(完整版)20180318三角函数专题讲义

任意角三角比复习专题

一、终边相同的角：

例1、已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.

例2、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，下列四个命题：

①A=B=C②A⊂C③C⊂A④A∩C=B,其中正确的命题个数为；

α角的终边在，2α角的终边在.

例3、若角α是第三象限角，则

2

二、弧度制

1、弧度与角度的互化：

2、弧长公式： ；扇形面积公式： ；

例4、圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心

角的 倍.

例5、已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？

最大面积是多少？

例6、如下图，圆周上点A 依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A 点

1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.

三、任意角的三角函数： 1、任意角的三角函数定义：

以角α的顶点为坐标原点，始边为x 轴正半轴建立直角坐标系，角α的终边与单位圆的交点为),(y x P ，

则=αsin ；=αcos ；=αtan 定义拓展：在角α的终边上任取一个异于原点的点),(y x P ，

点P 到原点的距离记为r ，则=αsin ；=αcos ；=αtan ；

2、各象限角的各种三角函数值正负符号：一全二正弦,三切四余弦

αsin αcos αtan

例7、角α的终边上一点)3,(a a -，则=+ααsin 2cos 。

例8、试写出所有终边在直线x y 3-=上的角的集合并指出上述集合中-1800~1800之间的角.

例9、sin2cos3tan4的值 （ ） (A)大于0

(B)小于0 (C)等于0

(D)不确定

例10、在△ABC 中,若cos A cos B cos C <0，则△ABC 是（ ）

(A)锐角 (B)直角(C)钝角 (D)锐角或钝角 例11、若sin θ·cos θ＞0, 则θ是第 象限的角;

例12、比较)2

,0(

∈x ，x sin ，x tan ，x 的大小关系： 。

四、同角三角函数的关系与诱导公式： 例13、已知sin αcos α=8

1,且4π<α<2π

，则cos α－sin α的值为

例14、已知sin cos 2sin 3cos αααα-+=5

1

,则tan α的值是

例15、若tan θ=3

1,π<θ<3

2π,则sin θ·cos θ的值

例16、若α是三角形的一个内角，且sin α+cos α=3

2

,则α为

例17、已知tan α=2,则2sin 2α－3sin αcos α－2cos 2α= ;

例18、设是第二象限角,则sin cos αα

例19α为第四象限角）= ;

例20、sin x = 35m m -+,cos x =425

m

m -+,x ∈(2π,π),求tan x

例21、已知关于x 的方程)

2

210x x m -

+=的两根为sin θ和cos θ：

（1）求1sin cos 2sin cos 1sin cos θθθθ

θθ

+++++的值； （2）求m 的值．

例22、已知sin(π+α)=4

5

,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是

例23、tan(150)cos(570)cos(1140)

tan(210)sin(690)-︒⋅-︒⋅-︒-︒⋅-︒= . = .

例24、sin 2(3π－x )+sin 2(6

π

+x )= .

例25、是否存在角α、β，α∈(-2π,2π)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α2

π

-β),

α)=π+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.

五、三角恒等变形

例26、化简：

440sin 12-=

例27、已知tanα，tanβ是方程2

40x ++=两根，且α，β)2

,2(ππ-∈，则α+β等于( )

(A)π-

32 (B)π-32或3π (C)3π-或π32 (D)3

π

例28、sin163sin 223+sin 253sin313= ( )

1()2A - 1

()2

B ()2

C (2

D 例29、求下列各式的值：⑴

75tan 175tan 1-+ ; ⑵tan17︒+tan28︒+tan17︒tan28︒

例30、 已知锐角α,β满足cos α=53,cos(α+β)=13

5

-,求cos β.

例31、已知2

1

)4tan(=+απ

，（1）求αtan 的值；（2）求αα2cos 1cos 2sin 2+-a 的值

例32、 已知α∈⎪⎭⎫ ⎝

⎛2,0π,β∈⎪⎭

⎫

⎝⎛ππ,2

且sin(α+β)=

6533,cos β=-13

5.求sin α.

例33、化简sin 2α·sin 2β+cos 2αcos 2β-2

1

cos2α·cos2β.

六、三角函数的图象和性质

1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

sin y x = cos y x = tan y x =

图象

定义域 R R

,2x x k k ππ⎧⎫

≠+∈Z ⎨⎬⎩⎭

值域

[]1,1-

[]1,1-

R

最值

当

22

x k π

π=+

()k ∈Z 时，max 1y =；

当22

x k ππ=-()k ∈Z 时，

min 1y =-．

当()2x k k π=∈Z 时，

max 1y =；

当2x k ππ=+

()k ∈Z 时，min 1y =-． 既无最大值也无最小

值

周期性 2π 2π π 奇偶性

奇函数

偶函数 奇函数

函 数 性

质