计算机数学基础(2)作业1

计算机数学基础（2）作业1
一、单项选择题
1．数值x*的过似值x ，那么按定义x 的相对误差是（ ）。

A ． B ．
C ．
D ．
2．当一个数x 表成x=±0．a1a2 … an ×10 m
时，其中 是a1a2 ，…， an 是0～9之中的自然数，且a1≠0，e=|x - x*|≤ε=0.5×10
m -l ，1≤1≤n ，则称x 有（ ）位
有效数字。

A ．m
B ．m - l
C ．n
D ．l 3．设 x=37.134678，取5位有效数字，x ≈（ ）。

A ．37.1347
B ．37.13468
C ．37.135
D ．37.13467 二、填空题
1．如果近似值 x 的误差限 是它某一个数位的 半个 单位，我们就说 x 准确到该位。

2 ．用mm 刻度的米尺测量一长度为x*的物体，测得近似值为x ，那么x 与x*之差的误差的误差限是 。

3．近似值作四则运算后的误差限公式ε（x 1 + x 2） =)()(21x x εε+，ε（x1 - x2） =
)()(21x x εε+。

4．在运算过程中舍入误差不增加的算法称为数值稳定的算法。

5．数值计算中，普遍应注意的原则是 使用数值稳定的算法 ，防止两个相近数相减 ， 简化计算步骤，减少运算次数，避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 ，防止大数“吃掉”小数 。

三、计算题
1． 表中各 x 的值都是精确值 x* 进行四舍五入得到的近似值，试分别指出其绝对误差限、
2 ．在下面 y 的计算中；那一个算得准，为什么？
（1）已知|x|<< 1，（A ） y= - （B ） y=
（2） 已知|x|<< 1，（A ） y= （B ） y=
x* - x x x - x*
|x – x*| x | x* - x|
| x*|
x* 1 (1+2x)(1+x) 1
1+x 2x 2 1+ 2x x
2sin 2x
x
1-cos2x
3．正方形的一连长约100cm ，问测量边长时允许绝对误差为多大，才能保证面积的绝对误差不超过1cm 2
?
计算机数学基础（2）作业2
一、单项选择题
1．用顺序消去法解线性方程组，消元过程中要求（ ）。

A ．a ij ≠0 B ．a 11 ≠0 C ．a kk ≠0 D ．a ij ≠0
2．用消去法解线性方程组，消元的第k - 1步，选主元a rk =( )
A ．max |a ik |
B ．max |a ik |
C ．max |a kj |
D ．max |a kj |
二、填空题
1．当线性方程组AX = b 满足条件 时，用消去法解可以不必选主元。

2．用迭代法求线性方程组AX = b 的数值解，就是将方程组 AX = b 变形为等价方程
组 ，然后构造一个迭代格式 ，从某一个初始向量 X 出发逐次迭代求解。

3．用迭代法求线性方程组AX = b 的数值解，要求矩阵A 中的元素a ii 就可以建立雅可比迭代格式。

三、计算题
x 1+2x 2+3x 3=1 1．用高斯顺序消去法解线性方程组 2x 1+7x 2+5x 3=6 x 1+4x 2+9x 3=-4
(0) (k-1) (k-1)
(k-1) l ≤i ≤n
k ≤i ≤n
(k-1) k ≤j ≤n
(k-1)
(k-1)
k ≤j ≤n
(0)
2x
1+x
2
+2x
3
=5
2．用列主元消去法解线性方程组 5x
1-x
2
+x
3
=8
x
1-3x
2
-4x
3
=-4
-0.002x
1+2x
2
+2x
3
=0.4
3．用列主元消去法求解线性方程 x
1+0.78125x
2
+3x
3
=4.0827
3.996x
1+5.5625x
2
+4x
3
=7.4178
8x
1-x
2
+2x
3
=24
4．用雅可比迭代法求解线性方程组 4x
1+11x
2
-x
3
=33
6x
1+3x
2
+12x
3
=36
5．用雅可比迭代法和高斯一赛德尔迭代法求解下列线性方程组
10x
1-2x
2
-x
3
=3
-2x
1+10x
2
-x
3
=15
-x
1-2x
2
+5x
3
=10
x
1+2x
2
-2x
3
=1
6．设线性线性方程组 x
1+x
2
+x
3
=1
2x
1+2x
2
+x
3
=1
试考察用雅可比迭代法和高斯—赛德尔迭代法求解线性方程组的收敛性。

