PDE

u 2 u 2 ( ) ( ) u x y
一阶非线性方程
方程中所含偏导数的最高阶数，叫方程的阶．
u 2 u a f ( x, t ) 2 2 t x
2 2
u 2u a 2 2 f ( x, t ) t x
都是二阶线性方程．
如果未知函数及未知函数的偏微商的系数均为常数， 则称为常系数方程．
偏微分方程的应用


在科技和经济发展中，很多重要的实际课题都需 要求解偏微分方程，为相应的工程设计提供必要的数 据，保证工程安全可靠且高效地完成任务。 在很多的实际课题中，有不少课题(特别是国防课 题)是不能或很难用工程试验的方法来进行研究的(一方 面是危险系数大，
偏微分方程的应用





u u u 2 u 如 a ( 2 2 2 ) f ( x, y, z, t ) 2 t x y z
2 2 2 2
是二阶常系数线性偏微分方程．
u 2 u x f ( x , t )是二阶变系数线性偏微分方程 2 t x
2
在线性偏微分方程中，如果已知函数f＝０，则方程 是齐次的，否则就是非齐次的．
2 PDE在振动信号去噪中的应用 PDE在振动信号去噪中的应用借鉴图像去噪 中的改进 Gaussian的扩散模型将其应用于机械 振动信号的降噪 图2 是对一个仿真信号进行的PDE 去噪试验
为四个频率分别为5、7、9 和 10 Hz 的 正弦信号叠加
为a图所示信号与高斯噪声叠加
对b图进行PDE去噪


基于边界Caselles 测地活动轮廓模型
梯度向量指向中央
基于区域Li Chunming的测地活动轮廓模型
基于区域Chan-Vese简化模型
Baidu Nhomakorabea


第一列是叠加轮廓图 第二列是重建后的分片常量图 第三列是水平集函数的分布图
Quasi-wavelet for Fourth Order Parabolic Partial Integro-differential Equation (2010) 四阶抛物型偏 积分微分方程的拟小波 Mathematical Problems in Image Processing: Partial Differential Equations and the Calculus of Variations （2010）在图像处理中的数学问题：偏微分方程 及变分法
偏微分方程概述


数学等)的发展，并从它们之中引进许多有力的解决问 题的工具。偏微分方程已经成为当代数学中的一个重 要的组成部分，是纯粹数学的许多分支和自然科学及 工程技术等领域之间的一座重要的桥梁。 在国外，对偏微分方程的应用发展是相当重视的。 很多大学和研究单位都有应用偏微分方程的研究集体， 并得到国家工业、科学部门及军方、航空航天等方面 的大力资助。比如在国际上有重大影响的美国的 Courant研究所、法国的信息与自动化国立研究所等都 集中了相当多的偏微分方程的研究人员，并把数学模 型、数学方法、应用软件及实际应用融为一体，在解 决实际课题、推动学科发展及加速培养人才等方面都 起了很大的作用。
偏微分方程概述

偏微分方程是反映有关的未知变量关于时间的导 数和关于空间变量的导数之间制约关系的等式。许多 领域中的数学模型都可以用偏微分方程来描述，很多 重要的物理、力学等学科的基本方程本身就是偏微分 方程。早在微积分理论刚形成后不久，人们就开始用 偏微分方程来描述、解释或预见各种自然现象，并将 所得到的研究方法和研究成果运用于各门科学和工程 技术中，不断地取得了显著的成效，显示了偏微分方 程对于人类认识自然界基本规律的重要性。逐渐地， 以物理、力学等各门科学中的实际问题为背景的偏微 分方程的研究成为传统应用数学中的一个最主要的内 容，它直接联系着众多自然现象和实际问题，不断地 提出和产生出需要解决的新课题和新方法，不断地促 进着许多相关数学分支(如泛函分析、微分几何、计算
2 2
2 2 2
是一维波动方程，因
它描述的是弦或细杆的振动现象．
u u 2 u 而 2 a ( 2 2 ) f ( x , y , t ) 是二维波动 t x y
方程，描述薄膜振动等．
如果方程关于未知函数或未知函数的偏导数都是一 次的，则称为线性方程，否则就是非线性的． 上面的方程是线性方程．而下面的方程却是非线 性的：
例如：
2u 2u 2u 2 2 0 是齐次方程， 2 x y z
u 2 u a f ( x , t ) 是非齐次方程． 2 t x
2
三 PDE应用（图像去噪和振动信号去噪）

1 基于PDE的图像去噪 基于PDE的处理方法是图像领域中的一个重 要方法，它被广泛用于图像去噪，图像增强， 图像修补等众多图像处理领域。 图1是确定空间位置板型件空间位置坐标图像

图象分割 方法： 基于边界 基于区域 基于知识
基于边界的图象分割算法：Caselles等 的测地活动轮廓以及Li Chunming的 无须重新初始化的水平集演化算法 基于区域的图象分割：Mumford-Shah 模型与Chan-Vese简化模型 基于知识的图象分割包括“聪明的” 活动轮廓模型——Cootes-Taylor的活 动形状模型，
偏微分方程在图像处理中应用的研究

