离散数学课件
合集下载
自考离散数学课件
离散概率论在计算机科学中还应用于随机算法的设计。随机算法可以在某些情况 下提供比确定算法更高效的解决方案，离散概率论为随机算法的分析提供了理论 基础。
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如，在调查研究 时，离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究，最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树等）的数学分支，它不涉及连 续的量或函数，而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型，可以计算期望效用和期望收 益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型，可 以评估风险的大小和性质，并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。
离散概率论在统计学中的应用
离散概率论在统计学中用于描述和分 析离散随机事件。例如，在调查研究 时，离散概率论可以用于估计样本大 小、计算抽样误差和置信区间等。
自考离散数学课件
目录
CONTENTS
• 离散数学简介 • 集合论基础 • 图论基础 • 离散概率论基础 • 组合数学基础 • 离散概率论的应用
01 离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学 研究，最初是为了解决当时的一些实 际问题而发展起来的。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树等）的数学分支，它不涉及连 续的量或函数，而是专注于研究离散 结构及其性质。
离散概率论在统计学中还用于构建和 检验离散随机变量的统计模型。这些 模型可以帮助我们理解和预测离散随 机变量的分布和性质。
离散概率论在决策理论中的应用
离散概率论在决策理论中用于评估不 确定环境下的决策效果。通过离散概 率模型，可以计算期望效用和期望收 益，从而帮助决策者做出最优决策。
离散概率论在决策理论中还用于风险 评估和管理。通过离散概率模型，可 以评估风险的大小和性质，并制定相 应的风险管理策略。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。
详细描述
集合的运算包括并集、交集、差集等，这些运算具有一些重要的性质，如交换律、结合律等。交换律指的是集合 的并集和交集运算满足交换性；结合律指的是集合的并集和交集运算满足结合性。这些性质在离散数学的后续内 容中有着广泛的应用。
离散数学ppt课件
02
集合论基础
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念， 是研究离散对象的重要工具。
详细描述
集合是由一组确定的、互不相同 的、可区分的对象组成的整体。 这些对象称为集合的元素。例如 ，自然数集、平面上的点集等。
集合的运算和性质
总结词
集合的运算和性质是离散数学中的重要内容，包括集合的交、并、差、补等基本运算，以及集合的确定性、互异 性、无序性等性质。
生，1表示事件一定会发生。
离散概率论的运算和性质
概率的加法性质
如果两个事件A和B是互斥的，那么P(A或B)等于P(A)加上 P(B)。
概率的乘法性质
如果事件A和B是独立的，那么P(A和B)等于P(A)乘以P(B) 。
全概率公式
对于任意的事件A，存在一个完备事件组{E1, E2, ..., En}， 使得P(Ai)>0 (i=1,2,...,n)，且E1∪E2∪...∪En=S，那么 P(A)=∑[i=1 to n] P(Ai)P(A|Ei)。
工程学科
离散数学在工程学科中也有着重要的 应用，如计算机通信网络、控制系统 、电子工程等领域。
离散数学的重要性
基础性
离散数学是数学的一个重要分支 ，是学习其他数学课程的基础。
应用性
离散数学在各个领域都有着广泛的 应用，掌握离散数学的知识和方法 对于解决实际问题具有重要的意义 。
培养逻辑思维
学习离散数学可以培养人的逻辑思 维能力和问题解决能力，对于个人 的思维发展和职业发展都有很大的 帮助。
详细描述
邻接矩阵是一种常用的表示图的方法，它是 一个二维矩阵，其中行和列对应于图中的节 点，如果两个节点之间存在一条边，则矩阵 中相应的元素为1，否则为0。邻接表是一 种更有效的表示图的方法，它使用链表来存 储与每个节点相邻的节点。
离散数学树ppt课件.ppt
知，G-e已不是连通图， 所以，e为桥。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
根树的分类
(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树。
(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序 r叉树——每个分支点至多有r个儿子
r叉有序树——r叉树是有序的 r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子
r叉正则有序树——r叉正则树是有序的 r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶 点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
例16.2
例题
例题 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余 顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构 的无向树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
(5)(6)
如果G是连通的且G中任何边均为桥，则G中没有回路，但在任 何两个不同的顶点之间加一条新边，在所得图中得到唯一的 一个含新边的圈。
因为G中每条边均为桥，删掉任何边，将使G变成不连通图， 所以，G中没有回路，也即G中无圈。
又由于G连通，所以G为树，由(1) (2)可知，
根树的分类
(1)设T为根树，若将T中层数相同的顶点都标定次序， 则称T为有序树。
(2)分类：根据根树T中每个分支点儿子数以及是否有序 r叉树——每个分支点至多有r个儿子
r叉有序树——r叉树是有序的 r叉正则树——每个分支点恰有r个儿子
r叉正则有序树——r叉正则树是有序的 r叉完全正则树——树叶层数均为树高的r叉正则树
1，1，1，2，2，2，3
由度数列可知，Ti中有一个3度顶点vi，vi的邻域N(vi)中有3个顶 点，这3个顶点的度数列只能为以下三种情况之一：
1,1,2
1,2,2
2,2,2
设它们对应的树分别为T1，T2，T3。此度数列只能产生这三棵 非同构的7阶无向树。
例16.2
例题
例题 已知无向树T中，有1个3度顶点，2个2度顶点，其余 顶点全是树叶，试求树叶数，并画出满足要求的非同构 的无向树。
无向树的性质
定理16.2 设T是n阶非平凡的无向树，则T中至少有两片树叶。
证明
设T有x片树叶，由握手定理及定理16.1可知，
2(n 1) d(vi ) x 2(n x)
由上式解出x≥2。
例16.1
例16.1 画出6阶所有非同构的无向树。
解答 设Ti是6阶无向树。 由定理16.1可知，Ti的边数mi＝5， 由握手定理可知，∑dTi(vj)＝10，且δ(Ti)≥1，△(Ti)≤5。 于是Ti的度数列必为以下情况之一。
离散数学四省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
f : DIn DI , 称 f 为f在I中解释.
