 个元素，其真子集的个数是290－ 1.答案： 290－1评论：迅速解答本题需要记着小结论：对于含有n 个元素的有限会合，其真子集的个数是 2n－ 1.3．若函数 y＝ x2＋ (a ＋ 2)x ＋3，x∈ [a ，b] 的图象对于直线x＝ 1 对称，则 b＝ ________．分析：由已知抛物线的对称轴为x＝－a＋ 2a＋ b，得 a＝－ 4，而＝ 1，22∴ b＝ 6.答案： 6x21114．假如函数 f(x) ＝1＋x2，那么f(1) ＋ f(2)＋ f2＋ f(3)＋ f3＋ f(4)＋ f4＝________．17分析：简单发现 f(t)＋ f t＝ 1，于是原式＝f(1) ＋ 3＝2.7答案：25．已知点P(tanα，cosα )在第三象限，则角α 的终边在第________象限．高考数学二轮复习专题二填空题的解题方法与技巧tan α＜ 0， sin α＞ 0，分析： 由已知 得cos α＜ 0 cos α＜ 0，进而角 α 的终边在第二象限．答案： 二x ＋2y －4≤0，6．(2014 ·浙江卷 ) 当实数 x ，y 知足 x －y －1≤0，时， 1≤ax ＋y ≤4恒建立，则实数x ≥1a 的取值范围是 ________．x ＋ 2y －4≤0，分析： 作出不等式组x －y －1≤0， 所表示的地区，由 1≤ax ＋y ≤4 得，由图可知， ax ≥1≥0，且在点 (1 ， 0) 获得最小值，在点 (2 ，1) 获得最大值，故a ≥1， 2a ＋1≤4，故 a 取值范3围为1，2.3答案：1， 2π7．假如函数 y ＝ sin 2x ＋acos 2x 的图象对于直线x ＝－ 8 对称，那么 a ＝ ________分析： y ＝ 1＋ a 2sin(2x ＋φ ) ，此中 tan φ＝ a.π∵ x ＝－ 8 是已知函数的对称轴，π π∴ 2－＋φ＝ k π＋ 2 ，8 即 φ＝ k π＋ 3π， k ∈ Z ，4于是 a＝ tanφ＝ tan kπ＋3π＝－ 1.4答案：－1评论：在解题的过程中，我们用到以下小结论：函数 y＝Asin ( ωx＋φ ) 和 y＝ Acos( ωx＋φ ) 的图象对于过最值点且垂直于 x 轴的直线分别成轴对称图形．8．以下四个命题：①2n＞ 2n＋1(n ≥3) ；②2＋ 4＋ 6＋＋ 2n＝ n2＋n＋2(n ≥1) ；③凸 n 边形内角和为f(n) ＝ (n － 1) π(n ≥3) ；④凸 n 边形对角线的条数是f(n) ＝n（ n－ 2）(n ≥4) ．2此中知足“假定 n＝k(k ∈N， k≥ k0) 时命题建立，则当n＝ k＋ 1 时命题也建立”．但不知足“当 n＝ n0(n 0是题中给定的n 的初始值 ) 时命题建立”的命题序号是 __________ ．分析：①当 n＝3 时，23＞2×3＋ 1，不等式建立；②当 n＝ 1 时， 2≠ 12＋ 1＋2，但假定 n＝ k 时等式建立，则2＋ 4＋ 6＋＋ 2(k ＋ 1) ＝ k2＋k＋ 2＋ 2(k ＋ 1) ＝ (k ＋ 1)2＋ (k ＋ 1) ＋ 2；③ f (3)≠(3 － 1) π，但假定 f(k)＝ (k －1)π建立，则 f(k ＋ 1) ＝ f(k)＋π＝ [(k ＋1) －1] π；④ f (4)≠4×（ 4－ 2）k（ k－2），假定 f(k)＝建立，则22（k＋ 1） [ （ k＋1）－ 2]f(k ＋ 1) ＝ f(k)＋ (k －3) ≠2.答案：②③→1→→→→9．(2014 ·新课标Ⅰ卷) 已知 A，B，C 为圆 O上的三点，若 AO＝2(AB＋ AC) ，则 AB与AC的夹角为 ________．