计算机数学基础（2）作业3
一、单项选择题
1．通过点（x 0,y 0），（x 1,y 1），（x 2,y 2) 所作的插值多项式是（ ）。

A ．二次的
B ．一次的
C ．不超过二次的
D ．大于二次的 2．函数f(x) 在节点x 3, x 4 , x 5 ,处的二阶均差f(x 3, x 4, x 5 )≠( )。

A ．f(x 5,x 4, x 3) B ．
C ．
D ．
3．已知函数 y= f (x) 的数据为
x 0 2 5 1 y 3 6 -9 0 则 f(2,1)=( )
A ．6
B ．-
C ．- 3
D ．- 5
4．记P （x ）是在区间[a,b]上的y=f(x)的分段线性插值函数，以下条件中是P （x ）必须满足的条件为（ ）。

A ．P （x ） 在[a , b]上连续 B ．P （x k ）=y k C ．P （x ） 在[a , b]上可导
D ．P （x ）在各子区间上是线性函数
5．用最小二乘法求数据（x k , y k ）(k=1,2,…，n)的拟合直线，拟合直线的两个参数a 0 ,
a 1 使得（ ）为最小。

其中 y = ∑ y k, y = a 0+a 1x
A ．∑（y k - y ）2
B ．∑(y k -y k )2
C ．∑(y k - y k )2
D ．∑(y k - x k )2
6．求积公式I n =f(x 0)+(x 1)在[-1,1]上是（ ）次代数精度的。

A ．1 B ．2 C ．3 D ．4
7．对于（ ）次的代数多项式，求积公式∫ f(x)dx ≈∑ A k f(x k )，精确成立，称具
有m 次代数精度的。

A ．m
B ．不超过m
C ．小于m
D ．大于m
f
（x 5）- f (x 5) x 5 – x 3
f(x 3, x 4) – f(x 4 , x 5)
x 3 – x 5
f(x 3, x 4) – f(x 4 , x 5) x 3 – x 5 9
4
1 n n
K=1
∧ n
k=1
n
k=1
n
k=1
∧ n
k=1
n
k=1
b
a
8．当n=4时，复化抛物线求积公式∫ f(x)dx ≈（ ）。

A ． [f(x 0)+f(x 1)+f(x 2)+f(x 3)+f(x 4)]
B ． [f(x 0)+4(f(x 1)+f(x 3))+2f(x 2)+f(x 4)]
C ． [f(x 0)+2(f(x 1)+f(x 2)+f(x 3))+f(x 4)]
D ． [f(x 0)+2(f(x 1)+f(x 3))+4f(x 2)]+f(x 4)] 9．已知x=0，1处的函数值f(0)和 f(1)，那么f'(1)≈（ ）.
A ．f(0) - f(1)
B ． f(1) - f(0)
C ．f (0)
D ． [f(0) + f(1)] 二、填空题
1．通过三点（x i ，y i ）(i=0,1,2)的插值基函数公式是l 0(x)= ，l 1(x)=
，l 2(x)= 。

2．三次样条函数S （x ）满足的条件是（1） ，（2） ，（3） 。

3．用最小二乘法求数据（x k ，y k ）(k=1，2，…，n)的拟合曲线y=a + blnx ，求系数 a ，b 需将数据（x k ，y k ）(k=1，2，…，n)变换成 。