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
19
第19页
实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
2
第2页
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
(d) 对每一个n元谓词符号FL, 有一个DI上n元谓词常项 ,F 称 F 为F在I中解释. 设公式A, 取个体域DI , 把A中个体常项符号a、函数符
号f、谓词符号F分别替换成它们在I中解释 、a 、f ,F称
所得到公式A为A在I下解释, 或A在I下被解释成A.
比如，x(F(x,y)G(x,z))， x为指导变元，(F(x,y)G(x,z))为 x 辖域，x两次出现均为约束出现，y与 z 均为自由出现
又如, x(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))), x中x是指导变元, 辖域为(F(x,y,z)y(G(x,y)H(x,y,z))). y中y是指导变元, 辖 域为(G(x,y)H(x,y,z)). x3次出现都是约束出现, y第一次出 现是自由出现, 后2次是约束出现, z2次出现都是自由出现
19
第19页
实例
例7 判断以下公式中，哪些是永真式，哪些是矛盾式？ (1) xF(x)(xyG(x,y)xF(x))
重言式 p(qp) 代换实例，故为永真式. (2) (xF(x)yG(y))yG(y)
矛盾式 (pq)q 代换实例，故为永假式. (3) x(F(x)G(x))
解释I1: 个体域N, F(x):x>5, G(x): x>4, 公式为真 解释I2: 个体域N, F(x):x<5, G(x):x<4, 公式为假 结论: 非永真式可满足式
2
第2页
谓词
谓词——表示个体词性质或相互之间关系词 谓词常项 如, F(a)：a是人 谓词变项 如, F(x)：x含有性质F n（n1）元谓词 一元谓词(n=1)——表示性质 多元谓词(n2)——表示事物之间关系 如, L(x,y)：x与 y 相关系 L，L(x,y)：xy，… 0元谓词——不含个体变项谓词, 即命题常项 或命题变项
《离散数学图论》课件
最短路径问题
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
实现方法：使用 队列数据结构， 将起始节点入队， 然后依次处理队 列中的每个节点， 直到找到目标节
点或队列为空
Dijkstra算法和Prim算法
Dijkstra算法：用于 求解单源最短路径问 题，通过不断更新最 短路径来寻找最短路 径。
Prim算法：用于求解 最小生成树问题，通过 不断寻找最小权重的边 来构建最小生成树。
图的矩阵表示
邻接矩阵的定义和性质
定义：邻接矩阵是一个n*n的矩阵，其 中n是图的顶点数，矩阵中的元素表示 图中顶点之间的连接关系。
性质：邻接矩阵中的元素只有0和1， 其中0表示两个顶点之间没有边相连， 1表示两个顶点之间有一条边相连。
应用：邻接矩阵可以用于表示图的连通 性、路径长度等信息，是图论中常用的 表示方法之一。
图像处理：优化图像分割， 提高图像质量
物流配送：优化配送路径， 降低配送成本
社交网络：优化社交网络 结构，提高用户活跃度
感谢您的观看
汇报人：PPT
数学：用于图论、组合数 学、代数拓扑等领域
物理学：用于量子力学、 统计力学等领域
生物学：用于蛋白质结构、 基因调控等领域
社会科学：用于社会网络 分析、经济模型等领域
图的基本概念
图的定义和表示方法
图的定义：由节点和边组成的数学结构，节点表示对象，边表示对象之间的关系
节点表示方法：用点或圆圈表示 边表示方法：用线或弧线表示 图的表示方法：可以用邻接矩阵、邻接表、关联矩阵等方式表示
顶点和边的基本概念
顶点：图中的基本元素，表示一个对象或事件 边：连接两个顶点的线，表示两个对象或事件之间的关系 度：一个顶点的度是指与其相连的边的数量 路径：从一个顶点到另一个顶点的边的序列 连通图：图中任意两个顶点之间都存在路径 强连通图：图中任意两个顶点之间都存在双向路径
离散数学PPT课件
定义2.1设A,B是两个命题公式，若A，B构成的等价 式AB为重言式，则称A与B等值，记为AB。
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
20
例2.1判断下面两个公式是否等值： (pq), pq 例2.2判断下面各组公式是否等值： （1）p(qr) 与 (pq)r （2） ( pq)r与 (pq)r
21
置换规则 ： 设（A）是含公式A的命题公式， （B） 是用公式B置换了（A）中所有的A以后得到的命题公式， 若BA，则（B） （A）。
定义1.2 设p，q为两命题，复合命题“p并且q”称为p与 q的合取式，记作“pq”。 pq为真当且仅当 p， q同 时为真。
定义1.3 设p，q为两命题，复合命题“p或q”称为p与q的 析取式，记作“pq”。 p q为假当且仅当 p， q同时为 假。
7
例1.3将下列命题符号化 （1）吴影既用功又聪明。 （2）吴影不仅用功而且聪明。 （3）吴影虽然聪明，但不用功。 （4）张辉与王丽都是三好学生。 （5）张辉与王丽是同学
16
例1.8求下列公式的真值表，并求成真赋值。 (1) (pq)r (2) (pp)(qq) (3) (p q) q r
定义1.10设A为一命题公式 （1）若A在它的各种赋值下取值均为真，则称A是重 言式或永真式。 （2）若A在它的各种赋值下取值均为假，则称A是矛 盾式或永假式。 （3）若A不是矛盾式，则称A是可满足式。
离散数学
1
离散数学课件
离散数学是计算机科学的核心理论课程， 是计算机专业的专业基础课。
第一部分 数理逻辑 第二部分 集合与关系代数 第三部分 图论
2
第一部分数理逻辑
第一章 命题逻辑基本概念 第二章 命题逻辑等值演算 第三章 命题逻辑推理理论 第四章 一阶逻辑基本概念 第五章 一阶逻辑等值演算与推理
《离散数学函数》课件
幂函数
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数
$f(x) = sin x$。
正弦函数
$f(x) = cos x$。
余弦函数
$f(x) = tan x$。
正切函数
自然指数函数
$f(x) = e^x$。
幂指数函数
$f(x) = x^n$，其中 $n > 0$。
03
函数的运算
Chapter
函数的加法是一种对应关系，将两个函数的对应点一一对应起来。
总结词：函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性等。
02
函数的分类