→1 → →分析：由 AO＝2(AB＋ AC) ，故 O， B， C 三点共线，且O是线段 BC中点，故BC是圆 O的→→直径，进而∠ BAC＝ 90°，所以 AB与 AC的夹角为90° .答案： 90°10．(2014 ·新课标Ⅰ卷)(x － y)(x ＋y) 8的睁开式中x2y7的系数为 ________( 用数字填写答案)．分析：由题意， (x ＋ y)8睁开式通项为 T k8 －k k77＝ Cx y， 0≤k≤ 8，当 k＝7 时， T ＝ C xyk ＋ 18887626268的睁开式中27项为 x·8xy7＋ ( －＝8xy ；当 k＝ 6时，T ＝ C x y ＝ 28x y ，故 (x － y)(x ＋ y)x y78y)· 28x2y6＝－ 20x 2y7，系数为－ 20.答案：－ 2011．过长方体一个极点的三条棱长为 3，4，5, 且它的八个极点都在同一球面上，这个球的表面积是 ________．分析：长方体的对角线就是外接球的直径2R，22222即有 (2R) ＝ 4R＝3 ＋4 ＋5 ＝50，答案： 50π12．直线 y＝ x－ 1 被抛物线y2＝ 4x 截得线段的中点坐标是______________．y＝x－ 1，分析：由y2＝4x消去 y，化简得 x2－ 6x ＋ 1＝0，设此方程两根为x1， x2所截线段的中点坐标为(x 0，y0) ，则 x0＝x1＋ x2＝ 3， y0＝x0－1＝22.答案： (3 ， 2)x2y2m，则当 m取最大值时，点 P 13．椭圆＋＝1 上的一点 P 到两焦点的距离的乘积为925的坐标是 ________．分析：记椭圆的两焦点为F1， F2，有 |PF 1| ＋|PF 2| ＝ 2a＝ 10，|PF | ＋|PF|2则知 m＝ |PF | · |PF12＝25.| ≤122明显当 |PF | ＝ |PF| ＝ 5，即点 P 位于椭圆的短轴的极点处时，m获得最大值 25.12答案： ( －3， 0)或(3 ，0)。
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0
at ，则原不等式可转化为：
3 2
0,
∴a > 0，且2与
b (b 4 )
1 8
是方程
, b 36
at
2
t
3 2
a 的两根，由此可得：
。
例10 不论k为何实数，直线 y kx 1与曲线
x y 2 ax a 2 a 4 0 恒有交点，则实数 a的
—————— 。
解：特殊化：令 a 3 , b 4 , c 5 ， 则△ABC为直角三角形，cos 从而所求值为
3 5
A 3 5 , cos C 0 ，
。
例5 过抛物线 的焦点F作一直线交 抛物线交于P、Q两点，若线段PF、FQ的长分 别为p、q，则
1 p 1 q
y ax ( a 0 )
∴ m 2 。
例2已知函数
f (x)
ax 1 x2
在区间
( 2 , )
上为增函
数，则实数a的取值范围是 解： f ( x )
ax 1 x2 a 1 2a x2
。
，由复合函数的增减性
可知，g ( x )
∴ 1 2a 0
1 2a x2
在 ( 2 , )上为增函数，
，这就是我们找出的
7 2
有用的规律，于是原式＝
f 1 3
， 应填
7 2
.
本题是2002年全国高考题，十分有趣的是，2003年 上海春考题中也有一道类似题：设
f x 1 2
x
，利用课
2
本中推导等差数列前n项和的公式的方法，可求得
f 5 f 4 f 0 f 5 f 6 ______ .
