考点48 圆的方程(解析版)

考点48 圆的方程

1．（广东省2019届高考适应性考试理）若向量a ，b ，c 满足a b ≠，0c ≠，且()()

0c a c b -⋅-=，则

a b a b

c

++-的最小值是（ ）

A ．3

B ．22

C ．2

D ．

3

2

【答案】C 【解析】

设向量a OA =，b OB =，c OC =,则由()()

0c a c b -⋅-=得0AC BC ⋅=,即C 的轨迹为以AB 为直径的圆，圆心为AB 中点M ，半径为1||2

AB ， 因此11

||||||(||)||22

c OC OM r OA OB AB =≤+=

++ 1111

(||)(||)(||)(||)2222

OA OB OA OB a b a b =++-=++- 从而

2a b a b

c

++-≥，选C.

2．（河南省重点高中2019届高三4月联合质量检测数学理）设是圆 上的点，

直线与双曲线：

的一条斜率为负的渐近线平行，若点到直线距离的最大值为

8，则（ ）

A ．9

B ．

C ．9或

D ．9或

【答案】C 【解析】 因为双曲线的一条斜率为负的渐近线的斜率为，

所以，解得

. 圆

的圆心坐标是

，半径为

，

因为圆心

到直线

距离为

， 所以点到直线距离的最大值为

，

解得或.

当时，；

当时，.

综上，或.故选.

3．（广西桂林市、崇左市2019届高三下学期二模联考数学理）过双曲线的右支上一点分别向圆：和圆：作切线，切点分别为，则的最小值为（）A．5 B．4 C．3 D．2

【答案】A

【解析】

圆的圆心为，半径为；

圆的圆心为，半径为，

设双曲线的左右焦点为，，

连接，，，，可得

．

当且仅当为右顶点时，取得等号，

即最小值5．

故选：．

4．（福建省龙岩市2019届高三5月月考数学理）已知点A 在圆22

(2)1x y -+=上，点B 在抛物线28y x

=上，则||AB 的最小值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4

【答案】A 【解析】

由题得圆()2

221x y -+=的圆心为（2,0），半径为1. 设抛物线的焦点为F(2,0),刚好是圆()2

221x y -+=的圆心， 由题得|AB|≥|BF|-|AF|=|BF|-1, 设点B 的坐标为(x,y),

所以|AB|≥x -(-2)-1=x+1,因为x≥0， 所以|AB|≥1，所以|AB|的最小值为1. 故选：A

5．（新疆2019届高三第三次诊断性测试数学理）若直线1ax by +=与圆221x y +=有两个公共点，则点

(),P a b 与圆221x y +=的位置关系是（ ）

A ．在圆上

B ．在圆外

C ．在圆内

D ．以上都有可能

【答案】B 【解析】

解：因为直线1ax by +=与圆2

2

1x y +=有两个公共点，

2

2

1a b

<+，

即1<

因为点P 1， 所以点P 在圆外，故选B ．

6．（河南省焦作市2018-2019学年高三年级第三次模拟考试数学理）已知抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的准线为l ，圆C ：（x ﹣

2

p ）2+y 2

＝4，l 与圆C 交于A ，B ，圆C 与E 交于M ，N ．若A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点，则E 的方程为（ ）

A ．y 2＝x

B ．y 2

C ．y 2＝2x

D ．y 2＝x

【答案】C 【解析】 【分析】 如图，圆C ：（x ﹣2p ）2+y 2＝4的圆心C （2

p

，0）是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点， ∵圆C ：（x ﹣

2

p ）2+y 2

＝4的半径为2， ∴|NC|＝2，根据抛物线定义可得：|NA|＝|NC|＝2． ∵A ，B ，M ，N 为同一个矩形的四个顶点， ∴点A ，N 关于直线x ＝

2p 对称，即22N A P x x P +=⨯=，∴3

2

N x p =， ∴|NA|＝

322p p ⎛⎫

-- ⎪⎝⎭

＝2，∴2p ＝2，则E 的方程为y 2＝2x ． 故选：C ．

7．（闽粤赣三省十校2019届高三下学期联考数学理）过抛物线2

4y x =的焦点F 的直线交抛物线于A B 、两

点，分别过A B 、作准线的垂线，垂足分别为A B ''、两点，以线段A B ''为直径的圆C 过点(2,3)-，则圆C 的方程为（ ）

A ．22(1)(1)5x y ++-=

B ．22(1)(1)17x y +++=

C ．22(1)(2)26x y +++=

D ．22(1)(2)2x y ++-=

【答案】A 【解析】

由抛物线方程可知：()1,0F ，准线方程为：1x =-

设直线AB 方程为：1x my =+，代入抛物线方程得：2

440y my --= 设()11,A x y ，()22,B x y ，则124y y m +=，124y y = 又()11,A y '-，()21,B y '-，C 在圆上 0A C B C ''∴⋅=

即()()()()1211330y y -⨯-+--= ()12121030y y y y ⇒-++= 即101240m -+= 1

2

m ⇒=

∴圆心坐标为：()1,2m -，即()1,1-()()

22

12135-++-=∴圆的方程为：()()22115x y ++-=

本题正确选项：A ．