离散数学课件
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②A中任何元素的运算结果都属于A。A中任何元素的运 算结果都属于A通常称为运算在A是封闭的。
第五章：代数结构
【例5.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规 定为：m,nN，
m∗n=minm,n m∘n=maxm,n 则∗和∘是N上的二元封闭运算。 【例5.2】设Nk=0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为： 对于Nk中的任意两个元素i和j，有
本篇讨论一些典型的代数系统及其 性质。
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 §5.2 运算及其性质 §5.3 半群 §5.4 群与子群 §5.5 阿贝尔群和循环群 §5.6* 陪集与拉格朗日定理 §5.7 同态与同构 §5.8 环与域
第五章：代数结构
教学目的及要求： 深刻理解和掌握代数系统的基本概念和运算
i j i j k i k j i j k i j k
称二元运算+k为模k加法。
第五章：代数结构
Nk上
的二元运
算× 定 k
义为：对于Nk中的
任意两个
元素i
和j，有
i j
i j k
i k j i j除以k 的余数 i j k
称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7
的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法也是自然数 集合N上的二元运算，但是它不是封闭的，因为两个自然数 相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法 不是自然数集合N上封闭的二元运算。
通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的封 闭运算必须满足以下两点：
①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是 惟一的。
设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示，它的 运算表如表5.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算表表示，它 的运算表如表5.2所示。
第五章：代数结构
表5.1
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
表5.2
×4 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
2.运算的表示 表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。
解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如
f(a)= 1 ，
a
i j i j k i k j i j k i j k
运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。 经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限
集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来 定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某 些性质进行讨论，更形象地了解二元运算的有关特征。
教学类容： 代数系统的引入、运算及性质、半群、群与子群、 阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理 、同态 与同构、环和域。
教学重点： 群、环、域的概念及运算，同态和同构。
教学难点： 同态与同构 的概念。
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 1、运算
【定义5.1.1】 设A是非空集合，一个从An到B的 映射,称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 如果B A，则称该n元运算是封闭的。 在定义5.1中，当n=1时，f称为集合A上的一 元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。
a·b=a+b–ab 则运算∗、∘和·都是可交换的。
2.结合律 【定义5.2.2】 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意 的a,b,cA，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结合 的，也称二元运算∗在A上满足结合律
第五章：代数结构
实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律； 矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律。
河南理工大学电子教案
《离散数学》教案
计算机科学与技术学院
课程学时：64 主 讲：宋 成
第三篇：代数系统
本篇用代数方法来研究数学结构，故 又叫代数结构，它将用抽象的方法来研 究集合上的关系和运算。
代数的概念和方法已经渗透到计算 机科学的许多分支中，它对程序理论， 数据结构，编码理论的研究和逻辑电路 的设计已具有理论和实践的指导意义
第五章：代数结构
§5.2二元运算的性质
5.2.1运算的基本性质 1.交换律
【定义5.2.1】 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任 意的a,bA，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的，也 称二元运算*在A上满足交换律。
例如，设R为实数集合，对于任意的a,bR，规定 a∗b=(a–b)2 a∘b=a2+b2
第五章：代数结构
3 代数系统 【 定义5.1.2】 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上
的 运 算 ∗ 1,∗2,…,∗k 所 组 成 的 系 统 称 为 一 个 代 数 系 统 ， 记 作 <A,∗1,∗2,…,∗k>。
根据定义5.1.2，一个代数系统需要满足下面两个条件： ①有一个非空集合A。 ②有一些定义在集合A上的运算。 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素， 缺一不可。
【例5.3】设B是一个集合，A=P (B)是A幂集合。集合的求补
运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。 于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统，该代数系常称为集合代数。
