(完整版)河南省中考数学一模试卷.doc

2018 年河南省中考数学一模试卷
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．（3 分）下列各数中，最小的数是（）
A．﹣ 3B．﹣（﹣ 2）C．0D．﹣
2．（ 3 分）据财政部网站消息， 2018 年中央财政困难群众救济补助预算指标约为929 亿元，数据 929 亿元科学记数法表示为（）
A．9.29×109 B．9.29× 1010 C．92.9×1010 D．9.29×1011
3．（3 分）如图所示的几何体的主视图是（）
A．B．C．D．
4．（3 分）小明解方程﹣=1 的过程如下，他的解答过程中从第（）步开始出现错误．
解：去分母，得1﹣（ x﹣2）=1①
去括号，得 1﹣x+2=1②
合并同类项，得﹣ x+3=1③
移项，得﹣ x=﹣2④
系数化为 1，得 x=2⑤
A．①B．②C．③D．④
5．（3 分）为了尽早适应中考体育项目，小丽同学加强跳绳训练，并把某周的练习情况做了如下记录：周一（160 个），周二（ 160 个），周三（ 180 个），周
四（200 个），周五（170 个）．则小丽这周跳绳个数的中位数和众数分别是（）A．180 个， 160 个B．170 个， 160 个 C．170 个， 180 个
D．160 个， 200 个
6．（ 3 分）关于 x 的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0 有实数根，则 k 的取值范围在数轴上表示正确的是（）
A．B．
C．D．
7．（3 分）如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是（）
A．∠ ABC=∠ ADC，∠ BAD=∠BCD B．AB=BC
C．AB=CD，AD=BC D．∠ DAB+∠BCD=180°
8．（3 分）郑州地铁Ⅰ号线火车站站口分布如图所示，有A，B，C，D，E 五个进出口，小明要从这里乘坐地铁去新郑机场，回来后仍从这里出站，则他恰好
选择从同一个口进出的概率是（）
A．B．C．D．
9．（3 分）如图，在矩形ABCD中， AB=2，BC=3．若点 E 是边 CD 的中点，连接AE，过点 B 作 BF⊥AE 交 AE于点 F，则 BF的长为（）
A．B．C．D．
10．（ 3 分）如图，动点 P 从（ 0，3）出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩
形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角． 当点 P 第 2018 次碰到矩形的边时，
点 P 的坐标为（
）
A ．（1，4）
B ．（ 5， 0）
C ．（7，4）
D ．（8，3）
二、填空题（每小题 3 分，共 15 分）
11．（ 3 分） = ．
．（ 3 分）方程 2﹣5x+2=0 的一个根是 a ，则 6a 2﹣10a+2= ． 12 3x
．（ 3 分）点
2
﹣4x ﹣ 1 的图象上，若当 13 A （ x 1，y 1）、B （x 2，y 2）在二次函数 y=x
1＜x 1＜2，3＜x 2＜4 时，则 y 1 与 y 2 的大小关系是 y 1 y 2．（用 “＞”、“＜”、 “ =填”空）
14．（ 3 分）如图 1，在 R t △ABC 中，∠ ACB=90°，点 P 以每秒 2cm 的速度从点 A 出发，沿折线 AC ﹣CB 运动，到点 B 停止．过点 P 作 PD ⊥AB ，垂足为 D ，PD
的长 y （ cm ）与点 P 的运动时间 x （秒）的函数图象如图 2 所示．当点 P 运动
5 秒时， PD 的长的值为 ．
15．（ 3 分）如图，在菱形 ABCD 中， AB= ，∠ B=120°，点 E 是 AD 边上的一个
动点（不与 A ，D 重合），EF ∥AB 交 BC 于点 F ，点 G 在 CD 上， DG=DE ．若△
EFG 是等腰三角形，则 DE 的长为 ．
三、解答题（本大题共8 小题，满分 75 分）
16．（ 8 分）先化简，再求值：（x+2y）2﹣（ 2y+x）（2y﹣x）﹣ 2x2，其中 x= +2，y= ﹣2．
17．（ 9 分）全民健身运动已成为一种时尚，为了了解我市居民健身运动的情况，某健身馆的工作人员开展了一项问卷调查，问卷包括五个项目： A：健身房运动； B：跳广场舞； C：参加暴走团； D：散步； E：不运动．