Chapter
01
02
03
04
$f(x) = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。
线性函数
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数
$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数。
函数的加法运算是在函数值域上进行的，将两个函数的对应点一一对应起来，形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_1$和$D_2$，值域分别为$R_1$和$R_2$，且$D_1 cap D_2 = emptyset$，那么函数$f(x)$和$g(x)$的加法运算结果是一个新的函数$h(x)$，其定义域为$D_1 cup D_2$，值域为$R_1 cup R_2$，且对于任意$x in D_1 cup D_2$，有$h(x) = f(x) + g(x)$。
VS
函数的复合是一种对应关系，将一个函数的对应点作为另一个函数的自变量。
详细描述
函数的复合运算是在一个函数的值域上定义另一个函数作为其自变量，从而形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$的定义域为$D_1$，值域为$R_1$；函数$g(y)$的定义域为$R_1$，值域为$R_2$，那么函数$g(f(x))$的复合运算结果是一个新的函数，其定义域为$D_1$，值域为$R_2$。对于任意$x in D_1$，有$(g circ f)(x) = g(f(x))$。
如正弦函数、余弦函数、正切函数等。
三角函数
$f(x) = sin x$。
正弦函数
$f(x) = cos x$。
余弦函数
$f(x) = tan x$。
正切函数
自然指数函数
$f(x) = e^x$。
幂指数函数
$f(x) = x^n$，其中 $n > 0$。
03
函数的运算
Chapter
函数的加法是一种对应关系，将两个函数的对应点一一对应起来。
总结词：函数的性质包括有界性、单调性、奇偶性等。
02
函数的分类
Chapter
01
02
03
04
$f(x) = ax + b$，其中 $a$ 和 $b$ 是常数，$a neq 0$。
线性函数
$f(x) = ax^2 + bx + c$，其中 $a neq 0$。
二次函数
$f(x) = x^n$，其中 $n$ 是实数。
函数的加法运算是在函数值域上进行的，将两个函数的对应点一一对应起来，形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$和$g(x)$的定义域分别为$D_1$和$D_2$，值域分别为$R_1$和$R_2$，且$D_1 cap D_2 = emptyset$，那么函数$f(x)$和$g(x)$的加法运算结果是一个新的函数$h(x)$，其定义域为$D_1 cup D_2$，值域为$R_1 cup R_2$，且对于任意$x in D_1 cup D_2$，有$h(x) = f(x) + g(x)$。
VS
函数的复合是一种对应关系，将一个函数的对应点作为另一个函数的自变量。
详细描述
函数的复合运算是在一个函数的值域上定义另一个函数作为其自变量，从而形成一个新的函数。具体来说，如果函数$f(x)$的定义域为$D_1$，值域为$R_1$；函数$g(y)$的定义域为$R_1$，值域为$R_2$，那么函数$g(f(x))$的复合运算结果是一个新的函数，其定义域为$D_1$，值域为$R_2$。对于任意$x in D_1$，有$(g circ f)(x) = g(f(x))$。
离散数学课件ppt课件
联结词可以嵌套使用，在嵌套使用时，规定如下优先顺序： ( )，┐，∧，∨，→， ，对于同一优先级的联结词，先出现 者先运算。
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
例1.7 令 P : 北京比天津人口多 Q:22 4 R : 乌鸦是白色的
求下列复合命题的真值：
1P Q P Q R 2Q R P R 3P R P R
解 P，Q，R的真值分别为1，1，0。容易算出 (1)、(2)、(3)的真值分别为1，1，0。
2．在自然语言中，“如果P，则Q”中的前件P与后件Q往 往具有某种内在联系。而在数理逻辑中，P与Q可以无任何内 在联系。
3．在数学或其它自然科学中，“如果P，则Q”往往表达 的是前件P为真，后件Q也为真的推理关系。但在数理逻辑中， 作为一种规定，当P为假时，无论Q是真是假，P→Q均为真。 也就是说，只有P为真Q为假这一种情况使得复合命题P→Q为 假。
PQ 的真值定义为 PQ为真当且仅当P, Q同真值 因此, P, Q一真一假时, P Q为假。
复合命题P Q的真值表： P
0 0 1 1
Q
P Q
0
1
1
0
0
0
1
1
例1.6 将下列命题符号化，并指出它们的真值：
3如 两 圆O1 , O2的面积相等，则它们的半径相等；反之亦然. 4当王小红心情愉快时，她就唱歌；反之当她唱歌时，
真值为真的命题称为真命题；真值为假的命题为假命题。
说明：
1. 命题必须是陈述性语句，而不能是疑问句、命令句、 感叹句等；
2. 命题语句或者为真或者为假，二者必取其一，即命 题的真值是唯一的
判断句子是否为命题的标准： (1)陈述句 (2)有唯一的真值
例1 判断下列句子是不是命题: (1) 4是素数。
第一部分 数理逻辑
离散数学高等里离散数学课件-CHAP
图论
图的基本概念
边
连接两个节点的线段称为边。
简单图与多重图
只含一条边的图称为简单图， 含有相同端点的多条边称为多 重边。
节点
图中的顶点称为节点。
定向图与无向图
如果边有方向，则称为定向图； 如果边无方向，则称为无向图。
有限图与无限图
节点和边都有限的图称为有限 图，节点或边至少有一个为无 限的图称为无限图。
发展
随着计算机科学的快速发展，离散数学也得到了迅速的发展 。许多新的分支如组合数学、离散概率论等不断涌现，并广 泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
离散数学的应用领域
计算机科学
离散数学在计算机科学中有着广泛的 应用，如算法设计、数据结构、计算 机图形学、数据库系统等。
工程学
离散数学在工程学中也有着广泛的应 用，如电子工程、通信工程、机械工 程等。
要点二
详细描述
集合可以用列举法、描述法、图示法等多种方法来表示。 列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素 数量较少的集合。描述法是用数学符号和逻辑表达式来描 述集合中的元素，适用于元素数量较多且具有共同特征的 集合。图示法则是用图形来表示集合，直观易懂，适用于 具有明显包含关系的集合。
