2.1 映射与函数

第二章函数本章知识结构图

本章以函数为核心,其内容包括函数的图像与性质.函数的性质主要包括函数的定义域、解析式、值域、奇偶性、单调性、周期性及对称性函数.的图像包括基本初等函数的图像及图像变换.函数知识的外延主要结合于函数方程（函数零点）及函数与不等式的综合.函数方程（函数零点）问题常借助函数图像求解．函数与不等式的综合可通过函数的性质及函数图像转化求解.

第一节 映射与函数

考纲解读

1、了解函数的构成要素，了解映射的概念.

2、在实际情况中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图像法、列表法、解析法）表示函数.

3、了解简单的分段函数，并能简单应用.

命题趋势探究 有关映射与函数基本概念的高考试题，考查重点是函数的定义、分段函数的解析式和函数值的求解，主要以考查学生的基本技能为主，预测2015年试题将加强对分段函数的考查，考试形式多以选择题或填空题为主. 知识点精讲

1、映射 设A ，B 是两个非空集合，如果按照某种确定的对应法则f ，对A 中的任何―个元素x ，在B 中有且仅有一个元素y 与之对应，则称f 是集合A 到集合B 的映射.

注 由映射的定义可知，集合A 到集合B 的映射，元多个元素对应一个元素，但不允许―个元素对应多个元素， 即可以一对一，也可多对一，但不可一对多. 注 象与原象

如果给定一个从集合A 到集合B 的映射，那么与A 中的元素a 对应的B 中的元素b 叫a 的象．记作b ＝f (a ),a 叫b 的原象．A 的象记为f (A ) 2、一一映射

设A ，B 是两个集合，f 是A 到B 的映射，在这个映射下，对应集合A 中的不同元素，在集合B 中都有不同的象，且集合B 中的任意一个元素都有唯一的原象，那么该映射f 为A →B 的一一映射.

注 由一一映射的定义可知，当A ，B 都为有限集合时，集合A 到集合B 的一一映射要求一个元素只能对应―个元素，不可以多对一更不能一对多；同时还可知道，集合A 与集合B 中的元素个数相等. 3、函数

设集合A ，B 是非空的数集，对集合A 中任意实数x 按照确定的法则f 集合B 中都有唯一确定的实数值y 与它对应，则这种对应关系叫做集合A 到集合B 上的一个函数记作y ＝f (x ) x ∈A ·其中x 叫做自变量，其取值范围（数集A ）叫做该函数的定义域，如果自变量取值a ，则由法则f 确定的值y 称为函数在a 处的函数值，记作y ＝f （a ）或y |x =2，所有函数值构成的集合{|(),}C y y f x x A ==∈叫做该函数的值域，可见集合C 是集合B 的子集 . 注 函数即非空数集之间的映射 注 构成函数的三要素

构成函数的三要素：定义域、对应法则、值域.由于值域是由定义域和对应法则决定的，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应法则一致，就称两个函数为同一个函数，定义域和对应法则中只要有一个不同，就是不同的函数.

题型归纳及思路提示

题型10 映射与函数的概念

思路提示 判断一个对应是不是映射，应紧扣映射的定义，即在对应法则f 下对应集合A 中的任一元素在B 中都有唯―的象，判断一个对应是否能构成函数，应判断：（1）集合A 与是否为非空数集；（2）f ：A →B 是否为一个映射.

例2.1 若f ：A →B 构成映射下列说法中正确的有（ ） ①A 中任―元素在B 中必须有象且唯一； ②B 中的多个元素可以在A 中有相同的原象； ③B 中的元素可以在A 中无原象； ④象的集合就是集合B

A ①②

B .③④

C .①③

D .②③④

解析 由映射的定义可知, ①集合A 中任一元素在B 中必须有象且唯―是正确的；集合A 中元素的任意性与集合B 中元素的唯一性构成映射的核心，显然②不正确，“一对多”不是映射；③因A 在对应法则f 下的值域C 是B 的子集，所以③正确；④不正确，象的集合是集合B 的子集，并不一定为集合B ．故选C

