初中数学动点问题专题讲解

例1(2000年·上海)如图1,在半径为6,圆心角为90°的扇形OAB 的弧AB 上,有一个动点P,PH ⊥OA,垂足为H,△OPH 的重心为G.

(1)当点P 在弧AB 上运动时,线段GO 、GP 、GH 中,有无长度保持不变的线段?如果有,请指出这样的线段,并求出相应的长度.

(2)设PH x =,GP y =,求y 关于x 的函数解析式，并写出函数的定义域(即自变量x 的取值范围).

(3)如果△PGH 是等腰三角形,试求出线段PH 的长.

解:(1)当点P 在弧AB 上运动时,OP 保持不变,于是线段GO 、GP 、GH

中,有长度保持不变的线段，这条线段是GH=32NH=2

1

32⋅OP=2.

(2)在Rt △POH 中, 22236x PH OP OH -=-=, ∴

2362

1

21x OH MH -==

. 在Rt △MPH 中,

.

∴y =GP=

32MP=23363

1x + (0

①GP=PH 时,

x x =+233631

,解得6=x . 经检验, 6=x 是原方程的根,且符合题意. ②GP=GH 时, 23363

1

2=+x ,解得0=x . 经检验, 0=x 是原方程的根,但不符合题意.

③PH=GH 时,2=x .

综上所述,如果△PGH 是等腰三角形,那么线段PH 的长为6或2.

二、应用比例式建立函数解析式

例2（2006年·山东）如图2,在△ABC 中,AB=AC=1,点D,E 在直线BC 上运动.设BD=,x CE=y . (1)如果∠BAC=30°,∠DAE=105°,试确定y 与x 之间的函数解析式；

(2)如果∠BAC 的度数为α,∠DAE 的度数为β,当α,β满足怎样的关系式时,(1)中y 与x 之间的函数解析式还成立?试说明理由.

解:(1)在△ABC 中,∵AB=AC,∠BAC=30°,

∴∠ABC=∠ACB=75°, ∴∠ABD=∠ACE=105°.

∵∠BAC=30°,∠DAE=105°, ∴∠DAB+∠CAE=75°, 又∠DAB+∠ADB=∠ABC=75°, ∴∠CAE=∠ADB,

∴△ADB ∽△EAC, ∴AC

BD CE AB =,

∴

11x y =, ∴x

y 1=. 222223362

1

419x x x MH PH MP +=-

+=+= A

E

D

C

B 图2

H

M N

G

P

O

A

B

图1

x y

(2)由于∠DAB+∠CAE=αβ-,又∠DAB+∠ADB=∠ABC=2

90α

-︒,且

函数关系式成立, ∴2

90α

-︒=αβ-, 整理得=-

2

α

β︒90. 当=-

2

α

β︒90时,函数解析式x

y 1

=

成立. 例3(2005年·上海)如图3(1),在△ABC 中,∠ABC=90°,AB=4,BC=3. 点O 是边AC 上的一个动点,以点O 为圆心作半圆,与边AB 相切于点D,交线段OC 于点E.作EP ⊥ED,交射线AB 于点P,交射线CB 于点F.

(1)求证: △ADE ∽△AEP.

(2)设OA=x ,AP=y ,求y 关于x 的函数解析式,并写出它的定义域.

(3)当BF=1时,求线段AP 的长. 解:(1)连结OD.

根据题意,得OD ⊥AB,∴∠ODA=90°,∠ODA=∠DEP.

又由OD=OE,得∠ODE=∠OED.∴∠ADE=∠AEP, ∴△ADE ∽△AEP.

(2)∵∠ABC=90°,AB=4,BC=3, ∴AC=5. ∵∠ABC=∠

ADO=90°, ∴OD ∥BC, ∴53x OD =,5

4x

AD =,

∴OD=

x 53,AD=x 54. ∴AE=x x 53+=x 5

8

. ∵△ADE ∽△AEP, ∴AE AD AP AE =, ∴x x y

x 5

854

58=

. ∴x y 516= (8250≤

①若EP 交线段CB 的延长线于点F,如图3(1)，则CF=4.

∵∠ADE=∠AEP, ∴∠PDE=∠PEC. ∵∠FBP=∠DEP=90°, ∠FPB=∠DPE, ∴∠F=∠PDE, ∴∠F=∠FEC, ∴CF=CE. ∴5-

x 58=4,得8

5

=x .可求得2=y ,即AP=2. ②若EP 交线段CB 于点F,如图3(2), 则CF=2. 类似①,可得CF=CE. ∴5-

x 58=2,得8

15=x . 可求得6=y ,即AP=6.

综上所述, 当BF=1时,线段AP 的长为2或6.

三、应用求图形面积的方法建立函数关系式

例4（2004年·上海）如图,在△ABC 中,∠BAC=90°,AB=AC=22,⊙A 的半径为1.若点O 在BC 边上运动(与点B 、C 不重合),设BO=x ,△AOC 的面积为y .

(1)求y 关于x 的函数解析式,并写出函数的定义域.

A

3(2)

3(1)

A

B

C