4．科茨系数C k 具有性质 和 。

5．求积公式∫ f （x ）dx ≈∑ A k f(x k )具有 代数精度，称为高斯求积公式。

6．二点的高斯--勒让德求积公式的高斯点是 ，系数是 。

7．已知f(x 0)=y 0，f(x 1)=y 1,f(x 2)=y 2，用三点求导公式，有f'(x 0)= , f'(x 1)= ，f '(x 2) = 。

三、计算题
1．利用函数y= x 在点x=1 和x=4的值，求x=2，x=3的开方值。

b a
b - a
3
b - a 6
b - a
6
b - a
3
1
2 (n)
b
a
n
k=0
2．对于下面的数据，写出它的拉格朗多项式。

x 1 3 4 6
y -7 5 8 14
3．已知 x =1，2，3，4时，函数值f (x) = 0，-5，-6.3．作f（x）的均差表。

4．对于如下数据试求牛顿插值多项式。

x i 0 1 2 3 4
y i 1 4 15 40 85
5．给定函数值，试用分段线性插值法计算f（2）的近似值。

x -1 0 3 7 f(x) 2 0 4 7
6．已知数据如下，且知y'（0）=1，y'（3）=0，求区间[0，3]上的三次样条插值函数。

x 0 1 2 3
y=f (x) 0 2 3 6
7．已知数据如下：
P k 2 3 4 5 6 8 10 12 14 16
y ik 15 20 25 30 35 45 60 80 80 110
试求y对P 的拟合直线。

8．已知数据如下： x k 0.78 1.56 2.34 3.12 3.81
y k 2.50 1.20 1.12 2.25 4.28
试用二次多项式拟合该组数据。

9．分别用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分I =∫ e
x dx 的近似值，并估计截断误差。

10．用两点高斯求积公式计算积分∫ 1+x 2
dx 。

1 0 1 0
11．已知函数y=e x 的函数值 x 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9
y=e x 12.1825 13.4637 14.8797 16.4446 18.1741
取步长h=0.2 用二点求导公式计算 x = 2.7 处的导数值。

12．将区间[0，1]分成8等分，分别用梯形法和复化抛线公式计算积分
I =∫ 1+x 2 dx
13．已知数据
x 1.8 2.0 2.2 2.4 2.6
f(x) 3.12014 4.42569 6.04241 8.03014 10.46675
试用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分I = ∫ f(x)dx 。

1
0 2.6
1.8
四、证明题
1．试证明均差有下列性质：
（1）若F （x ）=cf(x)，则F(x 0,x 1,x 2,…, x n ) = cf(x 0,x 1,x 2,…, x n )。

（2）若F （x ）=f(x)+g(x)，则F(x 0,x 1,x 2,…, x n )
= f(x 0,x 1,x 2,…, x n ) + g(x 0,x 1,x 2,…, x n )。

（3）设 f (x) = ，则f(x 0,x 1,x 2,…, x n )=
2．验证当f (x) = x 5 时，科茨求积公式
c = [7f(x 0)+32f(x 1)+12f(x 2)+32f(x 3)+7f(x 4)]精确成立，其中 x k =a + kh (k = 0,1,2,3,4), h = 。

1 a - x
1 (a – x)(a – x 1)(a –x n )
b - a 90 b - a 4
3．验证高斯型求积公式∫ e x
f(x)dx=A 0fx 0）+ A 1f （x 1）的系数与节点 为A0 = A 1 = 和 x 0 = -2 + ，x 1 = 2 -
4．证明求积公式对于函数f(x)和g (x)精确成立，则对于函数αf(x)+βf(x)(α, β是常数)也精确成立。

+∞ 0 2 - 1 2 2
2 + 1
2 2 2 2
计算机数学基础（2）作业4
一、单项选择题
1．二分法求方程f(x) = 0 在区间[a , b]内的根，二分次数n ( )。

A ．只与函数f(x)有关
B ．只与根的分离区间的长度以及误差限有关
C ．与根的分离式间长度、误差限以及函数f(x)都有关
D ．只与误差限有关
2．求方程x 2
- x - 1.25 = 0 的近似根，用迭代公式x = x + 1.25 ,取初始值x0= 1, 那么x 1 = （ ）。

A ．1
B ．1.25
C ．1.5
D ．2
3．用牛顿法计算 a (a > 0 ), 构造迭代公式时，下式不成立的是（ ）。

A ．f(x) = x n - a = 0
B ．f(x) = x - a =0
C ．f(x) =a – x n = 0
D ．f(x)= 1 - =0 4．弦截法是通过曲线上的点（x k-1，f(x k-1 )和（x k ，f(x k ))的直线与（ ）的交点的横坐标作为方程f(x)=0的近似根。