【例5.4】设R-0是全体非零实数集合，*是R-0上二元运 算，定义为：a,b R-0，a*b=b。则<R-0,*>是代数系统。
在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、
“∘”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c， 记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记 作*a或*(a)。
第五章：代数结构
设A=1 , a , 1 ，其中，a是非零实数。f定义为：
a
aABiblioteka Baiduf(a)= 1 。容易看出f是A上的一元运算。
又如，f：a m,nN，f(m,n)=m＋n，f是自然数集合N上
中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+72=6 可 解 释 为 ： 星 期 四 再 过 两 天 后 是 星 期 六 ； 4+75=2 可 解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意 义的一种解释。
第五章：代数结构
第五章：代数结构
【例5.1】设N为自然数集合，*和∘是N×N到N映射，规 定为：m,nN，
m∗n=minm,n m∘n=maxm,n 则∗和∘是N上的二元封闭运算。 【例5.2】设Nk=0,1,…,k-1。Nk上的二元运算+k定义为： 对于Nk中的任意两个元素i和j，有
本篇讨论一些典型的代数系统及其 性质。
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 §5.2 运算及其性质 §5.3 半群 §5.4 群与子群 §5.5 阿贝尔群和循环群 §5.6* 陪集与拉格朗日定理 §5.7 同态与同构 §5.8 环与域
第五章：代数结构
教学目的及要求： 深刻理解和掌握代数系统的基本概念和运算
i j i j k i k j i j k i j k
称二元运算+k为模k加法。
第五章：代数结构
Nk上
的二元运
算× 定 k
义为：对于Nk中的
任意两个
元素i
和j，有
i j
i j k
i k j i j除以k 的余数 i j k
称二元运算×k为模k的乘法。 模k加法+k和模k乘法×k是两种重要的二元运算。 在N7=0,1,2,3,4,5,6中，有4+72=6，4+75=2。如果把N7
的二元运算，它就是普通加法运算。普通减法也是自然数 集合N上的二元运算，但是它不是封闭的，因为两个自然数 相减可能得到负数，而负数不是自然数。所以普通的减法 不是自然数集合N上封闭的二元运算。
通过以上讨论可以看出，一个运算是否为集合A上的封 闭运算必须满足以下两点：
①A中任何元素都可以进行这种运算，且运算的结果是 惟一的。
设N4=0,1,2,3，N4上的模4加法＋4可以用运算表表示，它的 运算表如表5.1所示。N4上的模4乘法×4也可以用运算表表示，它 的运算表如表5.2所示。
第五章：代数结构
表5.1
+4 0 1 2 3 00123 11230 22301 33012
表5.2
×4 0 1 2 3 00000 10123 20202 30321
2.运算的表示 表示运算的方法通常有两种：解析公式和运算表。
解析公式是指用运算符号和运算对象组成的表达式。如
f(a)= 1 ，
a
i j i j k i k j i j k i j k
运算表是指运算对象和运算结果构成的二维表。 经常使用运算表来定义有限集合上的二元运算，特别当有限
集合上的二元运算不能用表达式简明地表示时，借助于运算表来 定义二元运算会带来方便。另外，运算表还便于对二元运算的某 些性质进行讨论，更形象地了解二元运算的有关特征。
教学类容： 代数系统的引入、运算及性质、半群、群与子群、 阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理 、同态 与同构、环和域。
教学重点： 群、环、域的概念及运算，同态和同构。
教学难点： 同态与同构 的概念。
第五章：代数结构
§5.1 代数系统的引入 1、运算
【定义5.1.1】 设A是非空集合，一个从An到B的 映射,称为集合A上的n元运算。简称为n元运算。 如果B A，则称该n元运算是封闭的。 在定义5.1中，当n=1时，f称为集合A上的一 元运算；当n=2时，f称为集合A上的二元运算。
a·b=a+b–ab 则运算∗、∘和·都是可交换的。
2.结合律 【定义5.2.2】 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任意 的a,b,cA，有(a*b)*c=a*(b*c)，则称二元运算*在A上是可结合 的，也称二元运算∗在A上满足结合律
第五章：代数结构
实数集合上的普通加法和乘法是二元运算，满足结合律； 矩阵的加法和乘法也是二元运算，也满足结合律。
河南理工大学电子教案
《离散数学》教案
计算机科学与技术学院
课程学时：64 主 讲：宋 成
第三篇：代数系统
本篇用代数方法来研究数学结构，故 又叫代数结构，它将用抽象的方法来研 究集合上的关系和运算。
代数的概念和方法已经渗透到计算 机科学的许多分支中，它对程序理论， 数据结构，编码理论的研究和逻辑电路 的设计已具有理论和实践的指导意义
第五章：代数结构
§5.2二元运算的性质
5.2.1运算的基本性质 1.交换律
【定义5.2.1】 设*是非空集合A上的二元运算，如果对于任 意的a,bA，有a∗b=b∗a，则称二元运算∗在A上是可交换的，也 称二元运算*在A上满足交换律。
例如，设R为实数集合，对于任意的a,bR，规定 a∗b=(a–b)2 a∘b=a2+b2
第五章：代数结构
3 代数系统 【 定义5.1.2】 一个非空集合A连同若干个定义在该集合上
的 运 算 ∗ 1,∗2,…,∗k 所 组 成 的 系 统 称 为 一 个 代 数 系 统 ， 记 作 <A,∗1,∗2,…,∗k>。
根据定义5.1.2，一个代数系统需要满足下面两个条件： ①有一个非空集合A。 ②有一些定义在集合A上的运算。 集合和定义在集合A上的运算是一个代数系统的两个要素， 缺一不可。
【例5.3】设B是一个集合，A=P (B)是A幂集合。集合的求补
运算是A上的一元运算，集合的并和交运算是A上的是二元运算。 于是<A,∪,∩,~>构成一个代数系统，该代数系常称为集合代数。
【例5.4】设R-0是全体非零实数集合，*是R-0上二元运 算，定义为：a,b R-0，a*b=b。则<R-0,*>是代数系统。
在讨论抽象运算时，“运算”常记为“*”、
“∘”等。设*是二元运算，如果a与b运算得到c， 记作a*b=c；若*是一元运算，a的运算结果记 作*a或*(a)。
第五章：代数结构
设A=1 , a , 1 ，其中，a是非零实数。f定义为：
a
aABiblioteka Baiduf(a)= 1 。容易看出f是A上的一元运算。
又如，f：a m,nN，f(m,n)=m＋n，f是自然数集合N上
中的元素：0，1，2，3，4，5，6分别看作是：星期日、星 期一、星期二、星期三、星期四、星期五、星期六。那么 4+72=6 可 解 释 为 ： 星 期 四 再 过 两 天 后 是 星 期 六 ； 4+75=2 可 解释为：星期四再过五天后是星期二。这是模7加法实际意 义的一种解释。
第五章：代数结构