以下是根据调查结果绘制的统计图表的一部分．
运动形式A B C D E
人数1230m549
请你根据以上信息，回答下列问题：
（ 1）接受问卷调查的共有人，图表中的m=，n=；
（ 2）统计图中， A 类所对应的扇形圆心角的度数为；
（ 3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是，不运动的市民所占的百分比是；
（4）我市碧沙岗公园是附近市民喜爱的运动场所之一，每晚都有“暴走团”活动，若最邻近的某社区约有 1500 人，那么估计一下该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有多少人？
18．（ 9 分）如图， AB 是⊙ O 的直径，点 C 为⊙ O 上一点，经过 C 作 CD⊥AB 于点D， CF是⊙ O 的切线，过点 A 作 AE⊥CF于 E，连接 AC．
（1）求证： AE=AD．
（2）若 AE=3，CD=4，求 AB 的长．
19．（ 9 分）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图①），图②是平面图．光明中学的数学兴趣小组针对风
电塔杆进行了测量，甲同学站在平地上的 A 处测得塔杆顶端 C 的仰角是 55°，乙同学站在岩石 B 处测得叶片的最高位置 D 的仰角是 45°（ D，C，H 在同一直线上， G，A，H 在同一条直线上），他们事先从相关部门了解到叶片的长度为
15 米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），岩石高 BG为 4 米，两处的水平距
离 AG 为 23 米， BG⊥GH，CH⊥ AH，求塔杆 CH 的高．（参考数据： tan55 °≈1.4，tan35 °≈0.7，sin55 °≈ 0.8， sin35 °≈0.6）
20．（ 9 分）如图，反比例 y=的图象与一次函数y=kx﹣ 3 的图象在第一象限内交于 A（4，a）．
（1）求一次函数的解析式；
（2）若直线 x=n（0＜n＜4）与反比例函数和一次函数的图象分别交于点 B，C，连接 AB，若△ ABC是等腰直角三角形，求 n 的值．
21．（ 10 分）一家商店进行门店升级需要装修，装修期间暂停营业，若请甲乙两个装修组同时施工， 8 天可以完成，需付费用共3520 元；若先请甲组单独做
6 天，再请乙组单独做12 天可以完成，需付费用3480 元，问：
（1）甲、乙两组工作一天，商店各应付多少钱？
（2）已知甲组单独完成需 12 天，乙组单独完成需 24 天，单独请哪个组，商店所需费用最少？
（ 3）装修完毕第二天即可正常营业，且每天仍可盈利200 元（即装修前后每天盈利不变），你认为商店应如何安排施工更有利？说说你的理由．（可用（ 1）（2）问的条件及结论）
22．（10 分）如图 1，△ABC与△ CDE都是等腰直角三角形，直角边 AC，CD 在同一条直线上，点 M 、N 分别是斜边 AB、DE的中点，点 P 为 AD 的中点，连
接AE， BD， PM， PN， MN．
（ 1）观察猜想：
图 1 中， PM 与 PN 的数量关系是，位置关系是．
（ 2）探究证明：
将图 1 中的△ CDE绕着点 C 顺时针旋转α（0°＜α＜90°），得到图 2，AE与MP、 BD 分别交于点 G、H，判断△ PMN 的形状，并说明理由；
（ 3）拓展延伸：
把△ CDE绕点 C 任意旋转，若AC=4， CD=2，请直接写出△ PMN 面积的最大值．
23．（ 11 分）如图，抛物线 y=﹣ x2+bx+c 与 x 轴交于点 A 和点 B（3，0），与 y 轴交于点 C（0，3），点 D 是抛物线的顶点，过点 D 作 x 轴的垂线，垂足为 E，连接 DB．
（1）求此抛物线的解析式及顶点 D 的坐标；
（2）点 M 是抛物线上的动点，设点 M 的横坐标为 m．①
当∠ MBA=∠ BDE时，求点 M 的坐标；
②过点 M 作 MN∥x 轴，与抛物线交于点 N，P 为 x 轴上一点，连接 PM，PN，将
第 6页（共 26页）
出 m 的值．
2018 年河南省中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题 3 分，共 30 分）
1．
【分析】应明确在数轴上，从左到右的顺序，就是数从小到大的顺序，据此解答．【解答】解：因为在数轴上﹣ 3 在其他数的左边，所以﹣ 3 最小；
故选： A．
【点评】此题考负数的大小比较，应理解数字大的负数反而小．
