复变函数3

2v 2v 2 0, 或者 v 0. 2 2 x y
(B)
方程(A)和(B)称为二维拉普拉斯方程，满足Laplace方程的二 元实函数u和v称为调和函数。一个解析函数的实部和虚部又 叫做共轭调和函数。
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说明：
调和函数：若二元实函数H(x,y)在区域B上具有连续的二阶
§1.4 解析函数
1、定义
若函数f(z)在z0点及其邻域内处处可导，则称f(z)在z0点解析； 又若f(z)在区域B上的每一点解析，则称f(z)在区域B上是解析 函数。 (1) 解析与可导的关系 ： 函数f(z)在某点解析，则必在该点可导，反之不然。
(提示：点z0上可导，并不意味在z0的邻域内处处可导，因此函数在该 点不一定解析。)
最后得到解析函数：
f z u iv x2 y2 i 2xy C z 2 iC.
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例2. 已知解析函数f(z)的虚部为 v x, y x x2 y 2 ，求解与
偏导数，且满足拉普拉斯方程2H=0，则称H(x,y)是区域B 上的调和函数。

解析函数的实部和虚部不独立，通过C-R条件联系着。 若给定一个二元调和函数，假定它是某个解析函数的实部
(或虚部)，利用C-R条件可求出相应的虚部(或实部)，并确 定此解析函数(仅差一个常数因子)。
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3、给定实部或虚部，求解析函数
已知二元调和函数u(x,y)是解析函数f(z)的实部，求相应的虚部 v(x,y)。首先虚部的全微分为
v v u u dv dx dy dx dy. x y y x
容易验证上式是全微分，因为 C-R条件
v 2v 2v v ; y x yx xy x y
( 0,0 )
2 ydx 2 xdy C ,
其中C=v(0,0) 为常数
上式与积分路径无关，因此选取特殊路径，如图：
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y
(x,y)
O 于是得
( x,0)
(x,0) x
( x, y )
vFra Baidu bibliotek

( 0, 0)
2 ydx 2 xdy 2 ydx 2 xdy C
（A）
第二式对y积分，x视为参数，得到
v v dy j ( x) 2 xdy j ( x) 2 xy j ( x). y v 上式两边对x求偏导 2 y j ' x ，并与式(A)的第一式相比 x 较，得到j ’(x)=0，即j(x)=C，因此虚部为v(x,y)=2xy+C.
u v v u , . x y x y
上式两边自乘，得到
u v u v 0, 即 u v 0. x x y y
其中g (g=u, v)为曲线g=Const.的法向矢量，所以 u·v=0表 示相互正交的曲线族。
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前一式对x求导，后一式对y求导，得

2
2u 2 v , 2 x yx 2v 2u 2. xy y
2u 2u 2 0, 或 u 0. 2 2 x y
(A)
2 2 其中 2 2 称为拉普拉斯算符。同理可得 x y
f ( z) z 2
f ( z) e z
红: 实部
兰: 虚部
性质2：若函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是区域B上的解析函数， 则u(x,y)和v(x,y)均为该区域内的调和函数。
u v v u , . 证明：由柯西－黎曼条件： x y x y
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求解上述积分的具体办法有： （1）曲线积分法：选取特定积分路径，将上式积出。 （2）凑全微分显式法：将积分号里面凑成全微分显式。 先对x(或y)求部分积分，引入关于y(或x)的 （3）不定积分法： 待定函数，再用C-R条件确定该函数。
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第一章 复变函数 3
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例1. 已知解析函数f(z)的实部u(x,y)=x2-y2, 求虚部和这个解析 函数。
2u 2u 2，所以u(x,y)是调和函数。 解：因为 2 2, 2 x y
（1）曲线积分法:
u u 2 x, 2 y x y
C-R条件
v v 2 y, 2 x. x y
于是dv=2ydx+2xdy，这是一个全微分，直接积分得
( x, y )
v
u 2u 2u u 2 2 . y y y x x x
性质2
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因此可以求出解析函数的虚部
u u v( x, y) dv y dx x dy .
( x,0)
( x, y )
( x,0)
2 xdy C
2 xy C.
（2）凑全微分法：
dv 2 ydx 2xdy d 2xy , v 2 xy C.
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（3）不定积分法
v v 2 y, 2 x. x y

函数在区域B内的解析与在B内处处可导完全等价。
(2) 若f(z)在z0点的不解析，则称该点为f(z)的奇点。
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2、主要性质
性质1：设函数 f(z)=u(x,y)+iv(x,y)在区域B上解析，则u=C1， v=C2 （其中C1, C2为常数）是B上的两组正交曲线族。 证明：f(z)在区域内解析，必满足柯西－黎曼条件