力学量算符之间的对易关系 - 屏幕长和宽

力学量算符之间的对易关系

讨论微观态ψ中某一力学量F 时，总是以∧

F 的本征质谱作为力学量F 的可能值。若我们同时观测状态ψ中的一组不同力学量 ,,

G F ，将会得到什么结果呢？这一讲我们主要讨论这个问题。主要内容有：

一个关系：力学量算符之间的对易关系

三个定理⎪⎩

⎪

⎨⎧力学量守恒定理不确定关系逆定理）共同本征态定理（包括

1 算符之间的对易关系

1.1 算符的基本运算关系

（1）算符之和：算符∧

F 与∧

G 之和∧

∧+G F 定义为

ψψψ∧

∧∧∧+=+G F G F )( （1）

ψ为任意函数。一般∧

∧

∧

∧

+=+F G G F ，例如粒子的哈密顿算符)()(22

r U T r U p

H +=+=∧∧∧

μ

是

动能算符∧

T 与势能算符)(r U 之和。 （2）算符之积：算符∧

F 与∧

G 之积定义为

)()(ψψ∧

∧∧∧=G F G F （2）

显然，算符之积对函数的作用有先后作用次序问题，一般不能颠倒，即∧

∧∧

∧≠F G G F 常记为 ∧

∧

∧

∧≠-0F G G F （3）

n 个相同算符∧F 的积定义为算符∧

F 的n 次幂

例如 dx d F =∧

，则 222dx d F =∧，n n n

dx

d F =∧

。

为了运算上的方便，引入量子括号

∧

∧∧∧∧∧-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡F G G F G F , （5）

若 0,≠⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∧∧G F （6）

称算符∧F 与∧G 是不对易的（不能交换位臵），即∧

∧∧∧≠F G G F 。

若 0,=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∧∧G F （7）

称算符∧F 与∧G 是对易的，即∧

∧∧∧=F G G F 。

下面几个经常使用的对易关系，请自行证明。

⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+=+=+=+-=∧∧∧∧∧∧∧

∧∧∧

∧∧∧∧∧∧

∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧∧

∧)

11(],[],[],[)10(],[],[],[)9(]

,[],[],[)8(],[],[G

M F M G F M G F M

G F M F G M G F M F G F M G F F G G F

1.2 坐标算符与动量算符的对易关系

坐标算符是乘数因子，相互对易

[]0],[0],[0

,===x z z y y x （12）

动量算符是微分算符，因为 x

y y x ∂∂∂=

∂∂∂2

2 ，则 0,0,0

,=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∧∧∧∧∧∧x z z y y x p p p p p p （13） 坐标算符与动量算符：设ψ为任意函数

⎪⎩

⎪⎨⎧

∂∂

--=∂∂-=∂∂-=∧∧ψ

ψψψψψx x i i x x i x p x x i p x x x )( 比较后可得 ψψψ i x p p x x x =-∧

∧，即

i p x x =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡∧, （14a ）

但是 0,0

,=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡=⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∧∧z y p x p x （14b ） 同理可得坐标算符与动量算符的其它对易关系式，可概括为

ij j i i p x δ =⎥⎦

⎤

⎢⎣⎡∧

, (14c)

其中 ),,()3,2,1(z y x i x i ≡== ),,()3,2,1(∧

∧∧∧≡=z y x j p p p j p

※坐标算符与动量算符的对易关系是最基本的对易关系，其它力学量的对易关系均可由

此导出。

1.3 角动量算符的对易关系

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-====-=-===∧∧∧

∧∧∧

∧

∧∧

0],[,],[,],[],[,0],[,],[],[,],[,0],[z L x i y L y i x L x i z L y L z i x L y i z L z i y L x L z z z y y y x x x (15)

只证明其中一个，请注意证明方法

z

i y p z p y z y p z p y y y p y y p z y p y y p z p y y L y y y z z y z y z x =-=--+=-=-=∧

∧

∧∧∧∧

∧∧∧∧],[],[],[],[],[]

,[],[],[],[ 记忆方法：从左至右以x z y x →→→依次循环指标为正，任何一个指标错位即为负，相同指标则为零。以相同的推导方法和记忆规律，有

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧=-====-=-===∧∧∧∧∧∧∧

∧∧

∧∧∧∧∧∧

∧∧

∧∧∧∧∧∧

∧0],[,],[,],[],[,0],[,],[],[,],[,0],[z z x y z y x z x z y y y z x y y

z x z y x x x p L p i p L p i p L p i p L p L p i p L p i p L p i p L p L （16）

另外有 ∧∧∧=z y x L i L L ],[ ∧∧∧=x z y L i L L ],[ ∧

∧∧=y x z L i L L ],[ （17） ∧

∧

∧

=⨯L i L L （18） 1.4 几个重要的推论（请大家自行导出） 0],[],[],[],[)

1(2222

=++=∧

∧∧

∧∧

∧∧

∧z z

z y

z x

z L L L L L L L L

),,()3,2,1(,0],[2

z y x j L L j ===∧

∧ （19）

0],[,0],[,0],[)

2(2

2

2

2

===∧∧∧∧

∧∧

p L p L p L j （20）

（3）球坐标下∧

L 是ϕθ,的函数，若有径向函数算符)(r U ，则

0)](,[,0)](,[2

==∧∧

r U L r U L （21）

0],[,0],[)

4(22

==∧∧

r L r L i （22）

2 共同本征函数完备系

2.1共同本征函数完备系带来算符对易

设两个算符∧

F 和∧

G 有一个共同的本征函数n ϕ，则必有n a n F ϕλϕ=∧及n b n G ϕλϕ=∧

，即在n ϕ态中可以同时确定这两个力学量的数值，那么

0)()(=-=-∧

∧∧

∧n b a b a n F G G F ϕλλλλϕ