偏微分方程是一类重要的数学分析模型,不同方程得处 理特性由具体的扩散项和扩散方向决定。偏微分方程 具有各向异性扩散性能，并且整个扩散过程在局部信 息的作用下进行；方程直接使用图像中的几何特征控 制扩散项及扩散方向，因此偏微分方程处理图像可在 平滑同质区域的同时保持区域边界等几何特征。
理论基础
变分与梯度下降流
平面微分几何 数值分析 著名的Osher-Sethian的水平集演化理论
偏微分方程演化流的图象处理方 法

应用 图象恢复与图象分割
图象恢复 Tikhonov正则化 各向同性扩散 尺度空间
不同模型对图像恢复的效果



（1）原图 （2）女人为选定目标的处理 （3）Criminisi模型处理的结果 （4）基于动态变化大小的模块处理
偏微分方程的应用



因此，总体上来说，上述这些先决条件都属于偏微分 方程应用的研究范围，这些问题解决的好坏直接影响 到使用电子计算机所得结果的精确性及耗费的大小。 如果解决得好，就会对整个问题的解决起到事半功倍 的效果。 到目前为止，偏微分方程已经在解决有关人口问 题、传染病动力学、高速飞行、石油开发及城市交通 等方面的实际课题中做出了重大的贡献。 下面以大家比较熟悉的信号处理、图像去噪及震 动去噪问题为例，详细阐述偏微分方程在解决实际问 题中的应用。
偏微分方程概述

在我国，偏微分方程的研究起步较晚。但解放后，在 党和国家的大力号召和积极支持下，我国偏微分方程 的研究工作发展比较迅速，涌现出一批在这一领域中 做出杰出工作的数学家，如谷超豪院士、李大潜院士 等，并在一些研究方向上达到了国际先进水平。但总 体来说，偏微分方程的研究队伍的组织和水平 、研究 工作的广度和深度与世界先进水平相比还有很大的差 距。因此，我们必须继续努力，大力加强应用偏微分 方程的研究，逐步缩小与世界先进水平的差距。
Partial differential equation

A visualisation of a solution to the heat equation on a two dimensional plane In mathematics, partial differential equations (PDE) are a type of differential equation, i.e., a relation involving an unknown function (or functions) of several independent variables and their partial derivatives with respect to those variables. Partial differential equations are used to formulate, and thus aid the solution of, problems involving functions of several variables; such as the propagation of sound or heat, electrostatics, electrodynamics, fluid flow, and elasticity. Seemingly distinct physical phenomena may have identical mathematical formulations, and thus be governed by the same underlying dynamic. They find their generalization in stochastic partial differential equations. Just as
另一方面是耗费大)，因此就需要尽可能地减少试验的 次数或在试验前给出比较准确的预计。 随着电子计算机的出现及计算技术的发展，电子 计算机成为解决这些实际课题的重要工具。但是有效 地利用电子计算机，必须具备如下先决条件： 针对所考虑的实际问题建立合理的数学模型，而 这些能精确描述问题的模型大都是通过偏微分方程给 出的。 对相应的偏微分方程模型进行定性的研究。 根据所进行的定性研究，寻求或选择有效的求解 方法。 编制高效率的程序或建立相应的应用软件，利用 电子计算机对实际问题进行模拟。
Dr Abdul-Majid Wazwaz RESEARCH INVOLVEMENT 1 Solitons and Compactons, N-Solitons. 2 Ordinary and Partial Differential Equations. 3 Integral and Integro-Differential Equations. 4 Numerical Analysis. 5 Mathematical physics. 6 Singular Perturbation in the Diffusion Process. PROFESSIONAL SERVICES I was chosen by the University of Illinois at Chicago, Department of Mathematics as an external examiner in two Oral Preliminary Ph.D exams and an external member in Ph.D defense committees for seven Ph.D candidates in Applied Mathematics.

基于偏微分方程的图象处理方法可应用于图象恢复、图象 分割、超分辨率、立体视觉、图象修复、图象分类、视频 序列分析等多方面。研究成果可以快捷地应用在医疗图象 分析、遥感图象处理、机器人视觉、视频监控、视频压缩 等领域。基于偏微分方程的图象处理属于基础性理论研究， 是偏微分方程，变分学，微分几何，数值分析，经典力学 与图象处理等多个学科的交叉，相关理论深且广，目前国 内相关的研究尚处于起步阶段。
对b图进行低通滤波
从图2 中可以看出，PDE 去噪完全消除了 信号中的噪声干扰，而对信号本身没有影响， 保持了信号边缘特性和内部连续性；而低通 滤波去噪虽然也滤出了部分噪声，但引起了 信号较大畸变。
图3 是对一台磨床砂轮架加速度振动信号进行PDE 去噪
其中图3a 是实测信号 图3b 为迭代20 次的PDE 去噪效果 图 3c 为迭代40 次的PDE 去噪效果 从图 3 可以看出，PDE去噪之后，消除了信号中的高 频噪声干扰
偏微分方程在信号处理中的应用

一、什么是偏微分方程
含有未知函数的偏微商的方程．
u 2 u 如： 波动方程 a f ( x, t ) 2 2 t x
2 2
其中u是x，t的函数． 用以描述振动或声波的传播现象等．
按未知函数的元数（除变量t外），称为一维， 二维等
u 2 u 如 a 2 f ( x, t ) 2 t x
Partial differential equation

ordinary differential equations often model dynamical systems, partial differential equations often model multidimensional systems.