变式1 在对应法则f 下，给出下列从集合A 到集合B 的对应

[]2(1):1,2,0

p x x a ∀∈-≥；

(2) x y x f Z B N A )1(:,,-=→==；

（3）A ＝{x |是平面内的三角形}，B ＝｛y |y 是平面内的圆｝，f :x →y 是x 的外接圆； （4）设集合A ＝｛x |是平面内的圆｝，B ＝｛y |y 是平面内的矩形｝，f :x →y 是x 的内接矩形 其中能构成映射的是_______

变式2 已知函数y ＝f (x ),定义域为A ＝｛1,2,3,4｝值域为C ＝｛5,6,7},则满足该条件的函数共有多少个？

例2.2 函数)(x f y =的图像与直线x ＝2的公共点有（ ） A .0个 B . l 个 C . 0个或1个 D .不能确定

分析 利用函数的定义解释，对于自变量x ∈D ，则有唯一的值与其对应.

解析 若函数)(x f y =中定义域包含x ＝2则)(x f y =的图像与直线x ＝2有1个公共点；若函数)(x f y =定义域中不包含x ＝2则)(x f y =的图像与直线x ＝2无交点，故选C

变式1 已知函数y ＝[],6,0,2642∈--+x x x 将函数图像绕原点逆时针旋转θ角，要使得图像在旋转的过程中为函数图像，则θ角正切值的最大值为多少？

变式2 已知集合A ＝｛1，2，3，…，23｝求证：不存在这样的函数f ：A →｛1，2，3｝，使得对任意的整数21,x x ∈A ，若∈-21x x {1，2，3},则()()21x f x f ≠

题型11 同一函数的判断

思路提示 当且仅当给定两个函数的定义域和对应法则完全相同时，才表示同一函数，否则表示不同的函数

例2.3 在下列各组函数中，找出是同一函数的一组 （1）0

x y =与y =1 （2）()2x y =与2x y =

（3）x

x y 3

1

-=

与331t t y -=

解析 （1）0

x y =的定义域为{}

0≠x x ;y =1的定义域为R ,故该组的两个函数不是同一函数； (2)()2

x y =的定义域为{0≥x x };2x y =

的定义域为R ，故该组的两个函数不是同一函

数；

(3)两个函数的定义域均为｛x x ≠0｝，且对应法则也相同,故该组的两个函数是同一函数 故为同一函数的一组是（3）

评注 由函数概念的三要素容易看出，函数的表示法只与定义域和对应法则有关，而与用什么字母表示变量无关这被称为函数表示法的无关特性 变式1下列函数中与y ＝x 是同一函数的是( )

(1)2x y =

(2)x a a y log =

(3)x

a a y log = (4)33x y = (5))(*N n x y n n ∈=

A (1)(2)

B (2)(3)

C (2)(4)

D (3)(5) 题型12 函数解析式的求法

思路提示 求函数解析式的常用方法如下： (1)当已知函数的类型时，可用待定系数法求解. (2)当已知表达式为()[]x g f 时，可考虑配凑法或换元法，若易将含x 的式子配成()x g ，用

配凑法.若易换元后求出x ，用换元法. (3)若求抽象函数的解析式，通常采用方程组法. (4)求分段函数的解析式时，要注意符合变量的要求. 一、待定系数法（函数类型确定）

例2.4已知二次函数())0(2

≠++=a c bx ax x f 的图像上任意一点都不在直线y =x 的下方.

（1）求证:a +b +c ≥1;

（2）设()())()(,32

x g x f x F x x x g +=++=，若F (0)＝5，且F （x ）的最小值等于2，求

)(x f 的解析式.

解析（1）因为())0(2

≠++=a c bx ax x f 的图像上任点都不在直线y ＝x 的下方，所以1)1(≥f ，即a ＋b ＋c ≥1.

(2)因为())0(2

≠++=a c bx ax x f 的图像上任意一点都不在直线y ＝x 的下方，取相同x ，

二次函数值总大于一次函数值，所以()x x f ≥，即x c bx ax ≥++2

，得0)1(2≥+-+c x b ax ，对任意x ∈R 成立.

因为a ≠0.所以a >0且04)1(2

≤--ac b ① 又()()(),53000=+=+=c g f F 得C =2

所以()()()5)1()1(2

++++=+=x b x a x g x f x F .

所以F （x ）的最小值为()()()

21411202

=++-+a b a .