第一课数理方程第3讲

第三章 行波法与积分变换法 §3.1 一维波动方程的达朗贝尔公式
1
对于一维波动方程
2u a2 2u
t 2
x2
作如下代换:
x at, x at.
(3.1) (3.2)
2
x at,
x at.
(3.2)
u u u u u , x x x
t
决定区域
O x1
x2
x
10
若过点x1,x2分别作直线x=x1at, x=x2+at, 在t=0 时刻初始扰动在(x1,x2)内变动. 则经过时间t后 该扰动传到的范围由不等式
x1atxx2+at
(t>0).
决定.在此区域之外的波动则不受影响, 称此
区域为[x1,x2]的影响区域.
t
影响区域
f2 ( x)

1 a
x
( )d C
0
(3.8) (3.9)
(3.10)
5
由(3.8)与(3.10)解出f1(x),f2(x)得
f1 ( x)

1 ( x)
2

1 2a
x

(
)d

C
0
2
f2 (x)

1 2
(x)

1 2a
x

(
)
d

C
0
2
把这里确定出来的f1(x)与f2(x)代回到(3.6)中, 即得方程(3.1)在条件(3.7)下的解为
O x1
x2
x
11
从上面的讨论中可以看到在x，t平面上斜率 为1/a的两族直线xat=常数, 对一维波动方 程(3.1)的研究起着重要的作用, 称这两族直线 为一维波动方程的特征线. 因为在特征线x at=C2上, 右行波u2=f2(xat)的振幅取常数值 f2(C2), 在x+at=C1上左行波f1(x+at)=f(C1),
O xat
xat
x
9
对初始轴t=0上的一个区间[x1,x2], 过x1点作斜 率为1/a的直线x=x1+at, 过x2点作斜率为1/a的 直线x=x2at, 它们和区间[x1,x2]一起构成一个 三角形区域, 解在其中的数值完全由[x1,x2]上 的初始条件决定, 称为[x1,x2]的决定区域.
x,
y,
z

.(3.24)
这个定解问题仍可用行波法来解, 但坐标变量
有三个, 不能直接利用前面的通解公式.
23
3.2.1 三维波动方程的球对称解
如果将波函数u用空间球坐标(r,q,)表示, 所 谓球对称就是指u与q,都无关,于是u只是r,t的
函数. 在球坐标系中, 波动方程(3.22)为
1 r2
r
25
u(r,t) f1(r at) f2 (r at) r
这就是三维波动方程的关于原点0为球对称的 解, 其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数, 这两个函数可以用指定的初始条件来确定.
26
3.2.2 三维波动方程的泊松公式 考虑一般的情况, 即(3.22),(3.23),(3.24)的解. 由于在 球对称时波函数u只是r与t的函数, 在非球对称时u 是x,y,z,t的函数,而不能写成r与t的函数, 所以对非球 对称情况, ru不可能满足一维波动方程. 但是, 如果 我们不去考虑波函数u本身, 而是考虑u在以M(x,y,z)
x1=sin qcos , y1=sin qsin , z1= cos q, d=sin qdqd.
28
从(3.25)及 u(x,y,z,t)的连续性可知, 当 r0 时,
limu (r,t) u(M ,t), 即
r0
u (0,t) u(M ,t),
下面推导u (r,t)所满足的微分方程. 对方程
椭圆型方程, 拉普拉斯方程及泊松方程均属于
椭圆型; 若在某域内B2AC=0, 则在此域内称
(3.12)为抛物型方程, 热传导方程属于抛物型;
若在某域内B2AC>0, 则在此域内称(3.12)为
双曲线方程, 波动方程属于双曲线型.
16
例 求下列柯西问题:
2u 2u 2u

x
2
2 xy
2u
0.
(3.5)

将(3.5)式对积分得
u f ( )
f()是的任意可微函数
再将此式对积分得
u(x,t) f ( )d f2()
f1(x at) f2 (x at) (3.6)
其中f1,f2为任意二次连续可微函数.
这是通解 4
讨论无限长弦的自由横振动. 设弦的初始状态 为已知, 即已知定解条件
方程. 对于更一般的二阶线性偏微分方程
A
2u x2

2B
2u xy

C
2u y 2

D
u x

E
u y

Fu

0
(3.12)
13
A 2u 2B 2u C 2u D u E u Fu 0 (3.12)
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
为球心, 以r为半径的球面上的平均值 u , 则这个平
均值当x,y,z暂时固定后就只与r,t有关了.
先引入一个函数u (r,t), 它是函数 u(x,y,z,t)在
以点 M(x,y,z)为中心, 以 r 为半径的球面SrM 上 的平均值, 即
27
u
(r,
t
)


1
4 r 1
4
2 u( ,, ,t)d
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
A(dy)22Bdxdy+C(dx)2=0
(3.13)
并不是任意一个二阶线性偏微分方程(3.12)都
有两族实的特征线. 例如, 若在某一区域内B2
AC<0, 则过此域内每一点都不存在实的特征
线; 若在某域内, B2AC=0, 则过此域内每一点
仅有一条实的特征线; 只有在B2AC>0的域内,
下列定解问题:
2u

