一元二次方程的解法优质课教学设计

一元二次方程的解法

【教学内容】

因式分解法

【教学目标】

一、知识与技能

能灵活运用直接开平方法、配方法、公式法及因式分解法解一元二次方程。能够根据一元二次方程的结构特点，灵活择其简单的方法。

二、过程与方法

通过比较、分析、综合，培养学生分析问题解决问题的能力。

三、情感态度

通过知识之间的相互联系，培养学生用联系和发展的眼光分析问题，解决问题，树立转化的思想方法。

【教学重难点】

1．重点：用因式分解法一元二次方程。

2．难点：理解因式分解法解一元二次方程的基本思想。

【教学过程】

一、情景导入，初步认知

复习：将下列各式分解因式

（一）5x2-4x

（二）x2-4x+4

（三）4x(x-1)-2+2x

（四）x2-4

（五）(2x-1)2-x2

教学说明：通过复习相关知识，有利于学生熟练正确将多项式因式分解，从而有利降低本节的难度。

二、思考探究，获取新知

（一）解方程x2-3x=0

可用因式分解法求解

方程左边提取公因式x，得x(x-3)=0

由此得x=0或x-3=0

即x1=0，x2=3

与公式法相比，哪种更简单？

归纳结论：利用因式分解来解一元二次方程的方法叫做因式分解法。

（二）用因式分解法解下列方程：

1．x(x-5)=3x

2．2x(5x-1)=3(5x-1)

3．(35-2x)2-900=0

（三）你能总结因式分解法解一元二次方程的一般步骤吗？

归纳结论：把方程化成一边为0，另一边是两个一次因式的乘积的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解是原一元二次方程的解。

（四）说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。

归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。

（五）选择合适的方法解下列方程：

1．x2+3x=0

2．5x2-4x-3=0

3．x2+2x-3=0

按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。

（六）如何选择合适的方法解一元二次方程呢？

归纳结论：公式法适用于所有一元二次方程。因式分解法（有时需要先配方）适用于所有一元二次方程。配方法是为了推导出求根公式，以及先配方，然后用因式分解法。

总之，解一元二次方程的基本思路都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2是方程ax2+bx+c=0的两个根。

教学说明：在学生解决问题的基础上引导学生探索利用因式分解解方程的方法，感受因式分解的作用以及能够解方程的依据。

三、运用新知，深化理解

（一）用因式分解法解下列方程：

1．5x2+3x=0

分析：

1．左边=x(5x+3)，右边=0；

2．先把右边化为0，7x(3－x)-4(x-3)=0，找出(3-x)与(x-3)的关系。解：

1．因式分解，得x(5x+3)=0

于是得x=0或5x=3=0

x1=0，x2=-3/5

2．原方程化为7x(3-x)-4(x-3)=0

因式分解，得(x-3)(-7x-4)=0

于是得x-3=0或-7x-4=0，

x1=3，x2=-4/7

（二）选择合适的方法解下列方程：

1．2x2-5x+2=0

2．(1-x)(x+4)=(x-1)(1-2x)

分析：

1．用公式法；

2．题中找到(1-x)与(x-1)的关系用因式分解法；

解：

1．a=2，b=-5，c=2，

b2-4ac=(-5)2-4×2×2=9>0，

x1＝2，x2＝1/2

2．原方程化为(1-x)(x+4)+(1-x)(1-2x)=0

因式分解，得(1-x)(5-x)=0

即(x-1)(x-5)=0

x-1=0或x-5=0

x1=1，x2=5

（三）用因式分解法解下列方程：

1．10x2+3x=0

3．9(x-2)2=4(x+1)2

分析：

1．左边=x(10x+3)，右边=0；

2．先把右边化为0，7x(3-x)-6(x-3)=0，找出(3-x)与(x-3)的关系；

3．应用平方差公式。

解：

1．因式分解，得x(10x+3)=0

于是得x=0或10x+3=0

x1=0，x2=-3/10

2．原方程化为7x(3-x)-6(x-3)=0

因式分解，得(x-3)(-7x-6)=0

于是得x-3=0或-7x-6=0

x1=3，x2=-6/7

3．原方程化为9(x-2)2-4(x+1)2=0

因式分解，得

[3(x-2)+2(x+1)][3(x-2)-2(x+1)]=0

即(5x-4)(x-8)=0

于是得5x-4=0或x-8=0

x1=4/5，x2=8

（四）已知(a2+b2)2-(a2+b2)-6=0，求a2+b2的值。

分析：若把(a2+b2)看作一个整体，则已知条件可以看作是以(a2+b2)为未知数的一元二次方程。

解：设a2+b2=x，则原方程化为x2-x-6=0

a=1，b=-1，c=-6，b2-4ac=12-4×(-6)×1=25>0

，∴x1=3，x2=-2

即a2+b2=3或a2+b2=-2

∵a2+b2≥0，∴a2+b2=-2不合题意应舍去，取a2+b2=3

四、师生互动、课堂小结

首先小组内交流收获和感想，而后以小组为单位派代表进行总结，最后教师作以补充。