2．
【分析】科学记数法的表示形式为a× 10n的形式，其中 1≤| a| ＜ 10，n 为整数．确定n 的值是易错点，由于 929 亿有 11 位，所以可以确定 n=11﹣1=10．
【解答】解： 929 亿 =92 900 000 000=9.29×1010．
故选： B．
【点评】此题考查科学记数法表示较大的数的方法，准确确定 a 与 n 值是关键．
3．
【分析】先细心观察原立体图形和长方体的位置关系，结合四个选项选出答案．
【解答】解：由图可知，主视图由一个矩形和三角形组成．
故选： D．
【点评】本题考查了简单组合体的三视图，培养了学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．
4．
【分析】根据解分式方程的方法可以判断哪一步是错误的，从而可以解答本题．
【解答】解：﹣=1
第 8页（共 26页）
1﹣（ x﹣2）=x，故①错误，
故选： A．
【点评】本题考查解分式方程，解答本题的关键是明确解分式方程的方法．
5．
【分析】根据中位数和众数的定义分别进行解答即可．
【解答】解：把这些数从小到大排列为160，160，170，180，200，最中间的数是 170，则中位数是 170；
160 出现了 2 次，出现的次数最多，则众数是160；
故选： B．
【点评】此题考查了中位数和众数，掌握中位数和众数的定义是解题的关键；中
位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．
6．
【分析】根据方程的系数结合根的判别式△≥0，即可得出关于k 的一元一次不等式，解之即可得出k 的取值范围，再将其表示在数轴上即可得出结论．
【解答】解：∵关于 x 的一元二次方程x2﹣2x+k+2=0 有实数根，
∴△ =（﹣ 2）2﹣4（k+2）≥ 0，
解得： k≤﹣ 1．
故选： C．
【点评】本题考查了根的判别式以及在数轴上表示不等式的解集，牢记“当△≥0时，方程有实数根”是解题的关键．
7．
【分析】首先可判断重叠部分为平行四边形，且两条纸条宽度相同；再由平行四边形的等积转换可得邻边相等，则四边形ABCD为菱形．所以根据菱形的性质进行判断．
第 9页（共 26页）
【解答】解∵四边形 ABCD是用两张等宽的纸条交叉重叠地放在一起而组成的图形，
∴AB∥CD，AD∥BC，
∴四边形 ABCD是平行四边形（对边相互平行的四边形是平行四边形）；
过点 D 分别作 BC，CD 边上的高为 AE， AF．则
AE=AF（两纸条相同，纸条宽度相同）；
∵平行四边形 ABCD中， S△ABC=S△ACD，即 BC×AE=CD×AF，
∴BC=CD，即 AB=BC．故 B 正确；
∴平行四边形 ABCD为菱形（邻边相等的平行四边形是菱
形）．∴∠ ABC=∠ADC，∠ BAD=∠BCD（菱形的对角相等），
故 A 正确；AB=CD，AD=BC（平行四边形的对边相等），故 C 正
确；
如果四边形 ABCD是矩形时，该等式成立．故 D 不一定正确．
故选： D．
【点评】本题考查了菱形的判定与性质．注意：“邻边相等的平行四边形是菱形”，而非“邻边相等的四边形是菱形”．
8．
【分析】列表得出进出的所有情况，再从中确定出恰好选择从同一个口进出的结果数，继而根据概率公式计算可得．
【解答】解：列表得：
A B C D E
A AA BA CA DA EA
B AB BB CB DB EB
C AC BC CC DC EC
D AD BD CD DD ED
第10页（共 26页）
E AE BE CE DE EE
∴一共有 25 种等可能的情况，恰好选择从同一个口进出的有 5 种情况，
∴恰好选择从同一个口进出的概率为=，
故选： C．
【点评】此题主要考查了列表法求概率，列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适用于两步或两步以上完成的
事件；解题时还要注意是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率 = 所求情况数与总情况数之比．
9．
【分析】根据 S△ABE=S 矩形ABCD=3= ?AE?BF，先求出 AE，再求出 BF即可．
【解答】解：如图，连接 BE．
∵四边形 ABCD是矩形，
∴AB=CD=2，BC=AD=3，∠ D=90°，
在 Rt△ADE中， AE===，
∵S△ABE= S矩形ABCD=3= ?AE?BF，
∴ BF=．
故选： B．