03
如果图中任意两个节点之间都存在一 条路径，则称该图为连通图。
路径与回路
欧拉回路与哈密顿回路
如果一条回路恰好经过图中的每条边 一次，则称为欧拉回路；如果一条回 路恰好经过图中的每个节点一次，则 称为哈密顿回路。
连接两个节点的序列称为路径，如果 路径的起点和终点是同一点，则称为 回路。
04
离散概率论
离散概率的基本概念
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中节点之 间的关系，如果节点i与 节点j之间存在一条边， 则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
图的基本概念
边
连接两个节点的线段称为边。
简单图与多重图
只含一条边的图称为简单图， 含有相同端点的多条边称为多 重边。
节点
图中的顶点称为节点。
定向图与无向图
如果边有方向，则称为定向图； 如果边无方向，则称为无向图。
有限图与无限图
节点和边都有限的图称为有限 图，节点或边至少有一个为无 限的图称为无限图。
发展
随着计算机科学的快速发展，离散数学也得到了迅速的发展 。许多新的分支如组合数学、离散概率论等不断涌现，并广 泛应用于计算机科学、工程学、物理学等领域。
离散数学的应用领域
计算机科学
离散数学在计算机科学中有着广泛的 应用，如算法设计、数据结构、计算 机图形学、数据库系统等。
工程学
离散数学在工程学中也有着广泛的应 用，如电子工程、通信工程、机械工 程等。
要点二
详细描述
集合可以用列举法、描述法、图示法等多种方法来表示。 列举法是将集合中的所有元素一一列举出来，适用于元素 数量较少的集合。描述法是用数学符号和逻辑表达式来描 述集合中的元素，适用于元素数量较多且具有共同特征的 集合。图示法则是用图形来表示集合，直观易懂，适用于 具有明显包含关系的集合。
03
如果图中任意两个节点之间都存在一 条路径，则称该图为连通图。
路径与回路
欧拉回路与哈密顿回路
如果一条回路恰好经过图中的每条边 一次，则称为欧拉回路；如果一条回 路恰好经过图中的每个节点一次，则 称为哈密顿回路。
连接两个节点的序列称为路径，如果 路径的起点和终点是同一点，则称为 回路。
04
离散概率论
离散概率的基本概念
图的表示方法
邻接矩阵
用矩阵表示图中节点之 间的关系，如果节点i与 节点j之间存在一条边， 则矩阵中第i行第j列的 元素为1，否则为0。
【精品】离散数学PPT课件(完整版)
一个简单命题.
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
13
联结词与复合命题(续)
3.析取式与析取联结词“∨” 定义 设 p,q为二命题，复合命题“p或q”称作p与q 的析取式，记作p∨q. ∨称作析取联结词，并规 定p∨q为假当且仅当p与q同时为假.
例 将下列命题符号化 (1) 2或4是素数. (2) 2或3是素数. (3) 4或6是素数. (4) 小元元只能拿一个苹果或一个梨. (5) 王晓红生于1975年或1976年.
15
联结词与复合命题(续)
4.蕴涵式与蕴涵联结词“” 定义 设 p,q为二命题，复合命题 “如果p,则q” 称 作p与q的蕴涵式，记作pq，并称p是蕴涵式的 前件，q为蕴涵式的后件. 称作蕴涵联结词，并 规定，pq为假当且仅当 p 为真 q 为假.
16
联结词与复合命题(续)
pq 的逻辑关系：q 为 p 的必要条件 “如果 p，则 q ” 的不同表述法很多：
19
例 求下列复合命题的真值 (1) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 + 3 ＝ 6. (2) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 3 是偶数. (3) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 太阳从东方升起. (4) 2 + 2 ＝ 4 当且仅当 美国位于非洲. (5) 函数 f (x) 在x0 可导的充要条件是它在 x0
解 令 p：王晓用功，q：王晓聪明，则 (1) p∧q (2) p∧q (3) p∧q.
12
例 (续)
令 r : 张辉是三好学生，s :王丽是三好学生 (4) r∧s. (5) 令 t : 张辉与王丽是同学，t 是简单命题 .
说明: (1)~(4)说明描述合取式的灵活性与多样性. (5) 中“与”联结的是两个名词，整个句子是
若 p，就 q 只要 p，就 q p 仅当 q 只有 q 才 p 除非 q, 才 p 或 除非 q, 否则非 p. 当 p 为假时，pq 为真 常出现的错误：不分充分与必要条件
离散数学的ppt课件
科学中的许多问题。
03
例如，利用图论中的最短路径算法和最小生成树算法
等，可以优化网络通信和数据存储等问题。
运筹学中的应用
01
运筹学是一门应用数学学科， 主要研究如何在有限资源下做 出最优决策，离散数学在运筹 学中有着广泛的应用。
02
利用离散数学中的线性规划、 整数规划和非线性规划等理论 ，可以解决运筹学中的许多问 题。
并集是将两个集合中的所有元素合 并在一起，形成一个新的集合。
详细描述
例如，{1, 2, 3}和{2, 3, 4}的并集是 {1, 2, 3, 4}。
总结词
补集是取一个集合中除了某个子集 以外的所有元素组成的集合。
详细描述
例如，对于集合{1, 2, 3}，{1, 2}的 补集是{3}。
集合的基数
总结词
）的数学分支。
离散数学的学科特点
03
离散数学主要研究对象的结构、性质和关系，强调推
理和证明的方法。
离散数学的应用领域
计算机科学
01
离散数学是计重要的工具和方法。
通信工程
02
离散数学在通信工程中广泛应用于编码理论、密码学、信道容
量估计等领域。
集合的基数是指集合中元素的数量。
详细描述
例如，集合{1, 2, 3}的基数是3，即它包含三个元素。
03 图论
图的基本概念
顶点
图中的点称为顶点或节点。
边
连接两个顶点的线段称为边。
无向图
边没有方向，即连接两个顶点的线段可以是双向 的。
有向图
边有方向，即连接两个顶点的线段只能是从一个顶 点指向另一个顶点。
研究模态算子（如necessity、possibility）的语义和语法。
离散数学高等教育出版社配套PPT课件屈婉玲耿素云张立昂
15
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
子群判定定理2
定理10.6 （判定定理二） 设G为群，H是G的非空子集. H是G的子群当且仅当a,b∈H 有ab1∈H.