t
2

a2

2u x2

2u y 2

2u z 2
,

x, y, z ,t 0. (3.22)
u |t0 0 (x, y, z),
(3.23)
u

t
t0

1 ( x,
y,
z),

t
O
x
12
且这两个数值随特征线的移动(即常数
Ci(i=1,2)的改变)而改变, 所以, 波动实际上是 沿特征线传播的. 变换(3.2)常称为特征变换,
行波法又称为特征线法.
注 容易看出, 一维波动方程(3.1)的两族特征
线xat=常数, 正好是常微分方程
(dx)2a2(dt)2=0
的积分曲线, 这个常微分方程称为(3.1)的特征
(3.22)的两端在
S
M r
所围成的球体VrM
内积分
(为了区别球体内的任意点的坐标与球心 M
过其中每一点才有两条相异实的特征线.
15
A 2u 2B 2u C 2u D u E u Fu 0 (3.12)
x2
xy y2 x y
它的特征方程为
A(dy)22Bdxdy+C(dx)2=0
(3.13)
若在某域内B2AC<0, 则在此域内称(3.12)为
u r

r a2
2u t 2
.
但
r
2u r 2

2
u r

2 (ru) r 2
所以最后得到方程
2 (ru) 1 2 (ru) r 2 a2 t 2
这是关于ru的一维波动方程, 其通解为
ru=f1(r+at)+f2(rat).
或 u(r,t) f1(r at) f2 (r at)
3xy=C1 x+y=C2 作特征变换
3x y, x y.
容易验证, 经过变换原方程化成 2u 0
它的通解为u=f1()+f2(),
(3.16)
18
其中f1,f2是两个任意二次连续可微的函数. 原 方程(3.14)的通解为
u(x,y)=f1(3xy)+f2(x+y) 把这个函数代入条件(3.15)得
r

r
2
u r


r2
1
sinq

q

sinq
u
q


1
r2 sin2 q
2u
2
1 2u a2 t 2
当u不依赖于q,时, 这个方Fra Baidu bibliotek可简化为
1 r2
r

r
2

u r


1 a2
2u t 2
24
或
r
2u r 2

2
2u x2




u


u



x




u


u



x

2u
2

2
2u


2u
2
(3.3)
同理有 2u t 2

a2
2u


2

2u 2


2u
2

,

(3.4)
3
将(3.3)及(3.4)代入(3.1)得
3 y2

0,
y

0,

x

,
(3.14)
u
|
y
0

3x
2
,
u y
y0

0,

x


(3.15)
的解. 解 先确定所给方程的特征线. 为此, 写出它的 特征方程
(dy)22dxdy3(dx)2=0
17
(dy)22dxdy3(dx)2=0 它的两族积分曲线为
A(dy)22Bdxdy+C(dx)2=0
(3.13)
这个常微分方程的积分曲线称为偏微分方程
(3.12)的特征(曲)线. 二阶线性偏微分方程的特 征线仅与该方程中的二阶导数项的系数有关, 而与其低阶项的系数是无关的.
14
A 2u 2B 2u C 2u D u E u Fu 0 (3.12)
u2(x,0)=f2(x), 对应于初始时刻的振动状态, 而
经过时刻t0后, u2(x,t0)=f2(xat0), 在(x,u)平面上,
它相当于原来的图形u2=f2(x)向右平移了一段
距离, 如图所示:
u
u2=f2(x) (t=0)
u2=f2(xat0) (t=t0)
x1 x1+at0 x2 x2+at0
x
7
所以, u2=f2(xat)表示一个速度a沿x正轴方向 传播的行波, 称为右行波. 同样道理, u1=f1(x+at)就表示一个速度a沿x轴负方向传播 的行波, 称为左行波. 达朗贝尔公式表明, 弦上 的任意扰动总是以行波形式分别向两个方向 传播出去, 其传播速度正好是弦振动方程中的 常数a. 基于上述原因, 所以本节所用的方法就 称为行波法
(3.17)
f1f(13(x3)x) f2f(2x()x) 3x02
(3.18) (3.19)
从(3.19)得
1 3
f1(3x)
f2 ( x)
C,
(3.20)
从(3.18)与(3.20)可得
19
f1(3x)

9 4
x2

C,

f1 ( x)

1 4
x2

C,
u(x,t) 1 [(x at) (x at)] 1
xat
( )d
2
2a xat
(3.11)
此式称为无限长弦自由振动的达朗贝尔公式.
6
现在讨论解的意义, 在公式
u(x,t)=f1(x+at)+f2(xat)
(3.6)
中, 先考虑函数u2=f2(xat), 在t=0时,
8
从达朗贝尔公式(3.11)还可以看出, 解在(x,t)点
的数值仅依赖于x轴上区间[xat,x+at]内的初
始条件, 而与其他点上的初始条件无关. 区间
[xat, x+at]称为点(x,t)的依赖区间. 它是由过
(x,t)点的两条斜率分别为1/a的直线在x轴所
截得的区间.
t
(x,t)
依赖区间
u
|t 0


(
x),


x

,
u t
t0

(x),

x

.
将(3.6)中的函数代入(3.7)中, 得
(3.7)
af1f1((xx))
f2(x) af 2( x)
( x), (x).
对(3.9)两端对x积分一次, 得
f1(x)
SrM
u(x rx1, y
S1o
S
ry1,
z

rz1,
t
)
d,
(3.25)
其中=x+rx1,=y+ry1,=z+rz1
是球面
S
M r
上的
点的坐标, S1o是以原点为中心的单位球面,
d是单位球面上的面积元素, dS 是SrM 上的面 积元素, 显然有 dS=r2d. 在球面坐标系中,
f2
(x)

3 4
x2

C,
即

f2
(x)

3 4
x2

C.
代入(3.17)得到所求的解为
u(x, y) 1 (3x y)2 3 (x y)2 3x2 y2
4
4
(3.21)
20
作业 习题三 第57页开始, 第1题
21
§3.2 三维波动方程的泊松公式
22
本节考虑在三维无限空间中的波动问题, 即求