【点评】本题考查矩形的性质、勾股定理、三角形的面积公式等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用面积法解决有关线段问题，属于中
考常考题型．
10．
【分析】根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每6次反弹为一个循环组依
第11页（共 26页）
次循，用 2018 除以 6，根据商和余数的情况确定所的点的坐即可．【解答】解：如， 6 次反后点回到出点（0， 3），
∵2018÷ 6=336⋯2，
∴当点 P 第 2018 次碰到矩形的第336 个循的第 2 次反，
点P 的坐（ 7，4）．故：
C．
【点】此主要考了点的坐的律，作出形，察出每6次反一个循依次循是解的关．
二、填空（每小 3 分，共 15 分）
11．
【分析】如果一个数 x 的平方等于 a，那么 x 是 a 的算平方根，由此即可求解．【解答】解：∵ 22=4，
∴=2．
故答案： 2
【点】此主要考了学生开平方的运算能力，比．
12．
【分析】根据一元二次方程的解的定，将x=a 代入方程 3x2 5x+2=0，列出关
于a 的一元二次方程，通形求得 3a2 5a 的后，将其整体代入所求的代数式并
求即可．
【解答】解：∵方程 3x25x+2=0 的一个根是 a，
∴3a2 5a+2=0，
∴3a2 5a= 2，
第12页（共 26页）
∴6a2﹣ 10a+2=2（ 3a2﹣ 5a）+2=﹣2×2+2=﹣2．
故答案是：﹣ 2．
【点评】此题主要考查了方程解的定义．此类题型的特点是，利用方程解的定义找到相等关系，再把所求的代数式化简后整理出所找到的相等关系的形式，
再把此相等关系整体代入所求代数式，即可求出代数式的值．
13．
【分析】先根据二次函数的解析式判断出抛物线的开口方向及对称轴，根据图象上的点的横坐标距离对称轴的远近来判断纵坐标的大小．
【解答】解：由二次函数y=x2﹣4x﹣1=（ x﹣2）2﹣5 可知，其图象开口向上，且对称轴为 x=2，
∵1＜ x1＜2，3＜x2＜4，
∴A 点横坐标离对称轴的距离小于 B 点横坐标离对称轴的距离，
∴y1＜y2．
故答案为：＜．
【点评】本题主要考查对二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质等知识点的理解和掌握，能求出对称轴和根据二次函数的性质求出正确答案是解此
题的关键．
14．
【分析】由 P 的速度和图 2 得出 AC和 BC的长，运用勾股定理求出AB，即可求
出sin∠B，求出 P 运动 5 秒距离 B 的长度利用三角函数得出 PD 的
值．【解答】解：∵ P以每秒 2cm 的速度从点 A 出发，
∴从图 2 中得出 AC=2×3=6cm，BC=（7﹣3）× 2=8cm，
∵Rt△ABC中，∠ ACB=90°，
∴ AB===10cm，
∴sin∠B= = = ，
∵当点 P 运动 5 秒时， BP=2×7﹣2×5=4cm，
第13页（共 26页）
∴PD=4× sin∠ B=4× =2.4cm，
故答案为 2.4cm．
【点评】本题主要考查了动点问题的函数图象，理清图象的含义即会识图是解题的关键．
15．
【分析】由四边形 ABCD是菱形，得到 BC∥ AD，由于 EF∥AB，得到四边形 ABFE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得到EF∥AB，于是得到EF=AB=，当△ EFG为等腰三角形时，① EF=GE=时，于是得到DE=DG= AD÷=1，
②GE=GF时，根据勾股定理得到DE=．
【解答】解：∵四边形 ABCD是菱形，∠ B=120°∴∠
D=∠ B=120°，∠ A=180°﹣120°=60°，BC∥AD，
∵EF∥AB，
∴四边形 ABFE是平行四边形，
∴EF∥AB，
∴EF=AB= ，∠ DEF=∠A=60°，∠ EFC=∠
B=120°，∵ DE=DG，
∴∠ DEG=∠DGE=30°，
∴∠ FEG=30°，
当△ EFG为等腰三角形时，
①当 EF=EG时， EG=，
如图 1，过点 D 作 DH⊥EG于 H，
∴EH= EG= ，
在 Rt△DEH中， DE= =1，
②GE=GF时，如图 2，
过点 G 作 GQ⊥EF，
∴ EQ= EF= ，
第14页（共 26页）
在Rt△EQG中，∠
QEG=30°，∴ EG=1，
过点 D 作 DP⊥EG于 P，
∴ PE= EG= ，
同①的方法得， DE=，
