电路分析基础第三章 电路的等效变换

②用分压方法做
U2 1 U4 = = U1 = 3 V 2 4
I4 = − 3 2R
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例3 图 (a)所示为一无限电阻电路。其中所有电阻 的阻值都为1Ω。试求电路的输入电阻Ri。 切除一节
解： 由于为无限电阻电路，切除一节后，输入电阻不变
Ri Ri
Ri Ri = 1 + +1 1 + Ri
Ri = (1 ± 3)Ω
二、电容的串联与并联 1.电容的串联：
u
i
C1 u1
C2 u2
Cn un
(a) (b) 图(a)设串联前电容的初始电压分别为uk (0) (k=1, 2, ... ,n)，
⎛ 1 u = ∑ uk = ∑ ⎜ uk (0) + Ck k =1 k =1 ⎝
n n n ⎞ ⎛ n 1 ⎞ t ⎟ ∫0 i(τ )dτ ⎠ = ∑ uk (0) + ⎜ ∑ Ck ⎟ ∫0 i(τ )dτ k =1 ⎝ k =1 ⎠ t
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对外等效！
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2. 理想电流源的串联并联
并联
注意参考方向
i s = i s 1 + i s 2 + ⋅ ⋅ ⋅ + i sn =
∑i
sk
iS º 等效电路 iS1
串联
º
iS2
iSn º
电路 等效
iS
º
iS1 i
iS2
i s = i s1 = i s 2
电流不等的独立电 流源串联是“病态电 路”，违背KCL。
一、电阻的串联与并联 1. 电阻串联 R1 Rk Rn 等效 i
R eq _
+
i
+
+ u1 _ + U k _ + un _
u
+ Rk +
_
u
Req = R1 +
+ Rn =
∑R
k =1
n
k
> Rk
结论：
串联电路的总电阻等于各分电阻之和。
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串联电阻的分压
Rk u uk = Rk i = Rk = u<u Req Req
( L1 L2 − M 2 ) di u= L1 + L2 − 2 M dt
L eq ( L1 L 2 − M 2 ) = L1 + L 2 − 2 M ≥0
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2. 同名端在异侧 M i + u – i1 * L1 i2 L2 *
di 1 di 2 −M u = L1 dt dt di 2 di 1 −M u = L2 dt dt
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相同的理想电流源才能串联, 每个 电流源的端电压不能确定
电流源与支路的串、并联等效
i iS1 R1 iS2
º + R2 u等效电路 º
_
º
iS
R º
i = i s1 + u R1 + i s 2 + u R 2 = i s1 + i s 2 + (1 R1 + 1 R2 ) u = i s + u R
由KCL:
i + u _ Req
i = i1+ i2+ …+ ik+ …+in
=u/R1 +u/R2 + …+u/Rn=u(1/R1+1/R2+…+1/Rn)=uGeq
1 1 1 = Geq = + + Req R1 R2 1 + Rn 即 Req < Rk
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对于两电阻并联，有： i º R1 º i1 R2 i2
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B
i
+ u -
等效 C
i
+ u -
对A电路中的电流、电压和功率而言，满足
B A C A
（1）电路等效变换的条件
两电路具有相同的VCR 外电路A中的电压、 电流和功率（不改变) 化简电路，方便计算
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明 （2）电路等效变换的对象 确
（3）电路等效变换的目的
3.2.1 电阻、电容和电感的串联、并联
图(b)
1 u = u (0) + ∫ i (τ )dτ C 0
t
n 1 1 =∑ C k =1 Ck
u (0) = ∑ uk (0)
k =1
n
2.电容的并联：
(a) 图(a)
(b)
⎛ du k i = ∑ ik = ∑ ⎜ Ck dt k =1 k =1 ⎝
n n
⎞ du ⎞ ⎛ ⎟ = ⎜ ∑ Ck ⎟ ⎠ ⎝ k =1 ⎠ dt
40Ω
50Ω
a
20Ω
b
100Ω 100Ω
a
20Ω
b
100Ω 60Ω 40Ω