证 必要性显然. 只证充分性. 因为H非空，必存在a∈H. 根据给定条件得aa1∈H，即e∈H. 任取a∈H, 由e,a∈H 得 ea1∈H，即a1∈H. 任取a,b∈H，知b1∈H. 再利用给定条件得a(b1) 1∈H，即 ab∈H. 综合上述，可知H是G的子群.
13
10.2 子群与群的陪集分解
定义10.5 设G是群，H是G的非空子集， (1) 如果H关于G中的运算构成群，则称H是G的子群, 记作
H≤G. (2) 若H是G的子群，且HG，则称H是G的真子群，记作
H<G.
例如 nZ (n是自然数) 是整数加群<Z,+> 的子群. 当n≠1时, nZ是Z的真子群.
11
实例
例 5 设G是群，a,b∈G是有限阶元. 证明
(1) |b1ab| = |a|
(2) |ab| = |ba|
证 (1) 设 |a| = r，|b1ab| = t，则有
(b1ab)r (b1ab)(b1ab)...(b1ab)
r个
b1arb b1eb e
从而有t | r. 另一方面，由 a = (b1)1(b1ab)b1可知 r | t. 从而 有 |b1ab| = |a|.
实例： <Z,+>和<R,+>是无限群，<Zn,>是有限群，也是 n 阶群. Klein四元群是4阶群. <{0},+>是平凡群. 上述群都是交换群，n阶(n≥2)实可逆矩阵集合关于矩阵乘法 构成的群是非交换群.
5
群中元素的幂
《离散数学讲义》课件
离散概率分布的定义
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散概率分布是描述随机事件在有限或可数无限的可 能结果集合中发生的概率的数学工具。
离散概率分布的种类
常见的离散概率分布包括二项分布、泊松分布、几何 分布等。
离散概率分布的应用
离散概率分布在统计学、计算机科学、物理学等领域 都有广泛的应用。
参数估计和假设检验
参数估计
参数估计是根据样本数据推断总体参数的过 程，包括点估计和区间估计两种方法。
假设检验
假设检验是用来判断一个假设是否成立的统计方法 ，包括参数检验和非参数检验两种类型。
参数估计和假设检验的应 用
在统计学中，参数估计和假设检验是常用的 数据分析方法，用于推断总体特征和比较不 同总体的差异。
方差分析和回归分析
方差分析
方差分析是一种用来比较不同组数据的平均值是否存在显著差异 的统计方法。
《离散数学讲义》ppt课件
目 录
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 离散概率论 • 逻辑学 • 离散统计学 • 应用案例分析
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
起源
离散数学起源于17世纪欧洲的数学研 究，最初是为了解决当时的一些实际 问题，如组合计数和图论问题。
定义
离散数学是研究离散对象（如集合、 图、树、逻辑等）的数学分支，它不 涉及连续的变量或函数。
联结词：如与(&&)、或(||)、非(!)等，用 于组合简单命题。
03
04
命题公式：由简单命题通过联结词组合而 成的复合命题。
命题逻辑的推理规则
05
06
肯定前件、否定后件、析取三段论、合取 三段论等推理规则。
谓词逻辑
个体词
表示具体事物的符号。
离散数学省名师优质课赛课获奖课件市赛课一等奖课件
p q p pq (pq) (pq)q
00 1 1
0
0
01 1 1
0
0
10 0 0
1
0
11 0 1
0
0
成假赋值:00,01,10,11; 无成真赋值
23
公式旳类型
定义1.10 (1) 若A在它旳任何赋值下均为真, 则称A为重言式或永真式; (2) 若A在它旳任何赋值下均为假, 则称A为矛盾式或永假式; (3) 若A不是矛盾式, 则称A是可满足式.
第一部分 数理逻辑
主要内容 命题逻辑基本概念 命题逻辑等值演算 命题逻辑推理理论 一阶逻辑基本概念 一阶逻辑等值演算与推理
1
第一章 命题逻辑旳基本概念
主要内容 命题与联结词
命题及其分类 联结词与复合命题 命题公式及其赋值
2
1.1 命题与联结词
命题与真值 命题：判断成果惟一旳陈说句 命题旳真值：判断旳成果 真值旳取值：真与假 真命题与假命题
14
1.2 命题公式及其赋值
命题变项与合式公式 命题变项 合式公式 合式公式旳层次 公式旳赋值 公式赋值 公式类型 真值表
15
命题变项与合式公式
命题常项 命题变项（命题变元） 常项与变项均用 p, q, r, …, pi, qi, ri, …, 等表达.