③当 EF=FG时，∴∠ EFG=180°﹣ 2× 30°=120°=∠CFE，此时，点 C 和点 G 重合，
点F 和点 B 重合，不符合题
意，故答案为： 1 或．
【点评】本题考查了菱形的性质，平行四边形的性质，等腰三角形的性质以及勾股定理，熟练掌握各性质是解题的关键．
三、解答题（本大题共8 小题，满分 75 分）
16．
【分析】利用完全平方公式、平方差公式展开并合并同类项，然后把x、y 的值代入进行计算即可得解．
【解答】解：原式 =x2+4xy+4y2﹣（ 4y2﹣x2）﹣ 2x2
=x2+4xy+4y2﹣4y2+x2﹣ 2x2
=4xy，
当x= +2，y= ﹣ 2 时，
原式 =4×（ +2）×（﹣ 2）
=4×（ 3﹣4）
=﹣4．
【点评】本题主要考查整式的混合运算﹣化简求值，解题的关键是熟练掌握整式混合运算顺序和运算法则及完全平方公式、平方差公式．
17．
【分析】（1）由 B 项目的人数及其百分比求得总人数，根据各项目人数之和等于总人数求得 m=45，再用 D 项目人数除以总人数可得n 的值；
（ 2） 360°乘以 A 项目人数占总人数的比例可得；
（ 3）由表可知样本中散步人数最多，据此可得，再用 E 项目人数除以总人数可得；
（ 4）总人数乘以样本中 C 人数所占比例．
【解答】解：（1）接受问卷调查的共有30÷ 20%=150人，m=150﹣（12+30+54+9）=45，
n%=×100%=36%，
∴n=36，
故答案为： 150、45、 36；
（ 2） A 类所对应的扇形圆心角的度数为360°×=28.8 °，
故答案为： 28.8 °；
（3）根据调查结果，我市市民最喜爱的运动方式是散步，不运动的市民所占的百分比是×100%=6%，
故答案为：散步、 6%；
（4） 1500×=450（人），
答：估计该社区参加碧沙岗“暴走团”的大约有450人．
【点评】本题考查的是统计表和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．扇形统计图直接反映部分占总
体的百分比大小．
18．
【分析】（1）连接 OC，如图所示，由 CD⊥ AB，AE⊥CF，利用垂直的定义得到一对直角相等，再由CF为圆的切线，利用切线的性质得到CO⊥EF，可得出 AE 与 OC平行，利用两直线平行内错角相等，等边对等角得到一对角相等，利用AAS得到三角形全等，利用全等三角形的对应边相等即可得证；
（2）连接 BC，在直角三角形 ACD中，利用勾股定理求出 AC 的长，在直角三角形AEC中，利用锐角三角函数定义求出所求即可．
【解答】（1）证明：连接 OC，如图所示，
∵CD⊥AB，AE⊥CF，
∴∠ AEC=∠ADC=90°，
∵CF是圆 O 的切线，
∴CO⊥CF，即∠ ECO=90°，
∴AE∥OC，
∴∠ EAC=∠ACO，
∵OA=OC，
∴∠ CAO=∠ACO，
∴∠ EAC=∠CAO，
在△ CAE和△ CAD中，
，
∴△ CAE≌△ CAD（AAS），
∴AE=AD；
（ 2）解：连接 CB，如图所示，
∵△ CAE≌△ CAD，AE=3，
∴AD=AE=3，
∴在 Rt△ ACD中， AD=3，CD=4，
根据勾股定理得： AC=5，
在Rt△AEC中， cos∠EAC= = ，
∵AB为直径，
∴∠ ACB=90°，
∴ cos∠ CAB= = ，
∵∠ EAC=∠CAB，
∴= ，即 AB= ．
【点评】此题考查了切线的性质，以及勾股定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键．
19．
【分析】作BE⊥DH，知GH=BE、BG=EH=4，设AH=x，则BE=GH=23+x，由CH=AHtan ∠CAH=tan55°?x知 CE=CH﹣ EH=tan55°?x﹣ 4，根据 BE=DE可得关于 x 的方程，解之可得．
【解答】解：如图，作 BE⊥DH 于点 E，
则GH=BE、BG=EH=4，
设AH=x，则 BE=GH=GA+AH=23+x，
在Rt△ACH中， CH=AHtan∠CAH=tan55°?x，
∴ CE=CH﹣EH=tan55°?x﹣ 4，
∵∠ DBE=45°，
∴ BE=DE=CE+DC，即 23+x=tan55 °?x﹣4+15，
解得： x≈30，
∴CH=tan55°?x=1×.430=42，
答：塔杆 CH的高为 42 米．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解答本题要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．