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Rab＝70Ω
例2
+ 12V _
I1 2R
I2 R + U1 2R _
I3 R + U2 2R _
I4
求：I1 ,I4 ,U4
+
2R U4 _
解
① 用分流方法做
I 1 = 12 I 4 = − 1 I 3 = − 1 I 2 = − 1 I 1 = − 1 12 = − 3 2 4 8 8 R 2R R U 4 = − I 4 × 2R = 3 V
任意 º 元件 +
等效电路
º
iS
iS
º
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uR _
º
对外等效！
3 实际电源的两种模型及其等效变换
(1)电压源等效模型 一个实际电源，可用一个理想电压源uS与一个电阻Ri 串联的支路模型来表征其特性。当它向外电路提供电流 时，它的端电压u总是小于uS ，电流越大端电压u越小。 i + uS _ + u U _ R I
不包含待 求变量N 等效化简 简单电路N’
u b i a u b
包含待 求变量N’’
包含带 求变量N’’
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等效定义：
两个客体只要在某一方面有相同的表现，就说二 者在这一意义上等效。 例： 白马—日行千里 黑马—日行千里 尽管二者颜色、高矮、肥瘦不同，但在日行千里 这点上二者是相同的，等效的。因为为了达到 日行千里之目的，用白马和用黑马之间无任何区 别。
∴ R = R1 + R2
L = L1 + L2 − 2 M
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六.互感线圈的并联
1. 同名端在同侧 M i + u – i1 * L1 * i2 L2
di 1 di 2 +M u = L1 t d dt di 2 di 1 +M u = L2 dt dt
i = i1 +i2
解得u, i的关系：
如各电感的ik (0)不等，则在串联的瞬间，各电感上的 磁通链将重新分配，使各电感的初始电流相等，等效电 感的初始电流为各电感串联后的初始电流。 可利用磁链守恒性质求电感串联后的初始电流。 2.电感的并联等效
i
i
i1
i2 L2
in u Ln
L
u
L1
并联等效电感的倒数等于各并联电感倒数之和，即
1 1 1 = + + L L1 L2
u=uS – Ri i
VAR曲线
uS
u
等效电源外特性
开路电压
Ri
0
短路电流
uS / Ri
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i
(2)电流源等效模型 一个实际电源，可用一个电流为 iS 的理想电流源和 一个内电导 Gi 并联的模型来表征其特性。当它向外电路 供给电流时，并不是全部流出，其中一部分将在内部流 动，随着端电压的增加，输出电流减小。 等效电源外特性 u i I 开路电压 iS / Gi + Gi i=iS – Gi u u U _
混联电路是既含有电阻串联又有电阻并联 的电路。混联电路有时支路很多看上去电 路很复杂，但因它可通过串联和并联加以 简化，∴仍属简单网络。分析时关键要掌 握“串联同流”、“并联同压”。
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例1 a
20Ω
求: Rab b
100Ω 60Ω 80Ω 10Ω
a
20Ω
b
100Ω 60Ω 120Ω 60Ω
串联
+ uS1_ + uS2_
+º uS _ º
I
us = us1 + us2 = ∑usk
等效电路
电路 等效
_ º
并联
+
º
uS1_
uS2
+ _
us = us1 = us 2
相同的电压 源才能并联, 电源中的电 流不确定。
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º 电压不等的独立电压源并联是“病态电路”，违背KVL。
例:图(a)所示电路中开关S在t=0时刻闭合，试求开关 S闭合后等效电容的电容值和初始电压。已知 u1(0)=u10，u2(0)=u20。
开关S闭合后两个电容并联，等效电容值为 解： C=C1+C2。等效电容的初始电压u0可通过电荷守 恒定律来求得。
C1u10 + C2u20 = C1u0 + C2u0
1 + Ln
四.互感线圈的串联
i 1. 同名端顺接 + + u – – R1 u1 * L1 + M R u L – i
– + * L2 u2 R2
u = R 1 i + L1 d i + M d i + L 2 d i + M d i + R 2 i dt dt dt dt = ( R 1 + R 2 ) i + ( L 1 + L 2 + 2 M ) d i = Ri + L d i dt dt