n
2.如果函数 f x 1 x ，那 2 f f 3 f f 4 f _____ . 2 3 4
讲解
容易发现
1 f t f 1 t
∴
(a b) (a b) 0
∴
m ( m 2 ) j [ ( m 2 ) m ( m 4 )] i j ( m 2 )( m 4 ) j 0
2 2 2
而i，j为互相垂直的单位向量，故可得
m ( m 2 ) ( m 2 )( m 4 ) 0 ,
2
2
3 上，
y x 1
如图，当直线处于图中切线位置时，斜率
最大，最大值为 tan
3。
四、等价转化法
通过“化复杂为简单、化陌生为熟悉”， 将问题等价地转化成便于解决的问题，从而 得出正确的结果。 例9 不等式 a= 解：设 ，b=
x t
x ax
3 2
的解集为（4，b），则
2
。
2
三、数形结合法
对于一些含有几何背景的填空题，若能 数中思形，以形助数，则往往可以简捷地解 决问题，得出正确的结果。
例7 如果不等式
4x x
2
( a 1) x的解集为A，
且 A {x | 0 是 。
x 2}，那么实数a的取值范围
解：根据不等式解集的几何意义，作函数
y 4x x
y 1 4a
1 2a
1 4a
),
代入抛物线方程得，x ，从而
1 p 1 q 4a 。
1 2a
| PF | | FQ |
例6 求值
cos
2
a cos ( a 120 ) cos ( a 240 )
2 2
。
分析：题目中“求值”二字提供了这样信 a 息：答案为一定值，于是不妨令0 ，得结 果为 3 。
2
和y
( a 1) x
的图象（如图），
从图上容易得出实数a的取值范围是
a 2 ,
。
例8 已知实数x、y满足 ( x 3 ) 的最大值是 。
y
2
y
2
3
，则
y x 1
解： x 1 可看作是过点P（x，y）与M（1，0）
的直线的斜率，其中点P的圆
( x 3) y
1 3
13
特等奖的概率为
。
二、特殊化法
当填空题的结论唯一或题设条件 中提供的信息暗示答案是一个定值 时，可以把题中变化的不定量用特 殊值代替，即可以得到正确结果。
例4 在△ABC中，角A、B、C所对的边分
别为a、b、c。若a、b、c成等差数列，则
cos A cos C 1 cos A cos C
2 2 2
取值范围是
。
解：题设条件等价于点（0，1）在圆内或圆上， 或等价于点（0，1）到圆 ∴ 1
a 3。
(x a) y
2 2
2a 4
，
总之，能够多角度思考问题，灵活选择方法， 是快速准确地解数学填空题的关键。
练习
1.集合
M x 1 log
2
。
分析：此抛物线开口向上，过焦点且斜率为k的直线与抛 物线均有两个交点P、Q，当k变化时PF、FQ的长均变化， 但从题设可以得到这样的信息：尽管PF、FQ不定，但其 倒数和应为定值，所以可以针对直线的某一特定位置进行 求解，而不失一般性。 解：设k = 0，因抛物线焦点坐标为 ( 0 , 把直线方程 ∴
合情推理、优化思路、少算多思将 是快速、准确地解答填空题的基本要求. 数学填空题，绝大多数是计算型(尤其 是推理计算型)和概念(性质)判断型的 试题，应答时必须按规则进行切实的计 算或者合乎逻辑的推演和判断。求解填 空题的基本策略是要在“准”、“巧”、 “快”上下功夫。常用的方法有直接法、 特殊化法、数行结合法、等价转化法等。
第2讲
高考填空题的常用方法
数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写 出解答过程的客观性试题，是高考数学中的三种常 考题型之一，填空题的类型一般可分为：完形填空 题、多选填空题、条件与结论开放的填空题. 这说 明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型 的填空题将会不断出现. 因此，我们在备考时，既 要关注这一新动向，又要做好应试的技能准备.解 题时，要有合理的分析和判断，要求推理、运算的 每一步骤都正确无误，还要求将答案表达得准确、 完整.
一、直接法
这是解填空题的基本方法，它是直接 从题设条件出发、利用定义、定理、性 质、公式等知识，通过变形、推理、运 算等过程，直接得到结果。
例1设 a ( m 1) i 3 i , b i ( m 1) j , 其中i，j为互 相垂直的单位向量，又，则实数m = 。
a 解 ： b ( m 2 ) i ( m 4 ) j , a b mi ( m 2 ) j . ∵ ( a b ) ( a b )
1 2
，∴
a
。
例3现时盛行的足球彩票，其规则如下：全部13场足球 比赛，每场比赛有3种结果：胜、平、负，13长比赛全部 猜中的为特等奖，仅猜中12场为一等奖，其它不设奖，则 某人获得特等奖的概率为 。
解：由题设，此人猜中某一场的概率为
1 3
，且猜中每场
比赛结果的事件为相互独立事件，故某人全部猜中即获得
1 x
10 , x N 的真子 2 1
集的个数是 ______ .
M 讲解： x 1 lgx 2, x N x 10 x 100 , x N
显然集合M中有90个元素，其真子集的个数 是2
90
1 ，应填 2 90
1
.
快速解答此题需要记住小结论;对于含有n 个元素的有限集合,其真子集的个数是 2 1 .