20．
【分析】（ 1）由已知先求出 a，得出点 A 的坐标，再把 A 的坐标代入一次函数y=kx ﹣3 求出 k 的值即可求出一次函数的解析式；
（ 2）易求点 B、C 的坐标分别为（ n，），（n，n﹣3）．设直线y=x﹣3与x轴、
y 轴分别交于点 D、 E，易得 OD=OE=3，那么∠ OED=45°．根据平行线的性质得到∠ BCA=∠OED=45°，所以当△ ABC 是等腰直角三角形时只有 AB=AC一种情况．过点 A 作 AF⊥BC 于 F，根据等腰三角形三线合一的性质得出BF=FC，依此得出方程﹣1=1﹣（ n﹣3），解方程即可．
【解答】解：（1）∵反比例 y=的图象过点A（4，a），
∴a= =1，
∴A（ 4， 1），
把A（4，1）代入一次函数 y=kx﹣3，得 4k﹣3=1，
∴ k=1，
∴一次函数的解析式为 y=x﹣3；
（ 2）由题意可知，点B、C 的坐标分别为（ n，），（n，n﹣3）．
设直线 y=x﹣ 3 与 x 轴、 y 轴分别交于点 D、E，如图．
当 x=0 时， y=﹣3；当 y=0 时， x=3，
∴OD=OE，∴∠
OED=45°．
∵直线 x=n 平行于 y 轴，
∴∠ BCA=∠OED=45°，
∵△ ABC是等腰直角三角形，且 0＜n＜4，
∴只有 AB=AC一种情况，
过点 A 作 AF⊥ BC于 F，则 BF=FC，F（n，1），
∴﹣1=1﹣（ n﹣ 3），
解得 n1=1，n2=4，
∵0＜ n＜ 4，
∴ n2=4 舍去，
∴ n 的值是 1．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求一次函数的解析式，等腰直角三角形的性质，难度适中．
21．
【分析】（1）设甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店应付y 元，根据“若请甲乙两个装修组同时施工， 8 天可以完成，需付费用共 3520 元；若先请甲组单独做 6 天，再请乙组单独做 12 天可以完成，需付费用 3480 元”，即可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解之即可得出结论；
（2）根据所需总费用 =每天应付钱数×工作天数，分别求出单独请甲、乙两组完成所需费用，比较后即可得出结论；
（3）根据损失总钱数 =每天盈利×装修时间 +装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完成所损失的总钱数，比较后即可得出结论．
第20页（共 26页）
【解答】解：（1）设甲组工作一天商店应付x 元，乙组工作一天商店应付y 元，根据题意得：，
解得：．
答：甲组工作一天商店应付300 元，乙组工作一天商店应付140 元．
（2）单独请甲组所需费用为： 300×12=3600（元），
单独请乙组所需费用为： 140×24=3360（元），
∵ 3600＞ 3360，
∴单独请乙组所需费用最少．
（3）商店请甲乙两组同时装修，才更有利，理由如下：
单独请甲组完成，损失钱数为：200×12+3600=6000（元），
单独请乙组完成，损失钱数为：200×24+3360=8160（元），
请甲乙两组同时完成，损失钱数为：200× 8+3520=5120（元）．
∵8160＞ 6000＞ 5120，
∴商店请甲乙两组同时装修，才更有利．
【点评】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据所需总费用 =每天应付钱数×工作天数，分别
求出单独请甲、乙两组完成所需费用；（3）根据损失总钱数 =每天盈利×装修时
间 +装修队所需费用，分别求出单独请甲、乙两组及请甲乙两组同时完
成所损失的总钱数
22．
【分析】（1）由等腰直角三角形的性质易证△ACE≌△ BCD，由此可得AE=BD，再根据三角形中位线定理即可得到PM=PN，由平行线的性质可得PM⊥PN；
（2）（1）中的结论仍旧成立，由（ 1）中的证明思路即可证明；
（3）由（2）可知△ PMN 是等腰直角三角形， PM= BD，推出当 BD 的值最大时，PM 的值最大，△ PMN 的面积最大，推出当B、 C、 D 共线时， BD 的最大值
=BC+CD=6，由此即可解决问题；
【解答】解：（1）PM=PN，PM⊥PN，理由如下：