定义1.6 合式公式（简称公式）旳递归定义： (1) 单个命题变项和命题常项是合式公式, 称作原子命题公式 (2) 若A是合式公式，则 (A)也是 (3) 若A, B是合式公式，则(AB), (AB), (AB), (AB)也是 (4) 只有有限次地应用(1)—(3) 形成旳符号串才是合式公式
(9) pq 或pq
可见(5)与(7)，(6)与(8) 相同（等值）
左孝凌离散数学课件
01
集合论
集合的基本概念
总结词
集合是离散数学中的基本概念，它是由一组确定的、不同的、互不相同的元素所组成的 。
详细描述
集合是离散数学中一个最基本的概念，它是由一组确定的、不同的、互不相同的元素所 组成的。这些元素可以是数字、字母、图形等，它们在集合中表示不同的个体或对象。
集合的运算和性质
总结词
详细描述
邻接矩阵是一种常用的图表示方法，通过二维矩阵表示节点之间的关系，矩阵中的元素表示边的权重 或连接状态；邻接表是一种更有效的图表示方法，通过链表或数组等数据结构表示节点和其相邻节点 之间的关系。
图的连通性
总结词
图的连通性是指图中任意两个节点之间是否 存在路径。
详细描述
图的连通性分为强连通和弱连通两种情况。 强连通是指图中任意两个节点之间都存在有 向路径；弱连通是指图中任意两个节点之间 都存在无向路径。判断图的连通性是图论中 的重要问题之一。
左孝凌离散数学课件
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
• 离散数学简介 • 集合论 • 图论 • 逻辑学 • 离散概率论 • 离散统计学
目录CONTENTS
01
离散数学简介
离散数学的起源和定义
总结词
离散数学的起源可以追溯到古代数学，它与连续数学相对应，研究的是非连续的、分离的对象。
置信区间
置信区间是指根据样本数据估计 总体参数的可能范围，用于衡量 估计的准确性。
单侧检验和双侧检
验
单侧检验是指只检验一个方向的 假设，而双侧检验则是同时检验 两个方向的假设。
感谢观看
THANKS
THE FIRST LESSON OF THE SCHOOL YEAR
离散数学-有限集与无限集(课件)
课件结构
首先介绍离散数学的基本概念和研究对象， 然后详细阐述有限集与无限集的定义、性质 及其在数学和计算机科学中的应用，最后通 过实例和练习题帮助学生巩固所学知识。
有限集定义
有限集是指包含有限个元素的集合。
对于任意自然数n，如果一个集合的 元素个数不超过n，则该集合为有限 集。
有限集性质
02
01
差集
补集
有限集A与有限集B的差集A-B 仍然是有限集，其元素个数等 于集合A的元素个数减去集合A 与集合B的交集元素个数。
在全集U中，有限集A的补集 U-A仍然是有限集，其元素个 数等于全集U的元素个数减去 集合A的元素个数。
02
无限集
无限集定义
无限集是一个元素数量无法穷 尽的集合。
对于任意正整数n，无限集总能 找到至少n个不同的元素。
THANK YOU
感谢聆听
可数集与不可数集
详细阐述了可数集与不可数集的概念、性质及证 明方法。
离散数学在其他学科中的应用
简要概述了离散数学在计算机科学、数学分析、 物理学等学科中的应用。
对未来研究的展望
• 深入研究无限集的性质：尽管我们已经对无限集有了一定的了解，但仍有许多 未解决的问题和需要进一步探讨的性质。
• 拓展可数集与不可数集的研究领域：目前可数集与不可数集的研究主要集中在 一些特定领域，未来可以尝试将这些理论应用到更广泛的领域中。
示例
若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}。
04
有限集与无限集的应用
在数学领域的应用
集合论基础
有限集和无限集是集合论的基 本概念，对于研究集合的性质 、关系、运算等具有重要意义 。
数论研究
在数论中，有限集和无限集的 概念对于研究整数的性质、分 布、素数等问题具有重要作用 。
首先介绍离散数学的基本概念和研究对象， 然后详细阐述有限集与无限集的定义、性质 及其在数学和计算机科学中的应用，最后通 过实例和练习题帮助学生巩固所学知识。
有限集定义
有限集是指包含有限个元素的集合。
对于任意自然数n，如果一个集合的 元素个数不超过n，则该集合为有限 集。
有限集性质
02
01
差集
补集
有限集A与有限集B的差集A-B 仍然是有限集，其元素个数等 于集合A的元素个数减去集合A 与集合B的交集元素个数。
在全集U中，有限集A的补集 U-A仍然是有限集，其元素个 数等于全集U的元素个数减去 集合A的元素个数。
02
无限集
无限集定义
无限集是一个元素数量无法穷 尽的集合。
对于任意正整数n，无限集总能 找到至少n个不同的元素。
THANK YOU
感谢聆听
可数集与不可数集
详细阐述了可数集与不可数集的概念、性质及证 明方法。
离散数学在其他学科中的应用
简要概述了离散数学在计算机科学、数学分析、 物理学等学科中的应用。
对未来研究的展望
• 深入研究无限集的性质：尽管我们已经对无限集有了一定的了解，但仍有许多 未解决的问题和需要进一步探讨的性质。
• 拓展可数集与不可数集的研究领域：目前可数集与不可数集的研究主要集中在 一些特定领域，未来可以尝试将这些理论应用到更广泛的领域中。
示例
若A={1,2,3}，B={2,3,4}，则A-B={1}。
04
有限集与无限集的应用
在数学领域的应用
集合论基础
有限集和无限集是集合论的基 本概念，对于研究集合的性质 、关系、运算等具有重要意义 。
数论研究
在数论中，有限集和无限集的 概念对于研究整数的性质、分 布、素数等问题具有重要作用 。
离散数学(函数)课件
02
函数的运算
函数的加法
总结词
函数的加法是一种对应关系，表示将函数$f$和$g$的每一个输出值都加上一定的量。
详细描述
函数的加法是一种二元运算，表示将函数$f$和$g$的每一个输出值都加上一定的量。具体来说，如果函数$f$和 $g$的定义域分别为$D_f$和$D_g$，那么函数$f+g$的定义域为$D_{f+g} = D_f cap D_g$，对于任意$x in D_{f+g}$，有$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$。
详细描述
幂函数的形式为 y=x^n，其中 n 是实数。当 n>0 时，幂函数是增函数；当 n<0 时，幂函数是减函数；当 n=0 时，幂函数值为 1。幂函数在离散数学中可 用于表示一些复杂的关系。
指数函数
总结词
指数函数是指数等于输入值的函数。
详细描述
指数函数的形式为 y=a^x，其中 a 是实数且 a>0，a≠1。当 a>1 时，指数函 数是增函数；当 0<a<1 时，指数函数是减函数。指数函数在离散数学中可用于 表示概率和统计中的分布情况。
函数的三要素包括定义域、值域和对应法则。
函数的表示方法
01
02
03
解析法
通过公式来表示函数，例 如y=f(x)。
表格法
通过表格的形式列出函数 的输入和输出值。
图象法
通过绘制函数图像来表示 函数。
函数的性质
单调性
函数在某个区间内单调增 加或单调减少。
有界性
函数在某个区间内有上界 和下界。
奇偶性
函数是否关于原点对称或 关于y轴对称。
函数的复合
离散数学关系公开课一等奖优质课大赛微课获奖课件
U{ [x]R | xA } U{ A | xA }=A. U{ [x]R | xA } = A. #
/10/10
xy
第11页11
同余(congruence)关系
同余关系: 设n{2,3,4,…}, x,yZ,则
x与y模n同余(be congruent modulo n)
xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ)
/10/10
第14页14
例12(1)
例12(1): 设A={a1,a2,…,an}, IA, EA, Rij=IA{<ai,aj>,<aj,ai>}
都是A上等价关系, 求相应商集, 其中 ai,ajA, ij. 是A上等价关系吗?
