立体几何中的最值与动态问题

立体几何中的最值问题

海红楼

立体几何主要研究空间中点、线、面之间的位置关系，与空间图形有关的线段、角、体积等最值问题常常在试题中出现。下面举例说明解决这类问题的常用方法。

一、运用变量的相对性求最值

例1. 在正四棱锥S-ABCD 中，SO ⊥平面ABCD 于O ，SO=2，底面边长为2，点P 、Q 分别在线段BD 、

SC 上移动，则P 、Q 两点的最短距离为（ ）

A.

5

5

B.

5

5

2 C. 2 D. 1

解析：如图1，由于点P 、Q 分别在线段BD 、SC 上移动，先让点P 在BD 上固定，Q 在SC 上移动，当OQ 最小时，PQ 最小。过O 作OQ ⊥SC ，在Rt △SOC 中，5

5

2=

OQ

中。又P 在BD 上运动，且当P 运动到点O 时，PQ 最小，等于OQ 的长为

5

5

2，也就是异面直线BD 和SC 的公垂线段的长。故选B 。

图1

二、定性分析法求最值

例2. 已知平面α//平面β，AB 和CD 是夹在平面α、β之间的两条线段。AB ⊥CD ，AB=3，直线AB 与平面α成30°角，则线段CD 的长的最小值为______。

解析：如图2，过点B 作平面α的垂线，垂足为O ，连结AO ，则∠BAO=30°。过B 作BE//CD 交平面α于E ，则BE=CD 。连结AE ，因为AB ⊥CD ，故AB ⊥BE 。则在Rt △ABE 中，BE=AB ·tan ∠BAE ≥AB ·tan ∠BAO=3·tan30°=

3。故3≥CD 。

图2

三、展成平面求最值

例3. 如图3-1，四面体A-BCD 的各面都是锐角三角形，且AB=CD=a ，AC=BD=b ，AD=BC=c 。平面α分别截棱AB 、BC 、CD 、DA 于点P 、Q 、R 、S ，则四边形PQRS 的周长的最小值是（ ）

A. 2a

B. 2b

C. 2c

D. a+b+c

图3-1

解析：如图3-2，将四面体的侧面展开成平面图形。由于四面体各侧面均为锐角三角形，且AB=CD ，AC=BD ，AD=BC ，所以，A 与A ’、D 与D ’在四面体中是同一点，且''////D A BC AD ，'//CD AB ，A 、C 、A ’共

线，D 、B 、D ’共线，

BD DD AA 2''==。又四边形PQRS 在展开图中变为折线S ’PQRS ，S ’与S 在四面体

中是同一点。因而当P 、Q 、R 在S ’S 上时，RS QR PQ P S +++'最小，也就是四边形PQRS 周长最小。又''SA A S =

，所以最小值''DD SS L ==b BD 22==。故选B 。

图3-2

四、利用向量求最值

例4. 在棱长为1的正方体ABCD-EFGH 中，P 是AF 上的动点，则GP+PB 的最小值为_______。 解析：以A 为坐标原点，分别以AB 、AD 、AE 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图4所示的空间直角坐标

系，则B （1，0，0），G （1，1，1）。根据题意设P （x ，0，x ），则)01

(x x BP ，，-=→，)111(---=→

x x GP ，，，那么

图 4

12234222+-++-=+x x x x PB GP

2

22221021220)1(2⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+-=x x

式子

222

221021220)1(⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-+-x x 可以看成x 轴正半轴上一点（x ，0，0）到

xAy

平面上两点⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛0221，，、⎪⎭⎫ ⎝⎛02121，，的距离之和，其最小值为221+。所以GP+PB 的最小值为

222

2

12+=+

⋅。

立体几何中的最值问题

一、线段长度最短或截面周长最小问题

例1. 正三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，各棱长均为2，M 为AA 1中点，N 为BC 的中点，则在棱柱的表面上从点M 到点N 的最短距离是多少?并求之.

解析： (1)从侧面到N ，如图1，沿棱柱的侧棱AA 1剪开，并展开，则MN ＝2

2AN AM +＝

2

2)12(1++＝

10

(2)从底面到N 点，沿棱柱的AC 、BC 剪开、展开，如图2.

则MN ＝

︒⋅-+120cos 222AN AM AN AM ＝2

1312)3(122⨯

⨯⨯++＝

34+

∵

34+＜10

∴m in MN ＝

34+.

例2.如图，正方形ABCD 、ABEF 的边长都是1,而且平面ABCD 、ABEF 互相垂直。点M 在AC 上移动，点N 在BF 上移动，若CM=BN=a

).20(<

（2）当a 为何值时，MN 的长最小； （3）当MN 长最小时，求面MNA 与面MNB 所成的二面角α的大小。 解析：（1）作MP ∥AB 交BC 于点P ，NQ ∥AB 交BE 于点Q ，连接PQ ，依题意可得MP ∥NQ ，且MP=NQ ，即MNQP 是平行四边形。∴MN=PQ,由已知，CM=BN=a,CB=AB=BE=1,

∴

2==BF AC ,

21,21a BQ a CP ==, 即2

a

BQ CP ==, ∴=+-==22)1(BQ CP PQ MN

)20(2

1)2

2()2

()2

1(222<<+-=+-a a a a

（2）由（1）知:

2

2

22==

MN a 时，当，的中点时，分别移动到即BF AC N M ,,

2

2的长最小，最小值为

MN (3)取MN 的中点G ，连接AG 、BG ，∵AM=AN,BM=BN ，∴AG ⊥MN,BG ⊥MN ，

∴∠AGB 即为二面角α的平面角。又4

6

=

=BG AG ，所以由余弦

定理有