A ．y 轴
B ．y = x
C ．y =Φ(x)
D ．x 轴
5．解初值问题 近似解的梯形公式是y k + 1≈ ( )。

A ．y k + [f(x k ,y k ) + f(x k +1 , y k+1)]
B ．y k + [f(x k ,y k )- f(x k+1,y 0k+1)]
C ．y k - [f(x k ,y k ) + f(x k +1 , y k+1)]
D ．y k - [f(x k ,y k )- f(x k+1,y 0k+1)] 6．改进欧拉公式校正值y k+1=y k + [f(x k ,y k )+f(x k+1,( ))]。

A ．y k+1 B ．y k C ．y k D ．y k+1
7．四阶龙格--库塔法的计算公式是y k+1 = ( )。

A ．y k + (k 1+k 2+k 3+k 4)
B ．y k + (k 1+2k 2+2k 3+k 4)
C ．y k + (2k 1+2k 2+2k 3+2k 4)
D ．y k + (2k 1+k 2+k 3+2k 4) 二、填空题 n n a X n y' =f (x,y)
y (x 0)＝y 0
h 2 h
2
h 2 h 2
h 2 1
6 1 6 1 6 1
6
1．用二分法求方程f (x) = 0在区间[a , b]内的根，误差限为ε> 0，那么二分次数n + 1 的估计计算公式是n + 1 ≥。

2．求方程f(x)=0的近似根，只有能把方程表成，才可以用简单迭代法求解。

3．牛顿法求方程法的近似根的迭代公式是x n= ，要满足的条件是。

4．弦截法求方程f(x)=0的近似根的迭代公式是。

5．改进欧拉公式预报值y k+1= 。

6．四阶龙格--库塔法的局部截断误差是。

三、计算题
1．用二分法求方程 x-lnx=2在区间[2，4]内的根，要求误差不超过10-5。

2．用二分法求方程（1）x + e x = 0；(2) x 5 - x - 2 =0 的根之近似值（精确到0.01）。

3．用简单迭代法求方程4x – e-x = 0 的根，求|x n - x n-1|<10-4。

4．用牛顿法求方程 x - sinx=0.5 的根，使其精确到0.0001。

5．用牛顿法求方程x3 + 3x + 5 =0 的近似根（精确到0.01）。

6．求 11 的近似值，精确到10-3。

7．用弦截法求方程x 4
- 3x + 1 =0 的实根（精确到0.01）。

8．试用欧拉法求初值问题：
，在 x =0.1，0.2，0.3，0.4，0.5处的近似解。

=1 - xy
dy
dx y(0) = 0
9．用改进欧拉法解初值问题
取步长h = 0.1，保留五位有效数字，并与精确解 y = 1 – e -5x 项比较。

10．取步长 h = 0.2，用四阶龙格--库塔法求解初值问题
dy dx y(0) = 0
=10x(1 – y) 0≤x ≤1 2 3y x + 1 ≤x ≤1)
11．试用四阶龙格--库塔法确定求积公式
x 0 = - 0.6，x 1=0，x 2= 0.6 I n = [5f(x 0)+8f(x 1)+5f(x 2)] 在[-1 ，1] 上的代数精度。

y'= 12．取步长h=0.1，用四阶龙格--库塔法求解初值问题:
9 1
3y x + 1 y(0) = 1
0 < x < 1
四、证明题
1．试证明梯形公式（1.6）是以（x k ，f(x k ,y k )），（x k+1，f(x k+1,y k+1)），为插值节点的一次插值公式去代替积分y k+1= y k +∫ f(x ，y （x))dx 中的被积函数f(x ，y(x))积分所得。

2 ．试证明对任意参数t （0<t<1），下列龙格--库塔法格式
的局部截断误差为O （ h 3 ）。

x k+1 x k h 2 k2=f(xk+th,yk+(1-t)hk2 y k+1=yk + (k2+k3) k1=f(xk,yk) k3=f(xk +(1-t)h,yk + (1-t)hk2。