等效电路 — 如果两个端点一一对应的n端 网络N和N´具有相同的端口特性，则二者 相互等效，并互称为等效电路。
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3.2 二端电路的等效变换
设N与N´分别为二个无源二端网络， 当 u = f (i )与 u ' = f (i ' )相同时， N 与 N ′是等效的。 a ●粗略地讲两者等效是指两者具有 i
∴ R = R1 + R2
L = L1 + L2 + 2M
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2. 同名端反接：
i + + u – –
R1 u1 – + u2 R2 L2 * * L1 M +
i R u L –
u = R 1 i + L1 d i − M d i + L 2 d i − M d i + R 2 i dt dt dt dt = ( R 1 + R 2 ) i + ( L 1 + L 2 − 2 M ) d i = Ri + L d i dt dt
i = i1 +i2
解得u, i的关系：
( L1 L2 − M 2 ) di u= L1 + L2 + 2 M dt
( L1 L2 − M 2 ) Leq = ≥0 L1 + L2 + 2 M
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3.2.2 电压源和电流源的串联和并联
1. 理想电压源的串联和并联
注意参考方向 + uS _ º +
电压源与支路的串、并联等效
+ i +
uS1 _
R1
+
uS2 _
R2
uS _ R + _ i + u _
u
u = us1 + R1i + us 2 + R2i = (uS1 + uS 2 ) + ( R1 + R2 )i = uS + Ri
I + uS _
任意 元件
+ uR _
I + uS _
+ u _
n
du i=C 图(b) dt 比较上两式可知，并联等效电容等于并联电容 n 之和，即 C = ∑ Ck
k =1
值得指出的是：电容并联时并未考虑各并联电容的 初始电压，如各电容的初始电压相等，则并联等效电 容的初始电压与各电容的初始电压相同； 如各电容的uk(0)不等，则在并联的瞬间，各电容上 的电荷将重新分配，使各电容的初始电压相等，等效 电容的初始电压为该初始电压。
第三章 电路的基本分析方法
重点： 1. 电路等效的概念； 2. 电阻，电感电容的串、并联； 3. 电路的等效变换； 4. 回路电流法; 5. 节点电压法;
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3.1 电路的等效变换
在电路分析中，常常需要进行等效变换，如 将不包含待求电压和电流的网络部分进行等 效化简，从而有利于求解网络。而网络的等 效化简必须在等效变换的前提下进行。 i a
说明电压与电阻成正比，因此串连电阻电路可作分压 电路 两个电阻的分压： 例 i R1 º 注意方向 ! u1 = u + + R1 + R2 u1 R1 − R2 u u2 = u u2 R2 R1 + R2 _ + º
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2. 电阻并联 i (2) 等效电阻 + i1 i2 ik in 等效 Rk Rn u R1 R2 _
1 R1 ⋅ 1 R2 R1 R2 Req = = 1 R1 + 1 R2 R1 + R2
1 R1 R2 i i1 = i= 1 R1 + 1 R2 R1 + R2
− 1 R2 − R1 i i2 = i= = − ( i − i1 ) 1 R1 + 1 R2 R1 + R2
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3. 电阻的串并联（混联） 要求：弄清楚串、并联的概念。
N
i′
N’
相同的电气性能； u ●从物理意义上讲，两者等效是指在其 b 端口处，对任一同一个外电路而言能 有同样的电路效果，即当加有同样端 电压时，两端子电流一样，或反之； a′ ●从数学概念上讲(即是上述的定义), u′ 即两者端口处对外电路而言具有 完全相同的数学模型(VAR方程)， b′ 或说两者的外特性曲线相重合。
C1u10 + C2u20 u0 = C1 + C2
三、电感的串联与并联 电感串联和电感并联连接分析，可参照电容串联和 电容并联的方法进行。 1.电感的串联
i
L1
u1 u2
L2
un
Ln
u
i
u
L
n
串联等效电感等于串联电感之和，即 L = ∑ Lk
k =1
和电容并联类似，电感串联时并未考虑各串联电感 的初始电流，如各电感的初始电流相等，则串联等效 电感的初始电流与各电感的初始电流相同。