延长 AE 交 BD 于 O．
∵△ ACB和△ ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，∠ ACB=∠
ECD=90°．在△ ACE和△ BCD中
，
∴△ ACE≌△ BCD（SAS），
∴AE=BD，∠ EAC=∠CBD，
∵∠ EAC+∠AEC=90°，∠ AEC=∠BEO，
∴∠ CBD+∠BEO=90°，
∴∠ BOE=90°，即 AE⊥BD，
∵点 M 、 N 分别是斜边 AB、DE 的中点，点 P 为 AD 的中点，∴PM= BD，PN= AE，
∴PM=PM，
∵PM∥ BD， PN∥AE，AE⊥BD，
∴∠ NPD=∠EAC，∠ MPA=∠BDC，∠ EAC+∠BDC=90°，∴∠ MPA+∠NPC=90°，
∴∠ MPN=90°，
即PM⊥PN．
故答案是： PM=PN，PM⊥PN．
（ 2）如图②中，设AE 交 BC于 O．
∵△ ACB和△ ECD是等腰直角三角形，
∴AC=BC，EC=CD，
∠ ACB=∠ ECD=90°．
∴∠ ACB+∠BCE=∠ECD+∠BCE．
∴∠ ACE=∠BCD．
∴△ ACE≌△ BCD．
∴AE=BD，∠
CAE=∠CBD．又∵∠
AOC=∠BOE，
∠ CAE=∠ CBD，
∴∠ BHO=∠ACO=90°．
∵点 P、M 、 N 分别为 AD、AB、 DE 的中点，
∴PM= BD，PM∥BD；
PN= AE，PN∥AE．
∴PM=PN．
∴∠ MGE+∠BHA=180°．
∴∠ MGE=90°．
∴∠ MPN=90°．
∴PM⊥ PN．
（ 3）由（ 2）可知△ PMN 是等腰直角三角形， PM= BD，∴当 BD 的值最大时， PM 的值最大，△ PMN 的面积最大，
第23页（共 26页）
∴PM=PN=3，
∴△ PMN 的面积的最大值 =×3×3=．
【点评】本题考查的是几何变换综合题，熟知等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理的运用，解题的关键是正确寻找
全等三角形解决问题，学会利用三角形的三边关系解决最值问题，属于中考
压轴题．
23．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）①根据 tan∠MBA= =，tan∠BDE= =，由∠ MBA=∠BDE，
构建方程即可解决问题；
②因为点 M 、N 关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ 是正方形，推出点P
是抛物线的对称轴与x 轴的交点，即 OP=1，易证 GM=GP，即| ﹣m2+2m+3| =| 1 ﹣m| ，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）把点 B（ 3， 0），C（0，3）代入 y=﹣x2+bx+c，
得到，解得，
∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．
∵y=﹣x2+2x﹣1+1+3=﹣（ x﹣1）2+4，
∴顶点 D 坐标（ 1， 4）．
（2）①作 MG⊥ x 轴于 G，连接 BM．则∠ MGB=90°，设 M （m，﹣ m2+2m+3），
∴MG=| ﹣m2+2m+3| ，BG=3﹣ m，
∴ tan∠MBA= =，
∵DE⊥x 轴， D（1，4），∴∠
DEB=90°，DE=4，OE=1，
∵B（ 3， 0），
∴BE=2，
∴tan∠ BDE= = ，
∵∠ MBA=∠BDE，
∴=
当点 M 在 x 轴上方时，=，
解得 m=﹣或3（舍弃），
∴ M（﹣，），
当点 M 在 x 轴下方时，=，
解得 m=﹣或m=3（舍弃），
∴点 M （﹣，﹣），
综上所述，满足条件的点M 坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；
②如图中，∵ MN∥x 轴，
∴点 M 、 N 关于抛物线的对称轴对称，
∵四边形 MPNQ 是正方形，
∴点 P 是抛物线的对称轴与 x 轴的交点，即 OP=1，
易证 GM=GP，即 | ﹣m2+2m+3| =| 1﹣m| ，
当﹣ m2+2m+3=1﹣ m 时，解得 m= ，
当﹣ m2+2m+3=m﹣1 时，解得 m= ，
∴满足条件的 m 的值为或；
【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．。