解: A/IA={ {a1}, {a2},…, {an } }
A/EA={ {a1,a2,…,an } } A/Rij= A/IA{{ai,aj}} - {{ai},{aj}}. 不是A上等价关系(非自反). #
/10/10
第3页 3
例9(续)
定义 自反 对称 传递 等价关系
R1 x与y同年生
R2 x与y同姓
R3 x年龄不比
y小重
/10/10
第4页 4
例10
例10: 设 R A A 且 A , 对R依次求 三种闭包共有6种不同次序, 其中哪些次 序一定造成等价关系?
second
n
kind):
S(n,k)=
n
k
n
xn S(n, k)x(x 1)(x 2)(x k 1) S(n, k)xk .
k 0
k 0
/10/10
第23页23
Bell数表
n
Bn
/10/10
xy
第11页11
同余(congruence)关系
同余关系: 设n{2,3,4,…}, x,yZ,则
x与y模n同余(be congruent modulo n)
xy(mod n) n|(x-y) x-y=kn (kZ)
/10/10
第14页14
例12(1)
例12(1): 设A={a1,a2,…,an}, IA, EA, Rij=IA{<ai,aj>,<aj,ai>}
都是A上等价关系, 求相应商集, 其中 ai,ajA, ij. 是A上等价关系吗?
解: A/IA={ {a1}, {a2},…, {an } }
A/EA={ {a1,a2,…,an } } A/Rij= A/IA{{ai,aj}} - {{ai},{aj}}. 不是A上等价关系(非自反). #
/10/10
第3页 3
例9(续)
定义 自反 对称 传递 等价关系
R1 x与y同年生
R2 x与y同姓
R3 x年龄不比
y小重
/10/10
第4页 4
例10
例10: 设 R A A 且 A , 对R依次求 三种闭包共有6种不同次序, 其中哪些次 序一定造成等价关系?
second
n
kind):
S(n,k)=
n
k
n
xn S(n, k)x(x 1)(x 2)(x k 1) S(n, k)xk .
k 0
k 0
/10/10
第23页23
Bell数表
n
Bn
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、
“∘”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c， 记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记 作*a或*(a)。
第五章：代数结构
设A=1 , a , 1 ，其中，a是非零实数。f定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为：
a
aA，f(a)= 1 。容易看出f是A上的一元运算。
又如，f：a m,nN，f(m,n)=m＋n，f是自然数集合N上
河南理工大学电子教案
《离散数学》教案
计算机科学与技术学院
课程学时：64 主 讲：宋 成
第三篇：代数系统
本篇用代数方法来研究数学结构，故 又叫代数结构，它将用抽象的方法来研 究集合上的关系和运算。
代数的概念和方法已经渗透到计算 机科学的许多分支中，它对程序理论， 数据结构，编码理论的研究和逻辑电路 的设计已具有理论和实践的指导意义
教学类容： 代数系统的引入、运算及性质、半群、群与子群、 阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理 、同态 与同构、环和域。
教学重点： 群、环、域的概念及运算，同态和同构。
教学难点： 同态与同构 的概念。
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 1、运算
【定义5.1.1】 设A是非空集合，一个从An到B的 映射,称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 如果B A，则称该n元运算是封闭的。 在定义5.1中，当n=1时，f称为集合A上的一 元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。
第五章：代数结构
§5.2二元运算的性质
5.2.1运算的基本性质 1.交换律
【定义5.2.1】 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任 意的a,bA，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的，也 称二元运算*在A上满足交换律。
例如，设R为实数集合，对于任意的a,bR，规定 a∗b=(a–b)2 a∘b=a2+b2
【例5.3】设B是一个集合，A=P (B)是A幂集合。集合的求补
运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。 于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统，该代数系常称为集合代数。
【例5.4】设R-0是全体非零实数集合，*是R-0上二元运 算，定义为：a,b R-0，a*b=b。则<R-0,*>是代数系统。
a·b=a+b–ab 则运算∗、∘和·都是可交换的。
2.结合律 【定义5.2.2】 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意 的a,b,cA，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结合 的，也称二元运算∗在A上满足结合律
第五章：代数结构
实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律； 矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律。
2.运算的表示 表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。
解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如
f(a)= 1 ，
a
i j i j k i k j i j k i j k
运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。 经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限
集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来 定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某 些性质进行讨论，更形象地了解二元运算的有关特征。
中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+72=6 可 解 释 为 ： 星 期 四 再 过 两 天 后 是 星 期 六 ； 4+75=2 可 解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意 义的一种解释。
第五章：代数结构
②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运 算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的。
第五章：代数结构
【例5.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规 定为：m,nN，
m∗n=minm,n m∘n=maxm,n 则∗和∘是N上的二元封闭运算。 【例5.2】设Nk=0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为： 对于Nk中的任意两个元素i和j，有
的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法也是自然数 集合N上的二元运算，但是它不是封闭的，因为两个自然数 相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法 不是自然数集合N上封闭的二元运算。
通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的封 闭运算必须满足以下两点：
①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是 惟一的。
本篇讨论一些典型的代数系统及其 性质。
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 §5.2 运算及其性质 §5.3 半群 §5.4 群与子群 §5.5 阿贝尔群和循环群 §5.6* 陪集与拉格朗日定理 §5.7 同态与同构 §5.8 环与域
第五章：代数结构
教学目的及要求： 深刻理解和掌握代数系统的基本概念和运算
设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示，它的 运算表如表5.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算表表示，它 的运算表如表5.2所示。
第五章：代数结构
表5.1
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
表5.2
