一个概率模型的拓展和应用

一个概率模型的拓展和应用

陈锁华

同时抛掷3枚相同的硬币，计算正面都朝上的概率，这是常见的一种游戏。本文研究将相同的n 枚硬币同时抛出，如何计算n 枚硬币同是正面朝上的概率及其推广和应用。

概率模型：

将1枚硬币抛出，正面朝上的概率是21，即12

1。用树状图验证如图1。 将相同的2枚硬币同时抛出，2枚硬币同是正面朝上的概率是41，即22

1。用树状图验证如图2。 将相同的3枚硬币同时抛出，3枚硬币同是正面朝上的概率是81，即32

1。用树状图验证如图3。 将相同的4枚硬币同时抛出，4枚硬币同是正面朝上的概率是

161，即421（验证略）。

图1 图2 图3

由此可以推断，将相同的n 枚硬币同时抛出，n 枚硬币同是正面朝上的概率是n 2

1。 特别提起注意，在这个问题中，“将n 枚硬币同时抛出”，“将1枚硬币连续抛出n 次”，“将n 枚硬币一枚一枚连续抛出”，在这三种不同的操作情形下出现的结果概率是相同的，用树状图可以验证。

拓展延伸：如果将硬币换成一个正方体的骰子，骰子的六个面上分别标有1，2，3，4，5，6六个数字，那么将完全相同的n （2 n ）枚骰子同时抛出，n 枚骰子同时出现朝上一面是数字1的概率又是多少呢？

还是从最简单的实验开始。将完全相同的2枚骰子同时抛出，2枚骰子朝上的一面同是数字1

的概率是26

1361=。将完全相同的3枚骰子同时抛出，3枚骰子朝上的一面同是数字1的概率是3612161=。将完全相同的4枚骰子同时抛出，4枚骰子朝上的一面同是数字1的概率是46112961=。由此可以推断，将完全相同的)2(≥n n 枚骰子同时抛出，n 枚骰子朝上的一面同是数字1的概率应该是n

61。 结论应用：我们以2005年中考试题为例说明这个模型的应用。

例1. （徐州市）交通信号灯俗称红绿灯，至今已有一百多年的历史了。“红灯停，绿灯行”，这是我们必须遵守的交通规则。小刚每天骑自行车上学都要经过3个安装有红灯和绿灯的路口，假如每个路口红灯和绿灯亮的时间相同，那么，小刚从家随时出发去学校，他至少遇到1次红灯的概率是多少？不遇红灯的概率是多少？（请用树状图分析）

分析：可以将上述问题看成是抛硬币概率模型的应用。不遇红灯的概率相当于同时抛出3枚硬币时，3个反面都朝上的概率，即

81。因此至少遇到1次红灯的概率是87。（解答略）

例2. （常州市）某中学七年级有6个班，要从中选出2个班代表学校参加某项活动。七（1）班必须参加，另外再从七（2）班至七（6）班选出1个班。七（4）班有同学建议用如下方法：从装有编号为1，2，3的3个白球的A 袋中摸出1个球，再从装有编号为1，2，3的3个红球的B 袋中摸出1个球（两袋中球的大小、形状与质量完全一样），摸出的两个球上数字和是几，就选几班。你认为这种方法公平吗？说明理由。

分析：A 袋中有3个球，每个球出现的可能性相同；B 袋中也有3个球，每个球出现的可能性也相同。由上面的概率模型可得所有可能的情况共有932=种，其中两数和为2，3，4，5，6的情况出现的次数分别为1，2，3，2，1。因此七（2）至七（6）班依次被选中的概率为9192319291，，，，。因此这种方法不公平。（解答略）