×4 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
i j i j k i k j i j k i j k
称二元运算+k为模k加法。
第五章：代数结构
Nk上
的二元运
算× 定 k
义为：对于Nk中的
任意两个
元素i
和j，有
i j
i j k
i k j i j除以k 的余数 i j k
称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7
第五章：代数结构
3 代数系统 【 定义5.1.2】 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上
的 运 算 ∗ 1,∗2,…,∗k 所 组 成 的 系 统 称 为 一 个 代 数 系 统 ， 记 作 <A,∗1,∗2,…,∗k>。
根据定义5.1.2，一个代数系统需要满足下面两个条件： ①有一个非空集合A。 ②有一些定义在集合A上的运算。 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素， 缺一不可。
“∘”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c， 记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记 作*a或*(a)。
第五章：代数结构
设A=1 , a , 1 ，其中，a是非零实数。f定ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ为：
a
aA，f(a)= 1 。容易看出f是A上的一元运算。
又如，f：a m,nN，f(m,n)=m＋n，f是自然数集合N上
河南理工大学电子教案
《离散数学》教案
计算机科学与技术学院
课程学时：64 主 讲：宋 成
第三篇：代数系统
本篇用代数方法来研究数学结构，故 又叫代数结构，它将用抽象的方法来研 究集合上的关系和运算。
代数的概念和方法已经渗透到计算 机科学的许多分支中，它对程序理论， 数据结构，编码理论的研究和逻辑电路 的设计已具有理论和实践的指导意义
教学类容： 代数系统的引入、运算及性质、半群、群与子群、 阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理 、同态 与同构、环和域。
教学重点： 群、环、域的概念及运算，同态和同构。
教学难点： 同态与同构 的概念。
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 1、运算
【定义5.1.1】 设A是非空集合，一个从An到B的 映射,称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 如果B A，则称该n元运算是封闭的。 在定义5.1中，当n=1时，f称为集合A上的一 元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。
第五章：代数结构
§5.2二元运算的性质
5.2.1运算的基本性质 1.交换律
【定义5.2.1】 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任 意的a,bA，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的，也 称二元运算*在A上满足交换律。
例如，设R为实数集合，对于任意的a,bR，规定 a∗b=(a–b)2 a∘b=a2+b2
【例5.3】设B是一个集合，A=P (B)是A幂集合。集合的求补
运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。 于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统，该代数系常称为集合代数。
【例5.4】设R-0是全体非零实数集合，*是R-0上二元运 算，定义为：a,b R-0，a*b=b。则<R-0,*>是代数系统。
a·b=a+b–ab 则运算∗、∘和·都是可交换的。
2.结合律 【定义5.2.2】 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意 的a,b,cA，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结合 的，也称二元运算∗在A上满足结合律
第五章：代数结构
实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律； 矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律。
2.运算的表示 表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。
解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如
f(a)= 1 ，
a
i j i j k i k j i j k i j k
运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。 经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限
集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来 定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某 些性质进行讨论，更形象地了解二元运算的有关特征。
中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+72=6 可 解 释 为 ： 星 期 四 再 过 两 天 后 是 星 期 六 ； 4+75=2 可 解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意 义的一种解释。
第五章：代数结构
②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运 算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的。
第五章：代数结构
【例5.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规 定为：m,nN，
m∗n=minm,n m∘n=maxm,n 则∗和∘是N上的二元封闭运算。 【例5.2】设Nk=0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为： 对于Nk中的任意两个元素i和j，有
的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法也是自然数 集合N上的二元运算，但是它不是封闭的，因为两个自然数 相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法 不是自然数集合N上封闭的二元运算。
通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的封 闭运算必须满足以下两点：
①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是 惟一的。
本篇讨论一些典型的代数系统及其 性质。
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 §5.2 运算及其性质 §5.3 半群 §5.4 群与子群 §5.5 阿贝尔群和循环群 §5.6* 陪集与拉格朗日定理 §5.7 同态与同构 §5.8 环与域
第五章：代数结构
教学目的及要求： 深刻理解和掌握代数系统的基本概念和运算
设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示，它的 运算表如表5.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算表表示，它 的运算表如表5.2所示。
第五章：代数结构
表5.1
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
表5.2
×4 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
i j i j k i k j i j k i j k
称二元运算+k为模k加法。
第五章：代数结构
Nk上
的二元运
算× 定 k
义为：对于Nk中的
任意两个
元素i
和j，有
i j
i j k
i k j i j除以k 的余数 i j k
称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7
第五章：代数结构
3 代数系统 【 定义5.1.2】 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上
的 运 算 ∗ 1,∗2,…,∗k 所 组 成 的 系 统 称 为 一 个 代 数 系 统 ， 记 作 <A,∗1,∗2,…,∗k>。
根据定义5.1.2，一个代数系统需要满足下面两个条件： ①有一个非空集合A。 ②有一些定义在集合A上的运算。 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素， 缺一不可。